두 전자 간의 교환 상호 작용에 대한 단순한 기본 설명은 무엇입니까?
예를 들어, 필요한 요소는 쿨롱 상호 작용과 전체 파동 함수가 비대칭이어야한다는 요건입니다.
댓글
- 당신의 직감이 맞습니다. 이 두 가지 요소가 교환 상호 작용을 생성하기 위해 공모하는 방법에 대한 수학적 설명은 Ashcroft & Mermin (32 장) [이것은 매우 표준적인 계산이며 저는 ' 그것이 다른 많은 곳에서도 나타날 것입니다.]
- 그리피스 인트로 양자 교과서에도 있습니다. 어딘가에.
- 그것은 쿨롱 힘과는 아무런 관련이 없으며, 충전되지 않았지만 구별 할 수없는 두 boson 사이에도 교환 상호 작용이있을 것입니다.
답변
교환 상호 작용은 순열 대칭으로 인한 동일한 입자 간의 다른 상호 작용에 추가 된 것입니다.
이 추가는 특정 형태의 다중 입자의 결과입니다. 파동 기능. “일반적인”상호 작용과 달리 Hamiltonian에 기여하지 않지만 단일 -입자 파동 함수 (예 : Hartree-Fock 방정식)에 대한 방정식에서 추가 용어로 나타납니다.
일반적으로 연관된 상호 작용 에너지와 힘으로. 쿨롱 힘에 추가 된 힘으로 교환 보정을 찾을 수 있지만 먼저 양자 시스템에서 힘이 무엇인지 이해해야합니다.
단일 입자 좌표 파동 함수를 가진 두 개의 페르미온을 고려해 봅시다 $ \ psi_a ( x) $ 및 $ \ psi_b (x) $ 및 스핀파 기능 $ \ phi_a (s) $ 및 $ \ phi_b (s) $. 가능한 두 입자 파동 기능은 대칭 좌표 부분 $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ 및 비대칭 좌표의 삼중 선 부품 $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2)-\ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$
두 입자 Hamiltonian이 스핀에 의존하지 않도록하십시오 : $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ 그러면 상호 작용의 평균 에너지는 다음과 같습니다. $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U-U_ \ text {ex } $$ $$ = \ 왼쪽 < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right >-\ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$
$ U_ \ text {ex} $라는 용어는 입자가 서로 충분히 가깝고 파동 함수가 겹칩니다 (아래 그림 참조). 거리 $ L $가 큰 기존 제한에서는 겹침이 0이고 $ U_S = U_A = U $
$ \ psi_a $ 및 $ \ psi_b $가 모든 곳에서 음이 아니라고 가정합니다. anv $ V $가 쿨롱 상호 작용 (즉, 거리가 증가하면 양수 및 감소)으로 작동합니다. 그런 다음 $ U $ 및 $ U_ \ text { ex} $는 양수이고 대칭 좌표 상태 (반대 척추)의 에너지는 비대칭 좌표 상태 (유사 척추)의 에너지보다 높습니다. 입자의 평균 위치가 고정되면 교환 상호 작용이 스핀을 같은 방향으로 놓습니다.
입자 간의 상호 작용 힘은 매개 변수 L에 해당하는 일반화 된 힘으로 정의 할 수 있습니다. $$ F =-\ frac {\ partial U} {\ partial L} $$ $ \ psi_a에 관한 가정 내에서 $, $ \ psi_b $ 및 $ V $ $ U $ 및 $ U_ \ text {ex} $의 미분은 음수이므로 “보통”힘은 양 (반발)이고 교환 힘은 대칭 좌표에 대해 양입니다. 비대칭 좌표 상태 (매력)의 경우 tate 및 negative입니다.
두 경우에 대한 교환 상호 작용 입자는 스핀 구성에 따라 추가 힘으로 간주 될 수 있습니다. 다중 입자의 경우 더 복잡합니다.
댓글
- 안녕하세요, Fermion에 대한 교환 상호 작용의 효과적인 힘을 이해하는 방법이 매력적입니까? 매우 직관적이지 않습니다.