저는 4 단계 속도 정의를위한 동기 부여에 신경을 썼습니다. Schutz의 A First Course in 일반 상대성 이론 에서 그는 $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z)로 주어진 입자의 세계 선의 각 지점에서 탄젠트 벡터 개념을 사용합니다. ) $ . 그리고 나중에 그는
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {equation}
모든 관찰자가 동의하는 매개 변수로 적절한 시간을 사용하기 위해 찾은 수학적 설명이지만, 우리가 관계를 사용하는이 정의 대신에 우리가 얻은 문제를 깨닫지 못합니다
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {equation}
여기서 $ t $ 는 일부 관성 프레임 S의 시간 측정입니다.
설명
- ' ' 당신이 유클리드 공간에서이 질문을 할 것이라고 생각하지 않습니다. 곡선 $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. 그러면 접선 벡터를 $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r로 쓸 수 있습니다. } / d \ lambda $. 또는 후자의 제안에 따라 $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $를 사용할 수 있습니다. 탄젠트 벡터는 여전히 올바른 방향을 가리 키지 만 오래 걸리지 않습니다. r은 잘 정의되어 있으며 정의는 $ x $를 골라 내기 때문에 더 이상 좌표를 혼합하는 방식으로 회전하도록 허용하지 않습니다.
- 4 속도가 정의 된 어딘가에 대해 설명하지 않습니다. 그렇게하면 Lorentz 4-vector가됩니까?
- @ jacob1729 예를 들어 줄 수 있습니까? '이 주제와 상당히 혼동됩니다.
답변
@Milan은 이미 정의의 기술적 문제에 답했습니다.
개념적 문제를 지적하고 싶습니다. 우리는 4 속도가 어떻게 든 시공간을 통한 물체의 움직임을 특징 짓기를 원합니다. 개념적으로 그러한 양은 그 움직임과 직접적인 관련이있는 양에만 의존해야한다는 것을 요구하는 것이 합리적입니다. 따라서 물체의 움직임과 관련이없는 임의의 관찰자의 시간을 가져 오는 것은 개념적으로 이상한 결정일 것입니다.이 수학적 실체는 다음과 직접 연결되어 있기 때문에 4- 속도를 물체 세계 선에 대한 접선 벡터로 정의하는 것이 좋습니다. 물론, 우리는 세계 선 / 운동 자체에 이상적으로 자연스럽고 외부 수량에 의존하지 않는 세계 선의 매개 변수화가 필요합니다. 시공간에서는 모든 개체가 자체 시계를 가지고 있기 때문에, 이 곡선은 객체 자체의 시계, 즉 적절한 시간에 의해 자연스럽게 매개 변수화됩니다.
주의, 이러한 방식으로 Lorentz 그룹에 대해 전혀 이야기 할 필요가 없습니다. 4 속도에 대해 처음 알게되었을 때 미분에 적절한 시간을 사용하기로 한 결정은 Lorentz 4 벡터를 만드는 데 무작위 결정으로 느껴졌습니다. 하지만 설명하려고했던 것처럼 실제로는 더 깊은 기하학적 이유가 있습니다.
댓글
- 설명한대로 이러한 주제를 설명하는 상대성 책을 추천 해 주시겠습니까?
- @Lil ' Gravity는 사실은 아니지만 개인적으로 눈에 띄는 세 권의 책을 드릴 수 있습니다. Misner, Wheeler, Thorne-Gravitation은 대부분의 수학에 대한 물리적 동기와 함께 매우 직관적 인 수준에서 일반 상대성 이론과 미분 기하학을 설명합니다. Wald-General Relativity는 개념이 어떻게 정의되어 있는지 명확하게 볼 수있는보다 형식적이고 기하학적 인 접근 방식을위한 훌륭한 책입니다. 추상적으로 좌표계가 필요하지 않습니다. 그리고 Fecko-Differential geometry와 물리학 자들을위한 Lie 그룹이 있는데, 이것은 제가 미분 기하학에 관한 최고의 교과서라고 생각합니다.
Answer
첫 번째 정의는 4 개의 벡터로 변환됩니다. $ \ dfrac {dx ^ {“\ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
두 번째 정의는 4 개의 벡터로 변환되지 않습니다. $ \ dfrac {dx ^ { “\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt “} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
첫 번째 정의에서 4 개 벡터의 미분을 나누기 때문에 이치에 맞습니다. -vector)를 스칼라 (로렌츠 그룹의 불변)로 변환합니다.