가장 간단하게 게이지 불변이란 무엇입니까?

물리학 자들이 “게이지 자유”에 대해 말할 때 의미하는 바를 이해하기가 너무 어려운 이유는 제가 본 적이있는 동일한 정의가 4 개 이상 있기 때문입니다. :

• 정의 1 : 두 개의 다른 수학적 표현이 정확히 동일한 물리적 시스템을 설명한다는 의미에서 수학적 자유도 중 일부가 “중복”된 경우 수학적 이론은 게이지 자유를가집니다. . 그런 다음 중복 (또는 “게이지 종속”) 자유도는 가능한 실험이 원칙적으로도 값을 고유하게 결정할 수 없다는 의미에서 “비 물리적”입니다. 한 가지 유명한 예는 양자 상태의 전체 위상입니다. 이것은 완전히 측정 할 수 없으며 전체 위상 만 다른 Hilbert 공간의 두 벡터는 똑같은 상태를 설명합니다. 언급했듯이 다른 예는 다음과 같은 모든 종류의 잠재력입니다. 예를 들어, 위치 에너지 함수와 같은 물리량을 산출하기 위해 미분해야합니다. (온도와 같은 다른 예 중 일부는 게이지에 따라 달라지는 양의 예가 아닙니다. 왜냐하면 제로 온도에 대해 잘 정의 된 물리적 감각이 있기 때문입니다.)

  게이지 자유도가있는 수학적 구조로 설명되는 물리적 시스템의 경우 특정 물리적 구성을 수학적으로 정의하는 가장 좋은 방법은 게이지 자유도 만 다른 게이지 종속 함수의 등가 클래스를 사용하는 것입니다. 예를 들어, 양자 역학에서 물리적 상태는 실제로 힐베르트 공간의 단일 벡터로 설명되지 않고 전체 스칼라 mul에 의해 다른 벡터의 등가 클래스로 설명됩니다. 티플. 또는 더 간단하게 힐베르트 공간에서 벡터의 라인 으로. (멋지게 만들고 싶다면 물리적 상태의 공간을 “투영 힐베르트 공간”이라고합니다. 이는 힐베르트 공간의 선 세트 또는보다 정확하게는 벡터가 비례하는 경우 식별되는 힐베르트 공간의 버전입니다. 서로에게.) “물리적 위치 에너지”를 추가 상수에 의해서만 다른 위치 에너지 함수의 집합으로 정의 할 수도 있다고 가정합니다. 실제로는 일종의 과잉입니다. 이러한 등가 클래스는 구성에 의해 게이지 자유를 제거합니다. “게이지 불변”도 마찬가지입니다.

  때로는 (항상은 아니지만) 모든 물리적 자유도를 보존하면서 모든 중복 자유도를 제거하는 간단한 수학 연산이 있습니다. 예를 들어, 위치 에너지가 주어지면 기울기를 사용하여 직접 측정 가능한 힘장을 생성 할 수 있습니다.그리고 고전적인 E & M의 경우, 잠재력을 직접 측정 가능한 $ {\ bf E} $ 및 $ {\ bf B}로 줄이는 편도 함수의 특정 선형 조합이 있습니다. 물리적 정보를 잃지 않고 $ 필드. 그러나 양자 힐베르트 공간에있는 벡터의 경우 다른 것을 잃지 않고 위상 자유를 제거하는 단순한 미분 연산이 없습니다.

