따라서 $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $에는 Frobenius 내부 곱이 있습니다. $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
$ {\ bf R} ^ {np에서 유클리드 내부 곱으로 해석 될 수 있습니다. } $. 내 이해는 $ {\ bf R} ^ {np} $의 모든 내부 제품은 $ P $ 양의 정의에 대해 $$ a ^ TPb $$로 쓸 수 있다는 것입니다. $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $에서 Frobenius 내부 제품을 확장 할 때 제가 할 수있는 최선은 $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} 형식입니다. ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ for $ X_i \ in {\ bf R} ^ {m_i \ times n} $ 및 $ Y_i \ in {\ bf R} ^ {p \ times q_i} $ 모든 풀 랭크. 그러나 이것이 $ {\ bf R} ^ {np} $의 모든 내부 제품을 포함하는지 또는 중복으로 인해 필요한 것보다 더 복잡한 지 알고 싶습니다.
나는 다음을 찾을 수 있습니다. $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $에 대한 표준 기저를 취하고 행렬을 형성하여 특정 행렬 내적에 해당하는 $ P $ 행렬
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ dots & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
하지만 위에서 제공 한 행렬 내적의 일반 형식이 모든 양의 정의 행렬을 포함하는지 여부는 알 수 없습니다. $ P $.
업데이트 :
이 질문의 최신 버전 MathOverflow : https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
댓글
- SciComp.SE에 오신 것을 환영합니다! 이것은 흥미로운 질문이지만 math.stackexchange.com 에 훨씬 더 적절 해 보입니다. (' 컴퓨터 과학 문제와의 연결이없는 경우 ' 누락 된 경우 ' 추가 할 수 있다면 좋을 것입니다.)
- @ChristianClason, Riemannian 메트릭스를 사용한 매트릭스 매니 폴드 최적화와 관련된 ' 메트릭은 접선 공간의 내적입니다. ' 거의 확실히 Math.SE에 비해 너무 발전된 것입니다. 다른 적절한 곳은 MathOverflow뿐입니다. 실제로 해결책이라는 것을 증명하는 복잡한 작업을 수행하면 답변으로 게시 할 수있는 해결책이라고 생각하는 것을 찾았을 수도 있지만, 마이그레이션을 원하는 경우 ' 이것은 MathOverflow에 ' 괜찮습니다. 기회가되면 ' 최적화 컨텍스트를 추가하겠습니다.
- 행렬 $ P $도 양의 정의가 아닌 대칭이어야합니다.
- @WolfgangBangerth, 양의 정의는 대칭을 의미하는 것으로 이해됩니다.
- 모든 저자에게 양의 정의는 대칭을 의미하는 것은 아닙니다.
Answer
내적을 $ f (a, b) = \ left < a, b \ right 작업으로 볼 수 있습니다. > $, 즉, (i) 음이 아닌 숫자를 반환하고, (ii) 관계 $ f (a, b) = f (b, a) $.
벡터 $ a, b \ in \ mathbb R ^ n $의 경우 이러한 속성을 충족하는 모든 쌍 선형 함수는 $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1로 작성 될 수 있습니다. } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ 여기서 $ P $는 대칭이고 양의 정부 호입니다. 행렬 $ a, b \ in \ mathbb R ^ {n \ times p} $의 경우 이러한 모든 함수는 $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ 여기서 $ P $는 $ P_ {ijkl} = P_ {klij}라는 의미에서 대칭 인 랭크 4의 텐서입니다. $ 및 $ f (a, a) > 모든 $ a \ neq 0 $에 대해 0 $라는 의미에서 양수입니다.
귀하의 질문은 다음과 같이 요약됩니다. 이러한 조건을 만족하는 모든 $ P $가 $ X_i, Y_i $ 벡터의 결과 인 양식을 작성할 수 있는지 여부. 나는 이것에 대한 대답이 아니오라고 믿습니다. 이는 단순하게 $ n = p $를 가정하기 위해 대칭 $ P $가 (점근 적으로) $ n ^ 4 / 2 $ 자유도를 갖는 반면 $ n $ 벡터 $ X_i, Y_i $는 $ 2n만을 갖기 때문입니다. ^ 2 $ 자유도. 즉, $ n $가 충분히 크면 접근 방식이 자유도가 충분하다고 생각하지 않습니다.
댓글
- I 실제로 대답이 예라고 믿습니다. ' 업데이트 된 결과와 함께 수학 오버플로에 대한이 질문을 다시 게시 할 것입니다.
- 예, 매개 변수 수가 증가한다는 주장입니다. 벡터 내적 공간에서 4 차적으로 만 매트릭스 내적 공간에서 2 차적으로 만 매력적이지만 공간이 궁극적으로 유한하기 때문에 $ N $를 적절하게 증가시켜이를 극복 할 수 있어야합니다.
- 죄송합니다. MathOverflow에이 질문의 최신 버전을 게시했지만 ' 충분히 업데이트되었습니다. 적절하다고 생각했습니다. 원하는 경우 여기에 링크가 있습니다. 거기로 답변을 전송하거나 최신 버전을 기반으로 답변을 업데이트하십시오. mathoverflow.net/questions/229675/ …
- @Thoth @ ChristianClason의 조언에 유의하십시오. 질문을 mathoverflow.net이 아닌 math.stackexchange.com에 게시해야합니다. 목적과 청중이 다른 두 개의 다른 사이트입니다.
- @FedericoPoloni 예, 알고 있습니다. 제가 쓴 글을 읽으면 Math.SE에 비해 너무 발전된 것이라고 생각하고 얻을 가능성이 낮다고 말했습니다. 거기에 답이 있습니다.