개구리 수수께끼-조건부 확률

한 쌍의 개구리를 살펴 보겠습니다. 수컷 개구리는 비디오에서 삐걱 거리는 것으로 식별됩니다.

비디오에서 설명했듯이 삐걱 거리는 소리가 들리기 전에 개구리 2 개가 주어지면 동일한 결과가 4 개 있습니다.

• 개구리 1은 수컷, 개구리 2는 수컷
• 개구리 1은 암컷, 개구리 2는 수컷
• 개구리 1은 수컷, 개구리 2는 암컷
• 개구리 1은 암컷, 개구리 2는 암컷

수컷과 암컷이 동등하고 독립적으로 발생한다고 가정하면 샘플 공간은 $ \ {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F) \} $, 각 요소에 대해 $ 1 / 4 $ 확률이 있습니다.

이제 삐걱 거리는 소리가 들리면 이 쌍에서 나온 개구리 중 하나 이상은 수컷이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 $ (F, F) $ 이벤트는 불가능합니다. 그러면 다음 조건에 의해 유도 된 새롭고 줄어든 샘플 공간 이 있습니다. $ \ {(M, M), (F, M), (M, F) \} $. 나머지 각각의 가능성은 여전히 똑같은 가능성이 있으며 확률은 함께 추가 된 모든 이벤트의 ty는 $ 1 $이어야합니다. 따라서 새 샘플 공간에서이 세 가지 이벤트 각각의 확률은 $ 1 / 3 $ 여야합니다.

우리에게 좋지 않은 이벤트는 $ (M, M) $이므로 $ 2가 있습니다. / 3 $ 생존 확률.

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보다 공식적으로 조건부 확률의 정의는 다음과 같습니다.

$$ P (A | B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $$ 따라서 $ A $가 최소 한 명의 여성이 존재하는 이벤트이고 $ B $가 최소 한 명의 남성이 존재하는 이벤트 인 경우, \ begin {align} P (\ text {F 최소 1M이 주어짐}) & = \ frac {P (\ text {F 및 최소 1 명의 남성})} {P (\ text {at 최소 1 M})} \\ & = \ frac {P (\ text {1 M and 1 F})} {P (\ text {1 M or 2 M}) } \\ & = \ frac {P [(M, F), (F, M)]} {P [(M, M), (F, M), ( M, F)]} \\ & = \ frac {1/2} {3/4} = 2/3 \ end {align}

이 위에서 설명한 것과 같은 절차입니다.

댓글

• 안녕하세요 mb7744, 빠른 응답에 감사드립니다. 정답은 이해하지만 이중 계산처럼 보이므로 ‘ 답을 받아들이 기 위해 고군분투하고 있습니다. (M, F) = (F, M), 물론 그렇지 않다면 왜?
• (M, F)와 (F, M)은 같은 사건이 아닙니다. 한 개구리의 이름이 Alex이고 다른 개구리의 이름이 Taylor이면 Alex는 암컷이고 Taylor는 수컷이거나 또는 그 반대 일 수 있습니다. Alex와 Taylor는이 구별이 무의미하다는 데 동의하지 않을 것입니다. 이제 두 이벤트를 동등하게 볼 수 있습니다 .그러나 세 가지 결과 (M, M), (F, F) 및 (M, F)는 같지 않습니다 . 혼합 페어링은 가능성이 두 배입니다. 이것은 당신이 7을 굴리는 모든 다른 방법을 동등하다고 생각하더라도 당신이 2보다 주사위 쌍에서 7을 굴릴 가능성이 훨씬 더 높은 동일한 이유입니다.
• 안녕하세요. 이렇게하면 수수께끼를 ‘ ‘ 얻지 ‘ 찾을 수 있습니다. ‘ 문제를보고있는 동안 문제를 다시 설명 할 수 있다면 개구리를 동전 던지기 (또는 주사위 굴림)로 교체하세요. 두 개의 동전을 뒤집고 특정 조합을 제외하면 나는 완전히 대답을 받아 들일 것입니다. 그러나 수수께끼 ‘의 비유에서는 동전 던지기가 한 번뿐이므로 이것을 읽었습니다. 다른 하나는 이미 만들어졌으며 다른 하나의 결과를 변경할 수 없습니다. 두 결과 중 어느 것이 이미 결정되었는지 알지 못하는 것은 ‘ 두 개의 동전을 뒤집어 포함하거나 제외 할 결과를 선택할 수 없습니다. 따라서 주사위 굴림 비유를 사용하면 …..
• … 주사위 두 개를 굴릴 수 있지만 주사위 한 개를 알 수 없습니다. ‘ 결과는 이미 결정적인. 7-12 숫자를 만들 확률은 1/6입니다. 내가 틀렸나 요?
• 주사위 굴림에서 똑같이 가능한 결과 쌍을 모두 보면 순서가 중요합니다 . 하나의 주사위가 파란색이고 다른 하나는 빨간색이라고 가정하고, 파란색 주사위를 먼저, 빨간색 주사위를 마지막으로 결과를 작성합니다. 그러면 결과 (1,2)는 결과 (2,1)와 같지 않습니다 . 그리고 이전과 마찬가지로 ” 1과 2를 순서에 관계없이 ” 롤링 할 확률은 다음과 같이 두 배가됩니다. , 2 초를 롤링합니다. 마지막 질문에 대해, 저는 당신이 한 명 죽었다고 가정하고 ‘의 결과가 6 으로 결정되었다고 가정하고 있습니다. 이 경우 맞습니다.

