여기에 “확률 질문 (아마 정말 간단 할 것임)이 있습니다. 해결 방법을 잘 모르겠습니다.
감마 분포 $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ with $ \ mu = 20 $ and $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
이전 질문은 $ \ alpha $ 및 $ \ beta $의 값을 찾는 것이 었는데, $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ 및 $ \ sigma ^ 2 $ = $ \를 사용했습니다. alpha $$ \ beta ^ 2 $.
감마 분포 cdf의 경우 교과서에 $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $라고 적혀 있습니다. $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $는 표준 감마 분포입니다. cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {-y}} \ text {d} y $$
그것을 통합하려면 체인 규칙을 사용해야하는 것 같지만 교수님은 예. 바로 가기 방법이 있습니까? 우리는 실제 예제에서 통합을 사용한 적이 없습니다. 단지 pdf를 정의하고 다른 배포판에 대한 cdf를 얻기 위해서만 사용했습니다.
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표준 감마 분포 문제가 포함 된 교과서는 부록의 표 A.4에서 $ F (x; \ alpha) $ 값을 찾아 보라고합니다. 제가봤을 때 표 A.4가 없어서 정말 실망 스럽습니다. 온라인 표준 감마 분포표를 인쇄하여 과제와 함께 제출할 수 있습니까? Wolfram Alpha를 확인했지만 하나도 없었습니다. Casio에는 무언가 가 있지만 모양과 배율 매개 변수가 무엇인지 잘 모르겠습니다.
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그 테이블을 찾았습니다. 책의 앞부분에는 A.3 바로 뒤에 A.5가 나와있어서 A.4가 누락되었다고 생각했습니다. 도서관에 가서 확인했습니다. 똑같은 교과서를 가지고 있었고, 그들은 그랬고, 누군가가 책의 뒷면을 볼 수있는 상식을 가지고있었습니다. 더 이상 도움이 필요하지 않습니다.
댓글
- 부분별로 통합 반복 해야합니다. $ u = y ^ {\ alpha-1} $ 및 $ v = -e ^ {-y} $, $ dv = e ^ {-y} dy $ 및 $$ \ int u dv = uv-\로 시작 int v du. $$ 그렇게 할 때마다 $ y $에 대해 더 작은 지수를 갖는 적분을 얻게됩니다. $ \ alpha $가 정수이면 프로세스를 완료 할 수 있습니다. $ \ alpha $가 정수가 아닌 경우 상황이 더 복잡해집니다.
- @dilip 답변으로 댓글을 게시해야합니다.
- @DilipSarwate에 대한 폐쇄 형 솔루션은 없습니다. $ \ alpha $ 정수가 아닌 경우이 cdf는 불완전한 감마 함수 입니다.
- 그리고 부분 별 통합이 목표 였는지 확실하지 않습니다. 연습.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF [GammaDistribution [5 % 2C + 4] % 2C + 24]
답변
probabilityislogic에서 제안한대로 제 댓글은 답변으로 변환됩니다.
$ u = y ^ {\ alpha로 시작하는 부분으로 통합 반복적으로 -1} $, $ v = −e ^ {− y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {− y} \ mathrm dy $, $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x − \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $이므로 부분으로 적분 할 때마다 더 작은 e로 적분을 얻을 것입니다 오른쪽에 $ y $의 xponent. $ \ alpha $가 정수이면 (이 특별한 경우와 같이) $ \ int_0 ^ x e ^ {-y} \ mathrm dy $를 사용하여 프로세스를 완료 할 수 있습니다. $ \ alpha $가 정수가 아닌 경우 $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {-y} \ mathrm dy $에 대한 일반적인 폐쇄 형 표현식이 없기 때문에 상황이 더 복잡해집니다. 여기서 $ 0 < \ gamma < 1 $. Xi “an이 언급했듯이 cdf는 불완전한 감마 함수이며 그 수치는 표로 작성되었습니다.
부분 적분이 제안 된대로이 연습의 요점이 아닌 경우 Elvis의 의견에서 교수님이 감마 랜덤 변수의 값을 푸 아송 랜덤 프로세스의 도착 시간으로 생각하고 그 관점에서 문제를 해결하기를 원하는지 확인할 수 있습니다.
의견
- 다양한 x 및 알파 값에 대한 온라인 표가 있습니까? 내 교재에는 표준 정규 곡선과 t 분포에 대한 표만 있습니다. 하나를 찾으려고했지만 카이 제곱 테이블이 너무 많습니다.
- 온라인 테이블을 알지 못하지만 ' MATLAB이 대신 값을 계산합니다. , R, Mathematica, Wolfram Alpha, Maple 등이 똑같이 할 것이라고 생각합니다.