• 정의 2 : 동일 중복 자유도가 로컬 이어야한다는 추가 요구 사항이 있습니다. 이것은 임의 평활에 의존하는 일종의 수학적 연산이 있다는 것을 의미합니다. function $ \ lambda (x) $ 물리적 자유도 (즉, 물리적으로 측정 할 수있는 양)를 불변으로 남겨 두는 시공간에 대한 function $ \ lambda (x) $ 물론 정식 예는 any smooth function $ \ lambda ( x) $, $ \ partial_ \ mu \ lambda (x) $를 전자기 4 전위 $ A_ \ mu (x) $에 추가하면 물리량 ($ {\ bf E} $ 및 $ {\ bf B } $ 필드) 변경되지 않았습니다. (필드 이론에서 “물리적 자유도”가 변경되지 않아야한다는 요구 사항은 라그랑주 밀도 $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $가 변경되지 않도록 요구하는 것으로 표현됩니다. , 그러나 다른 공식도 가능합니다.)이 정의는 훨씬 더 엄격합니다. 위에서 정의 1에서 주어진 예는이 정의에 포함되지 않습니다. 그리고 물리학 자들이 “게이지 자유”에 대해 이야기 할 때 대부분 이것이 그들이 의미하는 정의입니다. 이 경우, 몇 개의 중복 / 비 물리적 자유도 (예 : 잠재적 에너지에 대한 전체 상수)를 갖는 대신 연속적으로 무한한 수를 갖게됩니다. (문제를 더욱 헷갈 리게하기 위해 어떤 사람들은 정의 1의 의미에서 “글로벌 게이지 대칭”이라는 표현을 사용하여 양자 상태의 글로벌 위상 자유와 같은 것을 설명하는데, 이는 정의의 의미에서 분명히 모순이 될 것입니다. 2.)

  양자 장 이론에서이 문제를 다루기 위해서는 양자화에 대한 접근 방식을 크게 변경해야합니다 (기술적으로는 “경로 적분을 측정”해야 함). 모든 비 물리적 자유도를 제거합니다. 사람들이이 정의에서 “게이지 불변”양에 대해 이야기 할 때, 실제로는 일반적으로 전자기 텐서 $ F _ {\ mu \ nu} $와 같이 모든 게이지 변환에서 변경되지 않은 ( “불변”) 그대로 유지되는 물리적으로 직접 측정 가능한 파생물을 의미합니다. . 그러나 기술적으로 다른 게이지 불변 수량도 있습니다. 특정 $ A_ \ mu (x)에 대해 가능한 모든 $ \ lambda (x) $에 대해 $ A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ lambda (x) $의 균일 한 양자 중첩. $

  더 수학적 관점에서이 두 번째 게이지 대칭 감각에 대한 훌륭한 설명은 Terry Tao의 블로그 게시물 을 참조하세요.

• 정의 3 : 라그랑지안은 자유도가 변경 되더라도 시공간에 대한 임의의 연속 함수에 의존하는 연산이 존재하는 경우 “게이지 대칭”을 갖는다 고합니다. 은 물리적으로 측정 가능합니다.

• 정의 4 : 지역 격자 Hamiltonians에 정의 된 “격자 게이지 이론”의 경우, 통근하는 각 격자 사이트에 지원되는 연산자가 있습니다. 어떤 경우에는이 연산자가 물리적으로 측정 가능한 양에 해당합니다.

정의 3과 4의 경우는 개념적으로 약간 미묘하므로 이동하지 않겠습니다. 여기에-다음에서 해결할 수 있습니다. -관심있는 사람이 있으면 질문합니다.

업데이트 : 후속 답변을 작성했습니다. 게이지 자유도를 해밀턴 사례 및 라그랑지안 사례 .

댓글

• 정답입니다! 이것은 (한곳에서) 최고의 외식 중 하나입니다 !!!! : D
• 3 번과 4 번 사이의 미묘한 부분에 대한 후속 질문을했습니다.
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 내 후속 작업에 대한 링크는 내 답변 끝에있는 업데이트를 참조하세요.

일반 상대성 이론 (GR), 미분 기하학 및 양자 장 이론 (QFT)을 수강 한 후에야 이해했습니다. 본질은 미분에 반영되어야하는 좌표계의 변화 일뿐입니다. 제가 의미하는 바를 설명하겠습니다.

어떤 대칭 그룹 하에서 변하지 않는 이론이 있습니다. 따라서 양자 전기 역학에서는 페르미온에 대한 라그랑주 밀도 (아직 광자 없음) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu-m] \ psi (x) \,. $$이 $ \ bar \ psi $는 $ \ psi ^ \ dagger \ gamma입니다 ^ 0 $, 중요한 것은 복합 공액이라는 것입니다.이것이 스핀 공간에서 4 개의 벡터라는 사실은 여기서 문제가되지 않습니다. 이제 할 수있는 일은 $ \ alpha \ in \ mathbb R $로 $ \ psi \를 \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $로 변환하는 것입니다. 그런 다음 $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (-\ mathrm i \ alpha) $ 및 Lagrangian은 미분이 지수 함수에 작용하지 않기 때문에 변하지 않을 것입니다. 거기에 글로벌 대칭이 있습니다.

