이 대답에서 Jim Clay는 다음과 같이 씁니다.
… $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w-1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
위의 표현식은 $ \ mathcal F \ {{와 크게 다르지 않습니다. \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
푸리에 변환 $ X (f) = \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {-j2 \ pi ft} dt $의 표준 정의를 사용하여 나중 표현식을 얻으려면 최종적으로는 “분명히 답인 것”과는 다른 표현입니다.
내 작업은 다음과 같습니다.
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {-j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {-j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {-j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {-j2 \ pi f_0t} e ^ {-j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {-j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {-j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {-j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {-j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {-j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
내가 갇힌 곳입니다.
답변
$ \ cos (2 \ pi f_0 t) $의 푸리에 변환이 존재하지 않는다는 문제를 제외하면 작업은 정상입니다. $ f $의 함수 에 대한 일반적인 감각입니다. 그리고 우리는 분포, 임펄스 또는 Dirac 델타라고하는 것을 포함하도록 개념을 확장해야합니다 (엔지니어는 수학자의 혐오) 델타 함수 를 위해 충족해야하는 조건에 대해 읽어보십시오. $ x (t) $ 신호의 푸리에 변환 $ X (f) $ (일반적인 의미에서)가 존재하고 $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $에 푸리에 변환이 없음을 알 수 있습니다. 일반적인 의미입니다.
충동이 적분에서 적분으로 작동하는 방식, 즉 $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ $ g (x) $가 $ x_0 $에서 연속적이라면 $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left의 푸리에 변환을 추론 하는 것이 더 쉽습니다. . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {-j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ $$ \ int_ {-\ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$이므로 $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $는 $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ()의 역 푸리에 변환입니다. f + f_0) \ right] $.
답변
그런 다음 푸리에 변환 쌍 테이블을 사용하여 $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $ 및 변수 대체 ($ f_1 = f + f_0 $ 및 $ f_2 = f-f_0 $), 필요한 것을 얻을 수 있습니다.
댓글
- 물론 어떤 사람이 표에있는 답이 나온 표를 적어 두었습니다.
- @DilipSarwate 🙂 이제 ' 훨씬 더 어려운 질문을하고 있습니다. 🙂
- 수학이 아닌 경우이 stackexchange에서 소집을 통과 할 수있는 훨씬 더 어려운 질문에 대한 답변 버전을 보려면 내 답변을 참조하십시오 .SE!
- @DilipSarwate : you ' 이미 +1을 받았습니다. 고마워, 좋은 대답. 수학에 동의했습니다 .SE 친구들은 끔찍할 것입니다. 괜찮습니다. ' 엔지니어입니다. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/ …