QM 스핀 연산자는 감마 행렬 측면에서 표현할 수 있습니다. $ \ gamma ^ 5 $ 및 $ {\ mathbf {\ alpha}} $를 사용하는 ID :
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
첫 번째 시도에서 Dirac 표현에서 직접이 작업을 수행했지만 실습에서는이 작업을 수행 할 수 없다고 명시되어 있습니다. 누구든지 조언 할 수 있습니까? 이 작업을 수행 할 수있는 정체성이나 트릭이 있습니까?
명확하게 말하자면 $ \ alpha $는 0이 아닌 요소가 Pauli 행렬 인 다음 행렬입니다.
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
어디
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] =-i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
댓글
- $ \ alpha $ 및 $ {\ bf S} $는 명시 적으로 무엇입니까?
- 알파는 선행 대각선에없는 항목이 Pauli 행렬이지만 어떻게 도움이되는지 확실하지 않은 행렬입니다.
- 관련된 모든 기호를 명확하게 정의하지 않고 ID를 증명하는 데 어떻게 도움이 될 것으로 기대하십니까?
- li>
- @Hollis 최소한 $ \ alpha $가 의미하는 바는 말할 수 있습니다. ' 감마 행렬과 같은 표준 표기법이 아닙니다.
- $ \ mathbf {\ alpha} $는 $ \ gamma $ 행렬만큼 표준입니다. 대부분의 표준 물리학 책은 $ \ gamma $ 행렬보다 $ \ mathbf {\ alpha} $를 소개합니다.
답변
저는 $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \의 정의를 사용하여 Wikipedia의 규칙을 따릅니다. qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ 여기서 $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ 이것을 말 했으니 이제 $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ 명시 적으로, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ 그런 다음 $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 =-\ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 =-\ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ 따라서 $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$