푸리에 변환에서 지수 항은 무엇을 의미합니까?

푸리에 변환 :

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {-i \ omega t} dt $$

함수를 고조파 함수의 적분으로 변환합니다. $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $ 때문에 이것들을 죄와 코사인으로 생각할 수 있습니다. 임의의 주기적 신호를 다른 실제 주기적 (고조파) 신호의 합으로 변환하는 푸리에 시리즈의 연속적인 형태 인 푸리에 변환 :

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

푸리에 변환에서 계수 $ a_n $ 및 $를 생각할 수 있습니다. b_n $는 연속 함수의 값을 살펴 봅니다. 더 자세히 비교하기 위해 복잡한 버전의 시리즈가 있습니다.

$$ f (t) = \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

댓글

• $ t $ 또는 $ x $ 중 하나 인 하나 의 독립 변수를 고수하십시오. 또한 ' 듣는 '보다 더 나은 단어를 찾아보세요. ' t는 여기에서 의미가 있습니다.
• 정현파와 지수 함수의 인수에서 $ \ omega $도 누락됩니다. $ \ cos (n \ omega t) $ 등.
• @MattL. $ \ omega $가 필요합니까? 푸리에 변환에는 $ e ^ {i \ omega t} $가 있지만 시리즈에서는 " $ n $ "가 대신합니다. $ \ omega $. ' 그렇지 않나요?
• 아니요, $ \ omega = 2 \ pi / T $, 여기서 $ T $는 $ f (t)의 기간입니다. $, 즉 $ T = 2 \ pi $가 아니면 $ \ omega $가 필요합니다.
• 좋습니다. 무슨 뜻인지 알겠습니다.

사례 고려 $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {-i \ omega_0 t}. \ $ 그런 다음

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-\ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-\ omega-\ omega_0) t} \ dt \\ $$

When $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , 두 적분 모두 0 주변에서 진동하고 적분은 사실상 0입니다.0이 아닌 유일한 결과는

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (-\ omega_0) = \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

$ F (\ omega) = \ delta (\ omega-\ omega_0) + \ delta \ big (\ omega-(-\ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega-\ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

인수 $ \ omega $ 의 주어진 값, $ e ^ {-i \ omega t} $ factor는 해당 빈도에서 $ f (t) $ 의 구성 요소를 $ 0 $ 및 기타 모든 구성 요소로 변환합니다. 0에서 멀리. 그런 다음 무한 적분은 $ 0 $ 에서 구성 요소의 강도를 측정합니다.

$ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ ,이어서 $ F (\ omega) = \ delta (\ omega-\ omega_0) $ . 이것이 실제로 의미하는 것은 $ \ omega_0 $ 의 부호가 함수 $ e ^ {i \에서 분명하게 추론 될 수 있다는 것입니다. omega_0 t} $ . $ \ cos (\ omega_0 t) $ 에서 추론 할 수 없습니다. $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . 푸리에 변환은 $ \ omega = \ omega_0 $ 및 $ \ omega = 모두에서 0이 아닌 응답을 제공하여 이러한 모호성을 처리합니다. -\ omega_0 $ . 그렇다고 $ \ cos (\ omega_0 t) $ 에 두 주파수가 모두 포함되어 있다는 의미는 아닙니다. $ \ omega_0 $ 하나의 값만 가질 수 있습니다. 올바른 해석은 $ e ^ {i \ omega_0 t} $ 에 $ \ cos보다 적은 것이 아니라 더 많은 정보가 포함되어 있다는 것입니다. (\ omega_0 t) $ . 공식 $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {-i \ omega_0 t} \ $ 는 더 많은 정보처럼 보이지만 실제로는 취소입니다. 정보.

댓글

• " 이것은 $ cos (\ omega_0 t) $를 의미하지 않습니다. $ \ omega_0 $는 하나의 값만 가질 수 있기 때문에 두 주파수를 모두 포함합니다. " 아니요. 코사인은 반대 주파수 (두 개의 고유 한 값)의 두 복잡한 순수 톤의 합입니다. ' 알 수없는 것은 $ \ omega_0 $ 기호입니다. 둘 다 제곱근을 고르는 것과 유사한 유효한 해석입니다. 따라서 관례 상 실제 값의 순수 톤에 대한 주파수는 양수로 간주됩니다.
• @Cedron-함수 $ f (x) = x ^ 2 + ix $를 고려합니다. $ \ $ 그리고 $ \ \ therefore \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $해야합니다 우리는 $ x ^ 2 $가 실수 선의 함수 이상이라고 결론을 내립니다. 비밀리에 두 가지 복잡한 기능으로 구성되어 있습니까? 그렇다면, 어느 두 개? … $ f (x) $를 $ x ^ 2 + ix ^ 3 $처럼 쉽게 정의 할 수 있었기 때문입니다.
• 이것은 ' t 함수 분해에 대해. 당신은 $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $라고 쉽게 말할 수 있습니다. " 두 주파수를 모두 포함 " 구문은 FT (이 경우 연속)와 관련이 있습니다. $ cos $에 하나의 주파수 만 있으면 스펙트럼에 0이 아닌 값이 하나만있을 것입니다.
• 나는 ' 어떻게하는 것이 합리적이라고 생각하지 않습니다. 주기적 함수로 " 합리적인 " 분해 가 무엇을 의미하는지에 대해 동의하지 않고 일반 신호에 포함 된 많은 주파수. 주파수 는 주파수의 주기적 요소 에 대한 속기 표현입니다. 예를 들어, 합리적인 분해에는 서로를 완전히 취소하는 구성 요소 또는 동일한 구성 요소가 포함되지 않습니다.
• @Olli-내 델타에 대한 편집 지원에 감사드립니다. ' 정답이 아니라고 생각했지만 ' 이유를 몰랐습니다.