수학이 이미 배치되었으므로 직관을 제공하세요. 문제는 적어도 한 마리의 개구리가 수컷이라는 것을 아는 것은 특정 개구리가 수컷이라는 것을 아는 것과 다르다는 것입니다. 전자의 경우는 정보를 덜 전달하므로 후자의 상황에 대한 우리의 기회가 효과적으로 증가합니다. .

개구리를 왼쪽과 오른쪽으로 부르고 오른쪽 개구리가 수컷이라고 들었다고 가정합니다. 그런 다음 샘플 공간에서 두 가능한 이벤트를 제거했습니다. 개구리는 암컷이고 왼쪽 개구리는 수컷이고 오른쪽 개구리는 암컷입니다. 이제 확률은 진정으로 절반이고 우리가 어떤 것을 선택하든 상관 없습니다. 왼쪽 개구리가 수컷이라는 사실을 알면 똑같은 주장이 사실입니다.

하지만 적어도 한 마리의 개구리가 수컷이라는 말만 듣게되면 삐걱 거리는 소리를들을 때 일어나는 일입니다. 왼쪽 개구리가 수컷이고 오른쪽 개구리가 암컷이라는 사건을 제거합니다. 둘 다 여성이라는 사건 만 제거 할 수 있기 때문에 적어도 한 사람이 이전 설정보다 여성 일 가능성이 더 높습니다.

이것이 혼란스러운 이유는 자연스럽게 배우는 것이라고 생각하기 때문이라고 생각합니다. 적어도 한 마리는 수컷이 우리가 한 쌍의 개구리를 선택하는 것을 싫어하게 만들 것입니다. 이 정보로 인해 적어도 한 명은 여성 일 가능성이 적지 만, 우리가 아무것도 배우기 전에 적어도 한 명은 여성의 3/4의 기회가 있었다는 사실도 인정합니다. 우리가받는 정보의 모호함 으로 인해 우리는 여전히 두 개구리를 하나보다 선호해야합니다.

댓글

• dsaxton에게 감사합니다. 직관적으로 두 개구리를 선택했지만 두 가지 선택 중 어느 쪽이든 똑같이 가능하다고 추론했습니다.
• dsaxton에게 감사합니다. 나는 의심합니다. ‘ s는 나를 던지는 수수께끼의 표현입니다. 만났을 때 두 개구리는 (추가 정보없이) 구별 할 수 없기 때문에 (M, F), (F, M) 구별이 의미있는 것으로 보이지 않습니다. 내 추론이 잘못되었다고 확신하지는 않지만 조금 느리면 죄송합니다.
• dsaxton에게 다시 한 번 감사드립니다. 위에서 언급했듯이 ‘ 내가 가지고 있던 정신적 끊김을 발견했고 이제 왜 대답이 정답인지 알 수 있습니다 (그리고 실제로 대답하려고했던 질문). 도움을 주셔서 다시 한 번 감사드립니다. 대답을 보는 것은 이해하는 데 도움이됩니다.

