충동 열차의 주파수 표현 유도를 살펴보고 싶습니다.
정의 기간이 $ T $ 인 임펄스 트레인 함수의 샘플링 주파수가 $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $ 인 주파수 표현은 다음과 같습니다.
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega-k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
임펄스 함수의 지수 푸리에 급수 표현을 사용하고 여기에서 푸리에 변환을 적용하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {-\ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {-j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {-\ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {-jn \ Omega_s t} e ^ {-j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k =-\ infty} ^ { \ infty} e ^ {-j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
그곳에서 최종 결과를 얻으려면 통합이 $ 2 \ pi $ 이상이어야합니다. $ \ Omega = -k \ Omega_s $ 인 경우 지수는 $ e ^ 0 $이고 $ 2 \ pi $에 적분되며 $ \ Omega $의 다른 값에 대해서는 0으로 적분되는 전체 사인파가 있습니다. 그러나 통합의 한계는 음의 무한대에서 양의 무한대입니다. 누군가 이것을 설명 할 수 있습니까? 감사합니다!
Answer
발생하는 적분이 관습적인 의미로 수렴되지 않는다는 것을 올바르게 알아 냈습니다. 결과를 확인하는 확실한 방법은 푸리에 변환 관계에 주목하는 것입니다.
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
변조 속성
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
그러므로 각 항 $ e ^ { 푸리에 시리즈의 jn \ Omega_s t} $가 $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $로 변환되고 결과는 다음과 같습니다.
댓글
- 이것은 제가 생각했던 것보다 완벽하고 쉽습니다. 정말 감사합니다 !!!
- 다른 답변도 맞았습니다. 수락 된 답변을 바꿨습니다.
Answer
@MattL은 위의 결과를 볼 수있는 멋지고 간단한 방법을 제안했습니다.
하지만 당신이 언급 한 정규 분석 방정식의 결과를보고 싶다면 아래와 같이 할 수 있습니다.
S (t)는주기적인 임펄스 기차이므로 S (t)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ \ S (t) = \ sum_ {n =-\ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
이제 S (t)의 푸리에 급수를 취하면 S (t)를 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$ S (t) = \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
$ C_n $는 지수 푸리에 급수 계수이고 $ w_o $는 기본 주파수입니다.
지수 푸리에 급수에서 우리는
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {-T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {-jnw_ot} dt $$
이제 위 식에서 첫 번째 식의 S (t) 값을 대체합니다.
그래서 $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ int _ {-T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {-jnw_ot} dt $$
이제 관찰해야합니다. 적분을 관찰하면 -T / 2에서 + T / 2까지입니다. 이 적분 기간 동안 단 하나의 임펄스 $ \ delta (t) $ 만 존재하는 것을 관찰하십시오. 합계의 다른 모든 임펄스 함수는 T / 2 이후 또는 -T / 2 이전에 발생합니다. 따라서 $ C_n $에 대한 위의 방정식은
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e와 같이 쓸 수 있습니다. ^ {-jnw_ot} $$
속성을 선별하여 위와 같이 작성할 수 있습니다.
$$ C_n = (1 / T) e ^ {-jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
이제이 $ C_n $ 값을 첫 번째 S (t) 방정식에 넣으십시오.
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
이제 위 방정식의 푸리에 변환 찾기
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
따라서 푸리에 변환은 $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
도움이 될 것입니다.