우리 대부분은 우리 주변의 우주를 설명하는 아인슈타인의 놀라운 방정식에 대해 들어 봤지만 방정식이 실제로 무엇을 말하는지 이해하는 사람도 있습니다.
이 방정식은 실제로 무엇을 말하며,이를 유도 할 수있는 간단한 (상대적으로) 방법이 있습니까?
그렇습니다. 위키 백과 :
$$ R _ {\ mu \ nu}-\ dfrac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} R + g_ { \ mu \ nu} \ Lambda = \ dfrac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} $$
텐서가 무엇인지 모호한 개념이 있습니다. 배열과 더 높은 차수가 더 복잡한 변환을 정의합니다.) 그러나 저는이 모든 텐서가 무엇을하는지 이해하지 못합니다. 그리고 방정식에 $ c ^ {4} $가있는 이유는 무엇입니까!?
댓글
- 간단히 말해서 EFE (John Baez 작성) : math.ucr.edu/home/baez/einstein/node3.html
- 아인슈타인에 대한 설명에 대한 저의 개념을 살펴보십시오. ‘의 필드 방정식, 여기 anastasiadis-konstantinos.appspot.com/pdf/efe.pdf
답변
아인슈타인의 방정식은 물질과 시공간의 기하학 사이의 주요 관계 . 방정식의 모든 용어가 의미하는 바를 정 성적으로 설명하려고 노력할 것입니다. 그러나 잠재적 인 독자들에게 이것이 짧은 답이 아닌 것임을 경고해야합니다. 또한, ” 초등학교 ” 방식으로 방정식을 유도하려고 시도하지 마십시오. 확실히 알 수 없습니다.
Matter
적도의 오른쪽 가장 중요한 것은 에너지-운동량 텐서 $ T _ {\ mu \ nu} $의 모습입니다. . 그것은 넓은 의미로 이해되는 물질, 즉 매체를 운반하는 모든 에너지 (또는 질량 또는 운동량 또는 압력)가 우주에 분포하는 방식을 정확하게 인코딩합니다. $ T $ 의 첨자 인덱스를 해석하는 방법을 이해하려면 아래의 메트릭 텐서에 대한 설명을 참조하세요.
이것은 몇 가지 기본을 곱합니다. 자연 상수 $ \ Big ($ 계수 $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ 그러나 이것은 그다지 중요하지 않습니다. 방정식과 관련된 수량 단위를 추적하는 부기 도구로 볼 수 있습니다. 실제로 전문 물리학 자들은 일반적으로 자유를 취합니다. 이와 같은 성가신 상수를 제거하여 표현식의 모양을 단순화하기 위해 측정 단위를 재정의합니다. 특정 옵션 중 하나는 ” 감소 된 플랑크 단위
, 여기서 $ 8 \ pi G = 1 $ 및 $ c = 1 $ , 인수는 $ 1 $ 가됩니다.
미분 g 기하학
아인슈타인 방정식의 왼쪽에는 시공간의 기하학을 설명하는 몇 가지 다른 용어가 있습니다. 일반 상대성 이론은 (semi-) Riemannian 기하학 으로 알려진 수학적 틀을 사용하는 이론입니다. 이 수학 분야에서는 어떤 의미에서 부드럽고 메트릭 이 장착 된 공간을 연구합니다. 먼저이 두 가지가 무엇을 의미하는지 이해해 보겠습니다.
부드러움 속성은 일반적인 3 차원 공간에서 부드러운 (2 차원) 표면의 직관적 (그리고 역사적으로 중요한!) 예를 통해 설명 할 수 있습니다. . 예를 들어 이상적인 축구의 표면, 즉 2 구를 상상해보십시오. 이제 표면의 아주 작은 부분에주의를 집중하면 (공을 자신의 얼굴에 대고) 공이 거의 평평한 것처럼 보입니다. 그러나 분명히 전 세계적으로 평평하지는 않습니다. 수학적 엄격함을 고려하지 않고, 지역적으로 평평하게 보이는이 속성을 가진 공간은 어떤 의미에서 부드럽습니다 라고 말할 수 있습니다. 수학적으로는이를 매니 폴드라고 부릅니다. 물론 무한한 종이와 같이 전 세계적으로 평평한 표면이 그러한 공간의 가장 간단한 예입니다.