이 경우 귀하의 직감이 맞습니다. 문제가 언급했듯이 생존 확률은 50 %입니다. 비디오는 우리가 가지고있는 정보를 기반으로 문제 공간을 잘못 설명하므로 잘못된 결론에 도달합니다. 올바른 문제 공간에는 8 개의 조건이 포함되며 다음과 같습니다.

우리는 통나무에 두 마리의 개구리가 있는데 그중 하나는 우리의 가능성이 무엇인지 삐걱 거리는 것입니까?(M은 남성, F는 여성, c는 비뚤어진, 첫 번째 위치는 왼쪽, 두 번째 위치는 오른쪽)

[ [Mc, M], [M, Mc], [Mc, F], [M, Fc], (X No Male croak) [Fc, M], (X No Male croak) [F, Mc], [Fc, F], (X No Male croak) [F, Fc], (X No Male croak) ] 

각 사례는 수컷 개구리가 삐걱 거리는 것을 알고있는 조건을 제거 할 때 우리가 가진 정보. 기대할 수있는 결과는 4 가지입니다. 왼쪽 수컷 개구리는 침묵했던 오른쪽 수컷 개구리 옆에 웅크 렸다. 오른쪽 수컷 개구리는 침묵하는 왼쪽 수컷 개구리 옆에 웅크 렸다. 또는 양쪽 방향으로 한 마리의 암컷 개구리와 짝을 이루는 수컷 개구리가 웅크 리고있었습니다. 이를 이해하기위한 직관적 인 방법으로, 두 수컷 개구리는 암컷과 짝을 이룬 수컷 개구리 한 마리보다 두 배 더 삐걱 거리기 때문에 적절한 가중치를 적용해야합니다.

검색 공간을 나눌 수도 있습니다. 개구리 (C)와 비 삐걱 거리는 개구리 (N). 웅크리는 개구리는 100 % 수컷이기 때문에 생존에 도움이되지 않기 때문에 검색에서 제거 할 수 있습니다. 저자는 “몬티 홀 문제”를 만들려고했지만 실수로 “소년 또는 소녀 역설”을 만들었습니다.

다음 질문은 다른 결과를 산출합니다.

수컷이있는 경우 다른 사람이 암컷 일 가능성은 얼마입니까?

수컷 개구리가 무엇을 휙 휙휙 다른 사람이 여성 일 가능성이 있습니까?

두 번째 경우에 더 많은 정보를 알고 있습니다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

이전 내용이 너무 길고 이해하기 쉽지 않았기 때문에 이에 대한 명확한 답변입니다.

동일한 문자를 사용했지만 가능한 결과가 다릅니다. 샘플 공간을 명확히하기 위해 가능한 결과를 설명하겠습니다.

MM -> ” 남성은 왼쪽에 있습니다. “-“오른쪽에 임의의 남성이 있습니다. “

MF -> “남성은 왼쪽에 있습니다.”- “오른쪽에 임의의 여성이 있습니다.”

MM – -> “남자가 오른쪽에 있습니다”- “왼쪽에 임의의 남자가 있습니다”

MF -> “남성은 오른쪽에 있습니다.”- “왼쪽에 임의의 여성이 있습니다.”

댓글

• MM을 이중으로 세고 있습니다. 케이스. ‘ 다른 경로를 통해 동일한 시나리오에 도달하는지 여부를 고려하지 않고 ‘ 가능한 모든 시나리오를 열거 할 수는 없습니다. ‘ / li>

이 문제에 대해 제가 가진 문제는 솔루션이 무엇에 대해 다른 규칙을 사용하는 것 같습니다. 두 개구리가 수컷과 암컷, 수컷과 수컷 인 경우 가능한 결과를 고려합니다.

F / M 쌍과 M / F 쌍은 첫 번째 개구리가 있는지 여부를 알 수 없기 때문에 다릅니다. 개구리 또는 두 번째 개구리는 수컷이므로 F / M과 M / F는 결과가 여전히 “한 마리의 암컷 개구리, 한 마리의 수컷 개구리”에 해당하지만 두 개의 개별 가능성입니다.