이제 대칭을 로컬 대칭으로 승격하십시오. 왜 안 되겠습니까? 전역 $ \ alpha $ 대신 $ \ alpha (x) $가 있습니다. 이것은 우리가 시공간의 각 시점에서 다른 $ \ alpha $를 선택한다는 것을 의미합니다. 문제는 우리가 지금 변환 할 때 차별화의 체인 및 제품 규칙으로 $ \ partial_ \ mu \ alpha (x) $를 선택한다는 것입니다. 처음에는 기술적으로 복잡해 보입니다.

이를 더 잘 알 수있는 방법이 있습니다.
$ \ psi (x) $ 필드의 파생어를 사용합니다. 이것은 $$ \ partial_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu)-\ psi (x)와 같은 차이 몫을 취하는 것을 의미합니다. } {\ epsilon} \,. $$ 이것은 글로벌 변환에서 잘 작동합니다. 그러나 로컬 변환을 사용하면 기본적으로 다르게 측정 되는 두 값을 뺍니다. 미분 지오메트리에서는 매니 폴드의 다른 지점에있는 접선 공간이 다르므로 벡터를 구성 요소별로 비교할 수 없습니다. 병렬 전송 을 제공하려면 연결 계수 가있는 연결 이 필요합니다. 여기도 비슷합니다. 이제 U (1) 게이지 그룹이 있으므로 $ \ phi $를 $ \ mathbb R ^ 4 $에서 생활하는 것에서 $ \ mathbb R ^ 4 \ times S ^ 1 $에서 생활하는 것으로 승격했습니다. 따라서 $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $에서 $ x $로 변환 된 $ \ phi $를 전송하려면 일종의 연결이 필요합니다. 여기에서 $$ \ partial_ \ mu \ to \ mathrm D_ \ mu : = \ partial_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

If 이를 라그랑주 밀도에 연결하여 $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu-m] \ psi (x) $$를 선택한 다음 $ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $ 연결 계수가 제품 / 체인 규칙에서 원치 않는 항을 빼기 때문에 라그랑지안 밀도가 로컬 변환에서도 변하지 않는 것을 볼 수 있습니다.

일반 상대성 이론에서 당신은 임의의 이형성 하에서 대칭을 가지고 있습니다. 대가는 미분을 연결로 바꿔야한다는 것입니다. $$ \ partial \ to \ nabla : = \ partial + \ Gamma + \ cdots \,. $$

수학적 배경에서 나온다고 언급 했으므로 등가 클래스 측면에서 답을 얻는 것이 좋을 것입니다.

게이지 이론은 완벽한 측정 장비가 주어진 실험으로 측정 할 수있는 것과 같이 관찰 가능한 양이 벡터 공간의 등가 클래스 인 물리적 이론입니다.

전자화는 가장 일반적인 예입니다. 현대 물리학 이론은 항상 기본 매니 폴드가 시공간이고 섬유가 시공간의 각 지점 (사건이라고 함)과 관련된 접선 공간 인 섬유 묶음으로 작성됩니다. E & M의 여유 공간 (요금 없음)은 $ A _ {\ mu} $라는 4 개의 구성 요소 개체를 각 시공간 포인트 $ x $에 연결하고 $ A _ {\ mu} (x) $는 maxwell의 방정식을 충족합니다.

그러나 자연에서 관찰 가능한 똑같이 측정 가능한 양은 전기장과 자기장입니다. $ \ vec {E} (x) $ 및 $ \ vec {B} (x) $.이 wiki 에 제공된 정의를 사용하여 $ A _ {\ mu} (x) $에서 파생되었습니다. ($ F _ {\ mu \ nu} (x) $)의 행렬 요소를보십시오.

변환 $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ for any two differentiable function $ f (x) $는 관찰 가능한 필드 $ \ vec {E} (x) $ 및 $ \ vec {B의 동일한 값을 제공합니다. } (x) $. 따라서 등가 관계가 있습니다.

$ A _ {\ mu} (x) \ approx A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ .

일반적으로 게이지 이론은 관찰 가능한 양이 벡터 공간에서 일부 벡터의 등가 클래스에 대한 함수 인 이론입니다. 이 경우 벡터는 $ A _ {\ mu} (x) $ (이것들은 시공간에서 두 배로 미분 할 수있는 함수의 함수 공간에있는 벡터)이며 등가 관계는 위에 주어졌습니다.

