오늘 저는 수학적 기대라는 새로운 주제를 발견했습니다. 내가 따르는 책에 따르면 기대는 확률 분포에서 나오는 임의 변수의 산술 평균입니다. 그러나 기대치를 일부 데이터의 곱과 그 확률의 합으로 정의합니다. 이 두 가지 (평균 및 기대)가 어떻게 같을 수 있습니까? 확률과 데이터의 합이 전체 분포의 평균이 될 수있는 방법은 무엇입니까?
답변
비공식적으로 확률 분포는 랜덤 변수 결과의 상대 빈도-예상 값은 해당 결과의 가중 평균으로 생각할 수 있습니다 (상대 빈도로 가중치 적용). 마찬가지로 예상 값은 발생 확률에 정확한 비율로 생성 된 숫자 집합의 산술 평균으로 생각할 수 있습니다 (연속 랜덤 변수의 경우 이는 “정확히 사실이 아닙니다. 특정 값의 확률은 $ 0 $)입니다.
기대 값과 산술 평균 사이의 연결은 이산 랜덤 변수를 사용하여 가장 명확합니다. 여기서 예상 값은 다음과 같습니다.
$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$
여기서 $ S $는 샘플 공간입니다. 예를 들어 다음과 같은 이산 랜덤 변수 $ X $가 있다고 가정합니다.
$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {확률 있음} 1/8 \\ 2 & \ mbox {확률 있음} 3/8 \\ 3 & \ mbox {확률 있음} 1/2 \ end {cases} $$
즉, 확률 질량 함수는 $ P (X = 1) = 1 / 8 $, $ P (X = 2) = 3 / 8 $ 및 $ P (X = 3) = 1 / 2 $입니다. 위 공식에서 예상되는 값은
$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2.375 $$
이제 확률 질량 함수에 정확히 비례하는 빈도로 생성 된 숫자를 고려하십시오 (예 : 숫자 세트 $ \ {1,1,2,2,2). , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $-$ 1 $ s 2 개, $ 2 $ s 6 개, $ 3 $ s 8 개. 이제 다음 숫자의 산술 평균을 취하십시오.
$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$
그리고 예상 값과 정확히 일치 함을 알 수 있습니다.
댓글
- '보다 간단한 {1,2,2,2,3,3,3,3} 집합을 사용하면 더 잘 설명 할 수 있습니까? 산술을 보여주는 표현식 해당 세트의 평균은 해당 변수의 기대 값을 표시하는 표현식과 동일합니다 (가중 제품을 단순 합계로 변환하는 경우).
- Re : " 해당 세트의 산술 평균을 보여주는 표현식은 해당 변수의 기대 값을 보여주는 표현식과 동일합니다 (가중 제품을 단순 합계로 변환하는 경우) "-예 @Dancrumb, 전체 포인트 🙂
답변
기대치는 확률이 아닌 임의 변수의 평균값 또는 평균입니다. 따라서 그것은 discret입니다. e 랜덤 변수 개별 값의 상대적 발생 빈도에 따라 가중치가 부여되는 랜덤 변수가 취하는 값의 가중 평균. 절대적으로 연속적인 랜덤 변수의 경우 값 x에 확률 밀도를 곱한 적분입니다. 관찰 된 데이터는 동일하게 분포 된 독립적 인 랜덤 변수 모음의 값으로 볼 수 있습니다. 표본 평균 (또는 표본 기대 값)은 관측 된 데이터에 대한 경험적 분포에 대한 데이터의 기대 값으로 정의됩니다. 이것은 단순히 데이터의 산술 평균이됩니다.
댓글
- +1. 좋은 캐치 : " 기대치는 확률 분포가 아닌 랜덤 변수의 평균값 또는 평균입니다 ". 저는 '이 미묘한 용어 오용을 알아 차리지 못했습니다.
답변
정의에주의를 기울 이겠습니다.
평균은 숫자 모음의 합계를 모음의 숫자 수로 나눈 값으로 정의됩니다. 계산은 “for i in 1 n으로, (x sub i의 합)을 n으로 나눈 값입니다. “
예상 값 (EV)은 그것이 나타내는 실험 반복의 장기 평균값입니다. 계산은”for i in 1에서 n까지, 이벤트 x sub i의 확률 곱하기 (및 모든 p sub i의 합계 = 1). “
공정한 주사위의 경우, 평균과 EV는 같습니다. 평균-(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6-3.5이고 EV는 다음과 같습니다.
prob xp * x
0.167 1 0.17
0.167 2 0.33
0.167 3 0.50
0.167 4 0.67
0.167 5 0.83
0.167 6 1.00
EV = sum (p * x) = 3.50
그러나 주사위가 “공정”하지 않으면 어떻게 될까요? 불공정 한 주사위를 만드는 쉬운 방법은 드릴하는 것입니다. 아 4, 5, 6면의 교차점에서 모서리에 있습니다.이제 새롭게 개선 된 비뚤어진 주사위에서 4, 5 또는 6을 굴릴 확률이 이제 .2이고 1, 2 또는 3을 굴릴 확률이 이제 .133이라고 가정 해 봅시다. 동일합니다. 6 개의면으로 죽고, 각면에 하나의 숫자가 있고이 주사위의 평균은 여전히 3.5입니다. 그러나이 주사위를 여러 번 굴린 후에는 모든 이벤트에 대한 확률이 더 이상 동일하지 않기 때문에 EV가 3.8이되었습니다.
확률 xp * x
0.133 1 0.13
0.133 2 0.27
0.133 3 0.40
0.200 4 0.80
0.200 5 1.00
0.200 6 1.20
EV = sum (p * x) = 3.80
다시 말하지만 주의 깊게 정의로 돌아가서 한 가지가 항상 다른 것과 “동일”하다는 결론을 내리십시오. 일반 다이가 어떻게 설정되어 있는지 살펴보고 나머지 7 개 모서리에 구멍을 뚫고 EV가 어떻게 바뀌는 지 확인하세요. 즐거운 시간을 보내세요.
Bob_T
답변
“평균”과 “기대 값”의 유일한 차이점은 평균이 주로 빈도 분포에 사용되고 기대가 확률 분포에 사용된다는 것입니다. 빈도 분포에서 표본 공간은 변수와 발생 빈도로 구성됩니다. 확률 분포에서 표본 공간은 확률 변수와 확률로 구성됩니다. 이제 우리는 표본 공간에있는 모든 변수의 총 확률이 1이어야한다는 것을 알고 있습니다. 여기에 기본적인 차이점이 있습니다. 기대 값의 분모 항은 항상 = 1입니다. (i.e Summation f (xi) = 1) 그러나 빈도 합계에 대한 제한은 없습니다 (기본적으로 총 항목 수).