책에서 Fock 공간은 모든 $ n $ -body Hilbert Space의 직접적인 합으로 정의됩니다.
$$ F = H ^ 0 \ bigoplus H ^ 1 \ bigoplus … \ bigoplus H ^ N $$
그냥 모두 “수집”/ “추가”라는 의미입니까? 각 힐베르트 공간의 주? 저는 2 차 양자화를 배우고 있습니다. 그래서 수학 대신 물리학에 이것을 넣었습니다.
댓글
- " 직액 " 직접 합계를 취하려는 신체적 동기가 무엇인지 물어보고 있습니까?
- en.wikipedia.org/wiki/Direct_sum 하지만 아마이 글을 읽으 셨을 것입니다. 위키피디아 페이지는 그 자체로 확신이 없습니다 ….
답변
Hilbert 공간 $ H $ 로 설명되는 시스템이 있다고 가정 해 보겠습니다. , 예를 들어 단일 입자. $ H $ 에 설명 된 것과 동일한 유형의 상호 작용하지 않는 두 입자의 Hilbert 공간은 단순히 텐서 곱
입니다.
$$ H ^ 2 : = H \ otimes H $$
더 일반적으로 $ N $ 입자, Hilbert 공간은
$ H ^ 0 $ 가 $ \ mathbb C $ 로 정의 됨 (예 : $ H $ 의 기본 필드).
QFT에는 다른 pan class = “를 연결 하는 연산자가 있습니다. math-container “> $ H ^ N $ s, 즉 입자를 만들고 소멸시킵니다. 일반적인 예는 생성 및 소멸 연산자 $ a ^ * $ 및 $ a $ 입니다. $ H ^ N $ 및 $ H ^ M $ , 하나는 모든 멀티의 직접 합계를 취하여 정의 된 더 큰 힐베르트 공간에 대해 " 포괄적 인 " 정의를 제공 할 수 있습니다. -입자 공간, 즉.
$$ \ Gamma (H) : = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$
$ H $ 의 Fock Hilbert 공간으로 알려져 있으며 때때로 $ e ^ H $ .
물리적 관점에서 위의 Fock 공간에 대한 일반적인 정의는 중요하지 않습니다. 동일한 입자는 실제 힐베르트 공간을 감소 할 명확한 (파라) 통계를 관찰하는 것으로 알려져 있습니다 (보소닉 / 페르미 오닉 사례에 대한 대칭 / 반대 칭 등 …).
댓글
- 정답입니다! 나는 그들이 QFT 교과서를 이렇게 작성했으면 좋겠다.
답변
훌륭한 답변이지만 완성도를 위해 예를 들어 설명합니다.
$ H ^ 1 $에 단일 입자 상태 $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $ 등이 포함되어 있다고 가정합니다. Fock 공간은 제한을 제거합니다. 존재 는 $ H ^ 0 $ (1 차원), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $ 등으로 구성됩니다. 다음과 같은 상태를 허용합니다.
- 진공 상태, 빈 켓 $ | \ rangle $,
- 모든 단일 입자 상태, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
- 모든 두 입자 상태, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (이 구조에서 구별 가능하다고 간주하는주의),
그러나 가장 중요한 것은
- 위의 모든 중첩 (예 : $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4) }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle-\ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ right) $.
이 공간은 큐 비트와 같은 작은 것으로 시작하더라도 본질적으로 무한 차원입니다. 기초의 도움으로 결과를 상상하고 싶다면 모든 구성 요소의 기초 상태 목록을 연결하면됩니다.
$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$
가장 사소한 설정은 단일 입자가 실제로 어떤 상태도 가지지 않으므로 $ H ^ 1 $은 1 차원입니다. 기준 상태 $ | {} \ circ {} \ rangle \ in H ^ 1 $을 선택하고 기저로 Fock 공간을 구성하는 것이 여전히 타당합니다.
$$ \ {| \ rangle = : | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle = : | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle = : | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle = : | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$
상태의 예는 일관된 상태 일 수 있습니다
$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$
그리고 당신은 왜 사람들이 고조파 발진기에서 “포논”으로 여기를 말할 수 있는지에 대한 좋은 예를 가지고 있습니다. 단 하나의 입자 만 진동하더라도!
답변
예, 그렇습니다. 원하는 경우 “작은”공간에서 “큰”힐베르트 공간을 만듭니다.