리만 기하학 (및 미분 기하학 보다 일반적으로) 임의의 차원의 매끄러운 공간 (다양체)을 연구합니다. 깨달아야 할 한 가지 중요한 점은 그것들이 더 높은 차원의 공간에 내장 될 것이라고 상상하지 않고 연구 할 수 있다는 것입니다. 즉, 우리가 축구와 함께 사용할 수 있었던 시각화 또는 무엇에 대한 다른 참조 없이도 공간 자체의 ” 외부 ” 일 수도 있고 아닐 수도 있습니다.하나는 그것들과 그 기하학을 본질적으로 연구 할 수 있다고 말합니다.
메트릭
다양체의 기하학을 본질적으로 연구 할 때, 주요 연구 대상은 미터법 (텐서)입니다. 물리학 자들은 일반적으로 $ g _ {\ mu \ nu} $ 로 표시합니다. 어떤 의미에서 그것은 우리에게 다양한 거리에 대한 개념을 부여합니다. 메트릭이있는 2 차원 매니 폴드를 고려하고 ” 좌표 그리드 “를 배치합니다. 즉, 각 지점에 2 개의 세트를 할당합니다. 숫자, $ (x, y) $ . 그런 다음 측정 항목은 $ 2 ^ 2 = 4 $ 가있는 $ 2 \ times 2 $ 행렬로 볼 수 있습니다. 항목. 이러한 항목은 $ \ mu, \ nu $ 아래 첨자로 레이블이 지정되며 각 항목은 $ x $ 또는 $ y $ . 측정 항목은 단순히 숫자 배열로 이해 될 수 있습니다.
$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$
또한 메트릭이 $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ 와 같이 정의되었다고 가정합니다. 즉, 인덱스에 대해 대칭입니다. 이는이 예에서 $ g_ {xy} = g_ {yx} $ 를 의미합니다. 이제 근처에있는 두 점을 고려하여 두 점 간의 좌표 차이가 $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ 이것을 축약 표기법으로 $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ 로 표시 할 수 있습니다. 여기서 $ \ mu $ 는 $ x $ 또는 $ y \;, $ 및 $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ 및 $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ 그런 다음 $ \ mathrm {d} s \;, $ span라고하는 두 점 사이의 거리 제곱을 정의합니다. > as
$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$
이게 실제로 어떻게 작동하는지 이해하기 위해 무한한 2 개를 살펴 보겠습니다. 차원 평면 공간 (예 : 위에서 언급 한 종이), 두 개의 ” 표준 ” 평면 좌표 $ x, y $ 는 정사각형 그리드로 정의됩니다. 그런 다음 우리 모두는 피타고라스 “정리에서
$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $
이 경우 평평한 2 차원 공간에 대한 자연 측정 항목은 다음과 같이 지정됩니다.
$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$
이제 가까운 지점 사이의 거리를 ” 측정 “하는 방법을 알고 있습니다. , 기본 물리학의 일반적인 기술을 사용하고 작은 세그먼트를 통합 하여 더 제거 된 점 사이의 거리를 얻을 수 있습니다.
$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$
Ge 더 높은 차원으로의 네 랄라이 제이션은 간단합니다.
