표준 일반 PDF가 $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {-x 인 경우 ^ 2 / 2} $$
그리고 CDF는 $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2 / 2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
어떻게 이것이 $ z $의 오류 함수로 바뀔까요?
댓글
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- 본 적이 있지만 ERF로 시작합니다. 이미 정의되어 있습니다.
- 글쎄요. ' erf의 정의와 Normal CDF의 정의가 있습니다. 일부 일상적인 계산으로 도출 할 수있는 관계는 다음과 같이 표시됩니다. 변환 방법과 역 변환 방법에 대해 설명합니다.
- 죄송합니다. ' 상세한 내용이 많이 표시되지 않습니다. 예를 들어 CDF는 -Inf에서 x까지입니다. 그렇다면 ERF는 0에서 x로 어떻게 이동합니까?
- 변수 변경의 미적분 기법에 익숙합니까? 그렇지 않은 경우 수행 방법을 알아보십시오.
답변
일부 시스템에서 자주 발생하기 때문입니다 ( 예를 들어, Mathematica 는 $ \ text {Erf} $)의 관점에서 Normal CDF를 표현한다고 주장합니다. 관계를 문서화하는 스레드가있는 것이 좋습니다.
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {-t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
$ t ^ 2 = z ^ 2 / 2 $를 쓰는 것은 $ t =를 의미합니다. z / \ sqrt {2} $ ($ t $가 음수가 아니기 때문에), $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. 엔드 포인트 $ t = 0 $ 및 $ t = x $는 $ z = 0 $ 및 $ z = x \ sqrt {2} $가됩니다. 결과 적분을 누적 분포 함수 (CDF)처럼 보이는 것으로 변환하려면 다음과 같은 적분으로 표현해야합니다. $-\ infty $의 하한값 :
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {-z ^ 2 / 2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {-z ^ 2 / 2} \ m athrm {d} z-\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ 0 e ^ {-z ^ 2 / 2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
오른쪽 크기의 적분은 모두 표준 정규 분포의 CDF 값입니다.
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty} ^ xe ^ {-z ^ 2 / 2} \ mathrm {d} z. $$
구체적으로
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2})-\ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2})-\ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2})-1. $$
Normal CDF로 오류 함수를 표현하는 방법을 보여줍니다. 대수적 조작으로 오류 함수 측면에서 쉽게 일반 CDF를 얻을 수 있습니다.
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
이 관계 (어쨌든 실수의 경우)는 두 함수의 플롯에 표시됩니다. 그래프는 동일한 곡선입니다. 왼쪽에있는 오류 함수의 좌표는 $ x $ 좌표에 $ \ sqrt {2} $를 곱하고 $ y $ 좌표에 $ 1 $를 더하여 오른쪽에있는 $ \ Phi $ 좌표로 변환됩니다. 관계를 반영하여 $ y $ 좌표를 $ 2 $로 나누기
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
여기서 표기법은 곱셈, 덧셈, 나눗셈의 세 가지 연산을 명시 적으로 보여줍니다.
댓글
- $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$가 맞습니다. 평균과 표준 편차를 고려하여 연결하는 방법입니다.