필터 순서 경험 규칙

저역 통과 FIR 필터의 순서에 대해 제가 가장 좋아하는 " 경험 규칙 "은 " 프레드 해리스의 경험 법칙 " :

$$ N = \ frac {f_s} {\ Delta f} \ cdot \ frac {\ rm atten_ {dB}} {22} $$

여기서

• $ \ Delta f $ 는 전환 밴드이며 $ f_s $
• 의 동일한 단위입니다. $ f_s $ 는 필터의 샘플 속도입니다.
• $ \ rm atten_ {dB} $ 는 dB 단위의 타겟 거부입니다.

예를 들어 1kHz로 샘플링 된 시스템에서 100Hz의 전환 대역이 있고 중지 대역에서 거부 요구 사항이 50dB 인 경우 순서는 대략적으로 계산할 수 있습니다.

$$ N = \ frac {1 \ \ rm kHz} {100 \ \ rm Hz} \ cdot \ frac {50} {22} = 23 \ \ rm taps \ tag {올림} $$

Fred Harris에게 감사합니다!

통과 대역을 고려한 또 다른 자세한 공식을 참고하세요. ripple은 Bell Labs의 James Kaiser 덕분에 Kaiser의 공식입니다. 아래 그래픽에 포함 시켰습니다.

내가 수행 한 대부분의 응용 프로그램에서 Fred Harris 접근 방식은 특정 거부를 고려할 때 괜찮 았습니다. , Parks-McClellan 및 Remez와 같은 기존 필터 설계 알고리즘을 사용하는 결과 필터는 거부 요구 사항을 충족 할 때 통과 대역 리플 요구 사항을 초과했습니다. (보통 내가하는 일은 순서를 추정하고, 그 순서로 필터를 설계하고, 결과를 검사하고, 거기에서 미세 조정을 위해 순서를 늘리거나 줄이는 것입니다). 추정 결과는 추정치 일 뿐이며 전체 설계 매개 변수에 따라 크게 다를 수 있으며 정확한 솔루션으로 간주되지 않습니다.

창 접근 방식을 사용하는 필터 설계에 익숙한 사용자는 boxcar 또는 직사각형 창 (단순 잘림)을 검토합니다. $ f_s / \ Delta f $ 탭이 필요한 이유를 보여줍니다 ( $ 2 \ pi / \ Delta \ omega 정규화 된 주파수의 단위가 라디안 / 샘플이면 $ 전환 대역을 완료합니다. 이를 설명하는 데 도움이되는 아래 이미지를 참조하십시오.

아래 상단 이미지는 직사각형 창에 대해 예상되는 주파수 Sinc를 보여줍니다.이 경우에는 $ t = 0 $ . 그런 다음 이산 시간 푸리에 변환 (DTFT) 및 이산 푸리에 변환 (DFT)을 사용하여 $ t = 0 $ 에서 시작하는 인과 파형으로 이산 형식으로 반복됩니다. 여기서 차이는 시간의 샘플이 DTFT에 대해 $ \ pm \ infty $ 로 확장되어 주파수 도메인에서 연속 파형을 생성한다는 것입니다. 두 경우 모두 결과는 $ f = [0, f_s) $ 간격 동안주기적인 별칭 Sinc 함수이며 $ N $ 샘플, 주파수 응답은 $ f = 1 / N $ (여기서 $ f $ 는 1이 샘플링 속도 인 정규화 된 주파수입니다).

아래의 다음 이미지는 필터 설계에 대한 직사각형 창 접근 방식을 보여줍니다 (권장하지는 않지만 유익한 정보 임). 왼쪽 상단 모서리의 첫 번째 플롯은 이상적인 " 벽돌 벽 " 응답으로 필터에 대한 목표 주파수 응답을 보여줍니다. " 박스 카 창 " (또는 " 직사각형 창)과 혼동하지 마십시오. ")도 직사각형입니다. 창은 시간 영역에 있습니다!

이러한 필터를 구현하기 위해 원하는 주파수 응답의 임펄스 응답을 FIR 필터의 계수로 사용합니다 (필터의 계수는 임펄스 응답입니다. 그리고 모든 계수가 나옵니다!). 직사각형 주파수 (벽돌 벽) 응답에 대한 임펄스 응답은 " 필수 임펄스 응답으로 왼쪽 하단에 표시된 시간 영역에서 Sinc 함수 인 역 FT입니다. ". Sinc 함수는 플러스 및 마이너스 무한대로 확장되므로 실제로 이러한 필터를 실현하려면 무한히 긴 필터가 필요하며 무한히 긴 지연이 있습니다. 분명히 우리는 그렇게 할 수 없으므로 계수를 실현 가능한 것으로 자릅니다. 필터가 길수록 이상적인 브릭 월 응답에 가까워 지지만 지연 시간이 길어집니다 (그리고 더 많은 리소스가 필요합니다. 필터 구성, 더 많은 탭).