곡률 텐서
위에서 주장했듯이 메트릭 텐서는 다양체 (또는 물리적 인 경우 시공간)의 기하학을 정의합니다. . 특히, 우리는 그것으로부터 매니 폴드의 곡률에 대한 모든 관련 정보를 추출 할 수 있어야합니다. 이는 Riemann (곡률) 텐서 $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \를 구성하여 수행됩니다. nu \ rho \ sigma} $ 는 메트릭의 배열 시각화와 유사하게 4 차원 배열로 간주 될 수있는 매우 복잡한 개체이며 각 인덱스는 pan $ N $ 좌표가있는 경우 class = “math-container”> $ N $ 값 $ \ { x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ (즉, $ N $ 차원 공간을 다루는 경우). 지금은 그리 중요하지 않은 복잡한 방식의 메트릭 측면에서 순전히 정의됩니다.이 텐서는 다양체의 곡률에 대한 거의 모든 정보를 보유하고 있으며 우리 물리학 자들이 일반적으로 관심을 갖는 것보다 훨씬 더 많습니다. 그러나, 정말 무슨 일이 일어나고 있는지 알고 싶다면 리만 텐서를 잘 살펴 보는 것이 유용 할 때가 있습니다.예를 들어, 어디서나 사라지는 Riemann 텐서 ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) 보증 시공간이 평평하다는 것. 이러한 것이 유용한 한 가지 유명한 사례는 블랙홀을 설명하는 Schwarzschild 측정 항목 에 있습니다. 이는 Schwarzschild 반경에서 특이한 것처럼 보입니다. $ r = r_s \ neq 0 $ . Riemann 텐서를 검사하면 여기서 곡률이 실제로 유한하다는 것이 분명해집니다. 따라서 ” 실제 아닌 좌표 특이점을 다루고 있습니다. div id = “984130ffe1”>
중력 특이점.
“의 특정 ” 부분을 가져옴 Riemann 텐서의 경우 더 단순한 객체 인 Ricci 텐서 만 처리하면되는 대가로 포함 된 정보 중 일부를 삭제할 수 있습니다.
$$ R_ { \ nu \ sigma} : = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$
이것은 아인슈타인 필드 방정식에 나타나는 텐서 중 하나입니다. 방정식의 두 번째 항은 Ricci 스칼라 $ R $ 를 특징으로하며, 이는 다시 한 번 계약 ( ” 일부 인덱스의 가능한 모든 인덱스 값을 합산하여 “) Ricci 텐서에 대한 멋진 단어입니다. 이번에는 역 메트릭 $ g ^ {\ mu \ nu} $ 방정식에 의해 일반 메트릭에서 구성 할 수 있습니다.
$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {and} 0 \ \ text {otherwise} $$
약속 된대로 Ricci 스칼라는 Ricci 텐서의 수축과 역수입니다. 측정 항목 :
$$ R : = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$
물론 Ricci 스칼라는 다시 한 번 Ricci 텐서보다 적은 정보를 포함하지만 처리하기가 훨씬 더 쉽습니다. . 단순히 $를 곱하면됩니다. g _ {\ mu \ nu} $ 는 $ R _ {\ mu \ nu} $ 및 $ T _ {\ mu \ nu} $ 입니다. Einstein 필드 방정식에 나타나는 곡률 텐서의 특정 조합은 Einstein tensor
$$ G _ {\ mu \로 알려져 있습니다. nu} : = R _ {\ mu \ nu}-\ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$
우주 상수
지금까지 생략 한 용어가 하나 있습니다. 우주 상수 항 $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . 이름에서 알 수 있듯이 $ \ Lambda $ 는 단순히 메트릭을 곱하는 상수입니다. $ \ Lambda $ 는 일종의 ” 에너지 함량 ” 우주의 $ T _ {\ mu에 의해 성문화 된 나머지 물질과 더 적절하게 그룹화 될 수 있습니다. \ nu} $ .
우주 상수는 확실하게 설명하는 것으로 보이는 유명한 암흑 에너지 에 대한 가능한 설명을 제공하기 때문에 주로 관심이 있습니다. 중요한 우주 관측. 우주 상수가 실제로 우리 우주에서 0이 아닌지 여부는 관측치가 제안하는 값을 설명하는 것처럼 공개 된 문제입니다 (소위 우주 상수 문제 a> 일명 ” 내 개인적인 관심사 중 하나 인 이론 물리학에 대한 최악의 예측 “).
추신. 댓글에서 지적했듯이,이 질문이 마음에 드 셨다면 이 질문 과 그에 대한 답변을 읽어 보는 것도 좋습니다. 다른 곡선 시공간에서 ” 테스트 입자 “의 운동을 설명하는 중요한 일반 상대성 방정식.
답변
아인슈타인의 방정식은 물질 내용 (방정식의 오른쪽)을 기하학 (왼쪽)과 관련시킵니다. “질량은 지오메트리를 생성하고 지오메트리는 질량처럼 작동합니다.”로 요약 할 수 있습니다.
