정의 된 단위 단계 신호
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
접근 유형에 따라 푸리에 도메인 표현에 대한 세 가지 가능한 솔루션이 있습니다. 이들은 다음과 같습니다-
- 광범위하게 따르는 접근법 (Oppenheim Textbook)-signum 함수의 푸리에 변환에서 단위 단계 함수의 푸리에 변환 계산
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- 단위 단계 함수의 Z 변환에서 계산 된 푸리에 변환 (Proakis 교과서, 디지털 신호 처리 알고리즘 및 애플리케이션 , 페이지 267,268 섹션 4.2.8 참조)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- 짝수 및 홀수 함수로 분할하여 계산 된 푸리에 변환-Proakis Textbook (Proakis Textbook 참조, 디지털 신호 처리 알고리즘 및 애플리케이션 , 페이지 618 섹션 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}} $$
두 번째 표현은 잘 작동하는 함수가 아니므로 무시할 수 있습니다. 그러나 Proakis와 Oppenheim이 따르는 접근 방식은 똑같이 유효합니다 (푸리에 변환을 확장하여 주파수 영역의 임펄스를 포함). 그러나 혼란스러운 점은 서로 다른 솔루션을 제공한다는 것입니다.
내 이해에 실수가 있습니까? 아니면 중요한 포인트를 놓치고 있습니까 ?? 이 내용과 모든 응용 프로그램에서 사용할 수있는 올바른 형식을 이해하도록 도와주세요. (나는 Oppenheim 접근 방식이 Kramers-Kronig Relations 및 Hilbert 변환의 유도에 사용되는 Proakis 접근 방식을 사용하는 것을 발견했습니다)
Answer
첫 번째 표현식은 연속 단위 단계 $ u (t) $의 푸리에 변환이므로 이산 시간 단계 시퀀스 $ u [에는 적용 할 수 없습니다. n] $. 또한 두 번째 및 세 번째 표현식은 모두 정확하며 두 번째 표현식이 $ 2 \ pi $의 정수 배수에서 유효성을 주장하지 않는다는 점을 고려하면 동일합니다.
If 각 주파수를 $ 2 \ pi $의 배수로 제외하면 세 번째 표현식은
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {-j \ omega}}가됩니다. = \ frac {1} {e ^ {-j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {-j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
두 번째 표현식과 동일합니다.
코멘트
- 감사합니다. 두 번째와 세 번째는 동일하지만 세 번째에서는 극에 임펄스를 포함하여 구성이 있습니다. 설명해 주셔서 감사합니다.
Answer
Matt가 말했듯이 두 번째와 세 번째 정의는 다음을 제외하고 동일합니다. 충동이있는 부분. 임펄스 ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ )는 $ u [n] $의 DC 값을 설명합니다. . 이 용어 (즉, 두 번째 정의)가 없으면 실제로는 $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ <의 FT입니다. / span>. $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ 이 있습니다. 따라서 $ u [n] $ 의 FT에는 $ \ frac {1의 추가를 설명하는 추가 용어가 있습니다. } {2} $ . 또한 $ u [n] $ 의 불연속 시간 FT (또는 DTFT)는 $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
첫 번째 정의 인 $ U (j \ omega) $ 는 “연속 시간 “FT (또는 CTFT) / $ u (t) $ ( $ u [n] $ 아님) 따라서 다른 두 정의와 다릅니다.