시간 도메인에서 임펄스 응답을 자르는 것은 시간 도메인에서 직사각형 창을 곱하는 것과 수학적으로 동일합니다. (임펄스 응답도 기간의 절반만큼 지연됩니다. 시간 영역에서의 곱셈은 주파수 영역에서의 컨볼 루션과 동일합니다. 절단 전 임펄스 응답의 주파수 영역 (FT)은 원래 원하는 브릭 월 주파수 응답입니다. 직사각형 창에 대한 응답은 주파수 영역의 Sinc 함수입니다.

따라서 원하는 임펄스 응답을 자르면 (시간에 직사각형 창으로 곱하기) 원하는 주파수 응답을 컨 볼브합니다. e를 Sinc 함수와 함께 사용하면 아래 이미지의 오른쪽 상단에 표시된대로 목표 주파수 응답의 근사치를 얻을 수 있습니다.

일반적으로 Sinc 함수의 핵심 사항은 첫 번째 null이 입니다. $ 1 / T $ 여기서 $ T $ 는 직사각형 함수의 기간입니다. 샘플링 된 시스템의 경우 첫 번째 null은 $ 2 \ pi / N $ 이며 여기서 $ N $ 는 직사각형 함수 기간 동안의 샘플 수. 이미지에서 정규화 된 라디안 주파수가 주파수 축에 사용됩니다 (혼동되는 경우 $ 2 \ pi $ 가 샘플링 속도에 대한 라디안 주파수 임). 따라서 컨볼 루션 과정에서 날카로운 brickwall 전환이 확산되고이 경우 $ \ Delta \ omega $ 의 빈도에 대해 0 ( $ \ Delta \ omega $ )이됩니다. class = “math-container”> $ 2 \ pi / N $ ! 그래서 여기 $$ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $$ 그리고 물론 필터는 사이드 로브 등으로 좋지 않습니다. 참고 : Sinc 함수에서이 전환 주어진 탭 수에 사용할 수있는 가장 날카로운 것입니다. 주파수에서 최고의 해상도를 갖지만 가장 열악한 동적 범위 (거부)를가집니다. 다른 창 유형 (Blackman, Blackman-harris, Kaiser (내가 가장 좋아하는) 등)은 동적 범위를 크게 개선하지만 항상 전환을 희생합니다.

위에서 의 기원을 알 수 있습니다. 근사 공식에 사용되는 $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ , 그리고 일반적인 필터 설계에서 이보다 더 많은 탭 수를 증가시키는 추가 곱셈 계수가있는 이유도 알 수 있습니다. 직사각형 창은 $ N $ 탭에서 $ N = 2 \ pi / \ Delta \ 오메가 $ 이지만 거부감이 매우 낮습니다. 더 많은 탭을 사용하여 직사각형 창의 급격한 전환을 넘어 시간 전환을 더 부드럽게하여 전환 대역폭을 희생하면서 더 큰 거부를 제공합니다.

댓글

• 혼동을 피하기 위해 " Kaiser '의 수식 "이라고 부르는 수식 실제로는 Parks McClellan 최적 필터에 대한 공식 (실제로 Kaiser에 의해 발견됨)이지만 Kaiser 창 방법에 대한 공식은 아닙니다. 후자는 ' 두 개의 서로 다른 $ \ delta $ 값이없고 하나만 있습니다.
• 사실 Kaiser 창 메서드가 있으므로 Matt를 잘 설명합니다. 그러나이 공식은 " Kaiser '의 공식 "이라고하며 독자들은 '이 용어를 제가 직접 사용한 것이라고 생각하지 않습니다. engold.ui.ac.ir/~sabahi/Advanced%20digital%20communication/ …
• 굉장합니다!Fred Harris ' 책의 48 페이지에서 가져온 것 같습니다. " 통신 시스템을위한 다중 신호 처리 "?
• 경험의 법칙 또는 그림? 사진은 제가하는 수업에서 제 것입니다. 저는 ' fred '의 책은 없지만 열성 팬이며 그의 " 경험의 법칙 " 그가 1996 년경 DSP World 프레젠테이션에서 수행했습니다. (그는 자신의 이름을 모두 소문자로 표기해야한다고 주장합니다.)