그러나 M / M 쌍은 동일한 논리가 적용되어야하지만 하나의 가능한 결과로 간주됩니다. 우리는 어떤 개구리가 삐걱 거리는 소리를 냈는지 알지 못하므로 두 개구리 중 하나가 우리가들은 것이고 다른 하나는 여전히 수컷 일 수 있습니다. , 그냥 삐걱 거리는 일이 일어나지 않았습니다.

Commen ts

• 이것은 ” 수수께끼에 대한 답변보다 댓글의 특성에 더 가깝습니다. ” 댓글로 변경하고이 ” answer. ”
• @DJohnson을 삭제하세요. 실제로 이것은 수수께끼에 대한 답이지만 tomciopp의 이후 답변에서 더 명확하게 설명합니다.

아무것도 모름 : $ \ {(M, M), (M, F), (F, M), (F, F) \} $ . 가능한 네 가지 조합 중 최소 한 명의 여성과 세 쌍 : $ 3/4 $ 또는 $ 75 \ % $

첫 번째는 남성입니다 : $ \ {(M, M), (M, F) \} $ . 두 가지 가능한 조합 중 최소 한 명의 여성과 한 쌍 : $ 1/2 $ 또는 $ 50 \ % $

최소 한 명의 남성이 있음을 알기 : $ \ {(M, M), (M, F), (F, M) \} $ .세 가지 가능한 조합 중 최소 한 명의 여성이있는 두 쌍 : $ 2/3 $ 또는 $ 67 \ % $

우리가 삐걱 거리는 소리를 듣기 전에 개구리 2 마리가 주어지면 똑같이 4 가지 결과가 있습니다.

개구리 1은 수컷, 개구리 2는 수컷

개구리 1은 암컷, 개구리 2는 수컷

개구리 1은 수컷, 개구리 2는 암컷

개구리 1 is Female, Frog 2 is Female

남성과 여성이 동등하고 독립적으로 발생한다고 가정하면 샘플 공간은 {(M, M), (F, M), (M, F), ( F, F)}, 각 요소에 대해 1/4의 확률이 있습니다.

이 쌍에서 삐걱 거리는 소리가 들리면 적어도 한 마리의 개구리가 수컷이라는 것을 알 수 있습니다. 이 수컷은 Frog 1 또는 Frog 2 일 수 있습니다. 따라서 Frog 1에 대해 똑같이 2 개의 결과가 있습니다.

Frog 1은 수컷

Frog 1은 Random Frog

남성과 여성이 동등하고 독립적으로 발생한다고 가정하면 Random Frog는 Random Male 또는 Random Female 일 가능성이 똑같습니다.

P (Frog 1은 Random Male입니다. Random Frog) = P (Frog 1은 Random Frog이고 Frog 1은 Random Frog 임) = 1 / 2

P (Frog 1은 Random Male이고 Frog 1은 Random Frog) = P (Frog 1은 Random Frog) P (Frog 1은 Random Male이고 Frog 1은 Random Frog입니다) = (1/2) (1/2) = 1 / 4

P (Frog 1은 Random Female and Frog 1 is Random Frog) = P (Frog 1 is Random Frog) P (Frog 1 is Random Female given Frog 1 is Random Frog) = (1/2) (1/2) = 1 / 4

개구리 1에 대해 가능한 결과는 3 가지입니다.

개구리 1은 수컷입니다

개구리 1은 수컷입니다

개구리 1은 임의의 암컷

및 확률은 다음과 같습니다.

P (개구리 1은 수컷) = 1 / 2

P (개구리 1은 임의 수컷 ) = 1 / 4

P (Frog 1 is Random Female) = 1 / 4

이제 Frog 1에 대해 가능한 각 결과에 대해 Frog 2에 대해 가능한 결과가 2 개 있습니다.

Frog 2 수컷입니다

개구리 2는 무작위 개구리입니다

개구리 1에 대해 가능한 각 결과에 대해 무작위 개구리는 무작위 수컷 또는 무작위 암컷 일 가능성이 동일합니다.

따라서 개구리 1에 대해 가능한 각 결과에 대해 개구리 2에 대해 가능한 결과가 3 개 있습니다.