자세한 내용은 텐서가 무엇인지 고려해 봅시다. 2- 인덱스 텐서 (아인슈타인 방정식에있는 것)는 한 벡터를 다른 벡터로 가져 오는 맵으로 생각할 수 있습니다. 예를 들어 스트레스 에너지 텐서는 위치 벡터를 가져와 운동량 벡터를 반환합니다. (수학적으로 $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, 그리고 저는 토론을 단순화하기 위해 모든 곳에서 벡터와 공동 벡터를 혼합하고 있습니다). 해석은 아인슈타인 방정식의 우변이 위치 벡터에 의해 정의 된 표면을 통과하는 운동량을 알려주는 것입니다.
왼쪽도 이런 식으로 해석 될 수 있습니다. 리치 곡률 $ R _ {\ mu \ nu} $는 위치 벡터를 취하고 $ \ vec {x} $로 정의 된 표면을 통해 곡률이 얼마나 변하는 지 알려주는 벡터를 반환합니다. 두 번째 및 세 번째 항은 모두 미터법 $ g _ {\ mu \ nu} $의 요소를 가지며, 벡터를 따라 이동할 때 거리 측정이 얼마나 변경되는지 알려줍니다. 이 거리 변화에 대한 두 가지 기여는 스칼라 곡률 $ R $와 $ \ Lambda $입니다. $ R _ {\ mu \ nu} $가 “단일 방향의 곡률”이면 $ R $는 “총 곡률”입니다. $ \ Lambda $는 빈 공간이 타고난 에너지의 양을 알려주는 상수로 $ \ Lambda > 0 $에 대해 모든 거리가 커집니다.
그래서 , 방정식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 “아인슈타인”방정식은 운동량 (이동 질량)이 곡률과 거리 측정 방식의 변화를 모두 유발한다는 것을 알려줍니다. 왼쪽에서 오른쪽으로 읽으면 “아인슈타인”방정식은 곡률과 변화를 알려줍니다. 거리는 움직이는 질량과 같은 역할을합니다. “
댓글
- 와우-간단하게 설명합니다.
- @levitopher 이유 iv 스트레스 에너지에서 ” 스트레스 “라고하는 id = “a30ec4166b”>
?
답변
내 블로그의 EFE (Einstein Field Equations) 유도 단계 : http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/
EFE의 의미 (Wheeler) : “시공간은 이동하는 방법을, 물질 에너지는 시공간을 구부리는 방법을 알려줍니다.”
EFE에 대한 간단한 단어 : “Geometry”= “Curvature”(일반 상대성 이론에서 비틀림이 없음은 에너지 모멘텀이 대칭이라는 것을 의미하며, 메트릭, Ricci 텐서 및 Einstein 텐서의 경우에 해당됨).
더 심각한 의미는 다음과 같습니다.
-왼손잡이 : 아인슈타인 텐서는 2 개 (우주 용어를 계산하면 3 개) 조각으로 구성됩니다. 그들은 로컬 시공간 메트릭이 일정하지 않아 발생하는 곡률을 측정하고 (민코프 스키 메트릭은 평평한 시공간이고, 중력이 켜진 것은 메트릭이 필드, 즉 로컬 시공간 좌표에 종속적임을 의미 함) 로컬 곡률을 의미합니다. 곡률 스칼라와 Ricci 텐서에 의해 측정되며, Einstein (및 Hilbert)이 한 방식으로 결합 된 것은 발산없는 전류를 제공합니다 (즉, 오른쪽과 동일하게하여 에너지 운동량 보존).
-오른손 : 필드의 에너지 모멘텀, 시공간 왜곡 / 곡선 / 굽힘. 여기에 우주 용어를 추가하고 암흑 에너지라고 부를 수 있습니다. 암흑 에너지는 어떻게 든 (조금주의해서) 진공 시공간의 에너지라는 것을 산출합니다. 그리고 우리는 그것이 0이 아닐뿐만 아니라 현재 물질 에너지를 만드는 주요 우주 성분이라고 생각합니다 (약 70 %, WMAP + PLANCK 위성이 이에 동의하는 것 같습니다 …).