DTFT 속성을 사용하여 h [n] 찾기

이것은 귀하의 입학 숙제 (그리고 상당히 기본적인)에 의한 것입니다. 제가 물어 볼게요. DTFT 의 정의를 기억하세요 :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {-j \ omega n} $$

그리고 주파수 응답 $ H ( \ omega) $ :

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

여기서 $ x [n ] $는 시스템에 대한 입력이고 $ y [n] $는 출력입니다. 다음 두 방정식을 결합하십시오.

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1-a ^ 4 e ^ {-j 4 \ omega}} { 1-a ^ 4 e ^ {-j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1-a ^ 4 e ^ {-j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1-a ^ 4 e ^ {-j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega)-a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega)-a ^ 4 e ^ {-j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

이제 방정식의 양변에 역 DTFT를 수행합니다. 정의에 따라 $ X (\ omega) $ 및 $ x [n] $는 변환 쌍입니다. $ Y (\ omega) $ 및 $ y [n] $도 마찬가지입니다. 다른 두 용어의 경우 DTFT의 시간 이동 속성 을 상기합니다.

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

DFT의 정의에서 쉽게 볼 수 있습니다. 이 속성을 사용하여 방정식 역변환은 시스템의 차분 방정식 사양으로 변환됩니다.

$$ x [n]-a ^ 4 x [n-4] = y [n]-a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n]-a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

이것은 일반적으로 IIR 인 재귀 필터의 정의입니다. 이것이 바로이 경우입니다. 임펄스 응답을 찾는 것은 쉽습니다. let $ x [n] = \ delta [n] $ 그리고 시스템 출력은 다음과 같습니다 :

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n]-a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n]-a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

위는 $ a = 0.99 $로 표시됩니다. 시스템은 $ | a | \ le1 $에 대해서만 안정적입니다.

댓글

• I ' 임펄스 응답을 계산하려고했지만 엉 키게되었습니다. 어떻게 진행되었는지 ' 보여줄 수 있나요? 감사합니다.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega)-\ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (-(n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n}-a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n}-a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ 임펄스 응답이 $ \ infty $까지 확장되므로 이것은 IIR 필터입니다. JasonR은 그의 답변에서 필터가 만약 $ | a | < 1 $. 사실, 필터는 $ | a | \ leq 1 $, $ | a |에만 불안정합니다. > 1 $. 그러나 $ | a | = 1 $, 기하 급수 공식 $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $에서 $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$는 단기 적분기로 설명 할 수있는 (안정적인) FIR 필터의 전달 함수입니다. 또는 단기 평균 ($ 4 $ 증가).

댓글

• 멋진 대체 유도. 내 답변에서도 안정성에 대한 주장을 수정했습니다.