개구리 2는 수컷입니다

개구리 2는 무작위 수컷입니다

개구리 2는 무작위 암컷입니다

P (개구리 2는 수컷이고 개구리 1은 수컷입니다) = 0

P (개구리 2는 수컷이고 개구리 1은 무작위 수컷입니다) = 1

P (개구리 2는 수컷이고 개구리 1은 무작위 암컷입니다) = 1

P (개구리 2는 무작위 수컷이고 개구리 1은 수컷입니다) = 1 / 2

P (개구리 1은 무작위 수컷이고 개구리 2는 무작위 수컷 임) = 0

P (개구리 1은 무작위 수컷이고 개구리 2는 무작위 수컷 임) = 0

P (개구리 2는 개구리 1이 수컷 인 경우 임의의 암컷입니다) = 1 / 2

P (개구리 2는 개구리 1이 수컷 인 경우 임의의 암컷입니다) = 0

P (개구리 2 Frog 1이 Random Fe 인 경우 Random Female이됩니다. 수컷) = 0

P (개구리 2는 수컷이고 개구리 1은 수컷) = P (개구리 1은 수컷) P (개구리 2는 수컷이고 개구리 1은 수컷 임) = ( 1/2) (1/2) = 1 / 4

P (개구리 2는 무작위 암컷이고 개구리 1은 수컷) = P (개구리 1은 수컷) P ( 개구리 2는 임의의 암컷이며 개구리 1은 수컷입니다) = (1/2) (1/2) = 1 / 4

P (개구리 2는 수컷이고 개구리 1은 임의 수컷입니다) = P (개구리 1은 수컷 임) * P (개구리 1은 수컷이고 개구리 1은 수컷 임) = (1/4) * 1 = 1 / 4

P (개구리 2는 수컷이고 개구리 1은 Random Female) = P (Frog 1은 Random Female) * P (Frog 2는 Male이고 Frog 1은 Random Female) = (1/4) * 1 = 1 / 4

샘플 공간은 {(Male, Random Male), (Male, Random Female), (Random Male, Male), (Random Female, Male)}이며 각 요소에 대한 확률은 1/4입니다.

P (F가 1M 이상 주어짐) = P (F 및 1 명 이상의 수컷) / P (최소 1M) = P (1M 및 1F) / P (1M 또는 2M) = P [( Male, Random Female), (Random Female, Male)] / P [(Male, Random Male), (Male, Random Female), (Random Male, Male), (Random Female, Male)] = (1/2) / (4/4) = 1 / 2

댓글

• 내 답변에서 복사하여 붙여넣고 서식을 제거 했습니까?
• 먼저 다른 사람의 일부를 복사하여 붙여 넣었습니까? ‘의 대답은 언급하지 않고 받아 들일 수 없습니다. 그 외에도 다른 결과에 도달했다고 생각하는 경우이를 설명 할 더 간결한 방법이 있습니까? 아무런 설명도없이 단절된 방정식을 많이 작성했습니다.
• ‘ 문헌은 아니지만 여전히 무례합니다. 자, 당신의 대답과 나의 대답과 관련하여 : 나는 당신의 대답이 무의미하다고 생각합니다. ” Frog 2가 Random Frog “라는 결과의 의미는 무엇입니까?
• 당신의 대답은 유일한 것입니다. 조건부 확률 계산. 동일한 용어를 사용하면 어느 부분이 동일하고 다른지 비교하고 확인할 수 있습니다. 나는 다른 답변도 무의미하다고 말할 수 있지만 무례하기 때문에 그렇게 말하지 않았습니다.). sth를 이해하지 못하는 경우 설명을 요청할 수 있습니다. ” Frog 2는 Random Frog입니다. “는 쌍에있는 것으로 알려진 수컷 개구리가 아님을 의미합니다 ….
• 두 가지 무작위성 소스가 있는데, 하나는 쌍으로 알려진 수컷 개구리에서 오는 것이고 다른 하나는 개구리 개체군에서 오는 것입니다. 수컷 개구리가 있다는 것을 알기 때문에 불확실성은 위치에 관한 것입니다. 개구리 1입니까, 개구리 2입니까? 아니면 왼쪽에 있습니까, 오른쪽에 있습니까? 제 조언은 트리 다이어그램을 사용하여 샘플 공간을 처음부터 만들고 사용 가능한 모든 정보를 사용하는 것입니다.