파동 방정식의 가장 일반적인 형태는 무엇입니까? $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $입니까?
예를 들어 $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ 파동 방정식입니까? 그렇다면 그 경우의 해결책은 무엇입니까?
답변
$ cte $가 무엇을 의미하는지 잘 모르겠습니다. , 그러나 나는 그것이 일정하다고 가정하고 있지만 나는 잘못 해석 할 수 있습니다
우리는 종종 두 종류의 미분 방정식 (동질과 비균질)에 대해 이야기합니다.이 구별이 질문의 근원 인 \ begin {equation } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t)-\ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {equation}은 파동 방정식의 동종 형태, 반면 \ begin {equation} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t)-\ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {equation}은 비균질 파동 방정식입니다 ($ u (\ vec {r}, t) $도 원할 경우 일정 할 수 있습니다). 한 가지 예는 전하와 전류가있을 때 전자기 복사가 불균일 파동 방정식에 의해 제어된다는 것입니다. 동종 형태는 $ \ rho = 0 $ 및 $ \ vec {J} = 0 $ 일 때만 유효합니다. 누구에게 물어 보느냐에 따라 대부분의 사람들은 여전히 인홈을 ogeneous wave 방정식은 파동 방정식입니다. 그러나 그 해결책은 균질 한 것과는 매우 다른 특성을 갖게 될 수 있기 때문에 “맛에 달렸습니다.
일반적으로 내가 말할 수있는 것은 많지 않습니다. 이러한 솔루션에 대해 “$ u $ 형식에 크게 의존 할 것이기 때문에 인터넷 검색을 통해 많은 예를 얻을 수있을 것입니다.
댓글
- 완벽합니다. 감쇠 파 방정식은 어떻습니까? 그 형식은 무엇입니까?
Answer
Mason은 불균일 미분 방정식과 동종 미분 방정식의 구분을 처리했지만 파동 방정식의 가장 일반적인 형태를 말하는 것입니다.
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
여기서 두 필드는 모두 순위 $ (m, n) $ 텐서이며 Laplace-Beltrami 연산자 $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ 텐서에 대한 작업은 메트릭과 순위 모두에 따라 달라집니다. 메트릭이 $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ 인 스칼라 필드의 경우 가장 익숙한 파동 방정식 인 $ (\ partial ^ 2_t-\ nabla ^ 2) \ phi = f $로 축소됩니다. (위의 내용은 미분 형식의 언어로도 다시 캐스팅 할 수 있습니다.)
그러나 어떤면에서 이것이 모든 가능성을 포함하지는 않습니다. 예를 들어 일반 상대성 이론에서 메트릭의 섭동 $ h_ {ab} $에 대해 곡률의 1 차 변화는 다음과 같습니다.
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ square h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
이것은 확실히 파동 솔루션을 허용하지만 위의 파동 방정식이 포함되어 있기 때문에 분명히 동일하지 않기 때문에 문헌에서 곡선 공간 “파동 연산자”로 이해됩니다. 곡률 텐서를 포함하는 다른 용어. 따라서 파동 방정식의 “가장 일반적인 형태”는 “당신의 아이디어가 엄격하게 $ (\ partial ^ 2_t-\ nabla ^ 2) \ phi = f $가 아니라면 우리가 실제로 쓸 수있는 것이 아닙니다.