최종에 관해서는 시스템의 총 에너지와 같은 것이 기준 프레임에서 일정한 요소까지만 결정되는 것이 뉴턴 역학을 게이지 이론으로 만드는지에 대한 질문입니다. 대답은 아니요, 실제로는 아닙니다. 기본적으로 필드 이론에 대해 이야기하지 않는다면 물리학자는 그것을 게이지 이론이라고 부르지 않을 것입니다.

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• 좋은 대답이지만 게이지 이론에서 관찰 가능 항목은 다음과 같은 등가 클래스 집합에 대한 함수라고 말하는 것이 더 정확할 것입니다. [연결 및 번들 섹션과 같은 것] 모드 게이지 동등성.게이지 이론의 좌절감은 ‘ 연결 및 섹션에 대한 함수를 제공하는 것 외에는 이러한 함수를 설명 할 수있는 많은 경우를 알 수 없다는 것입니다.
• 당신 말이 맞아요, 제 언어가 좀 엉성 해요. ” Observable은 일부 벡터 공간의 등가 클래스에 대한 함수입니다. ”

게이지 불변성은 단순히 물리적 시스템 설명의 중복입니다. 즉 E & M에서 무한한 수의 벡터 전위 중에서 선택할 수 있습니다.

예를 들어 무한한 수의 벡터 전위는 아래의 변환으로 전자기를 설명 할 수 있습니다.

$$ A (x) \ to A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ alpha (x) $$

특정 게이지 (게이지 고정)를 선택하면 문제를 해결할 수 있습니다. 게이지를 고치지 않았을 때보 다 훨씬 쉽게 신체적 문제가 발생합니다.

일반적으로 쿨롱 게이지를 선택합니다 : $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

게이지 불변은 자연의 대칭이 아니며 그와 관련된 어떤 것도 측정 할 수 없다는 점을 강조하십시오.

게이지 불변은 양자 장 이론에서 가장 유용하며 재 정규화 가능성을 증명하는 데 중요합니다. 또한 QFT의 S- 매트릭스 요소에는 로컬 라그랑지안이 필요하므로 게이지 불변성이 필요합니다.

우리가 벡터 전위 $ A ^ \ mu $를 도입하는 이유에 대한 예로 다음으로 인해 발생하는 Aharonov-Bohm 효과를 고려하십시오. 벡터 전위의 전역 토폴로지 속성. 게이지 불변이 소위 공변 또는 $ R_ \ xi $ 게이지, 인과 관계 등에서 광자의 자유도를 감소시켜 삶을 편하게 만드는 또 다른 이유가 있습니다. 기본적으로 게이지 불변의 유용성은 시도를 시작할 때까지 완전히 분명해지지 않습니다. 양자 장 이론을 연구합니다. : D

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• @ user122066 나중에 참조하려면 기호를 찾아야하는 경우 이 tex.SE 질문 . 그러나 MathJax에서는 특정 (La) TeX 명령 만 지원됩니다. 목록은 MathJax 문서 를 참조하세요.
• 모든 MathJax 참조는 다음을 확인하세요. MathJax 기본 자습서 및 빠른 참조
• @ user122066 : 작성 : ” 이제 이것은 현대 물리학의 매우 중요한 속성이며 우리는 그것 없이는 길을 잃을 수도 있습니다! ” 여기에서 과장된 것 같고 이것이 그러한 문구를 만드는 이유입니다. ” 무서운 “. ” 게이지 이론 “으로 만 작업해야한다는 증거는 없습니다. 다른 접근법은 아직 탐구되지 않았습니다.
• @VladimirKalitvianski 충분히 공정합니다. 게이지를 피하는 S 매트릭스와 관련된 재귀 관계가 있지만 ‘ 게이지 불변보다 계산을 쉽게 만드는 무언가가 발견되는 것을 상상하기가 매우 어렵습니다. 그래도 당신 말이 맞아요. 이 부분은 삭제하겠습니다.
• (TeX 기호 조회에도 유용합니다- Detexify .)

이러한 계산은 종종 구체적인 값 자체가 아니라 두 값의 차이에만 의존합니다. . 따라서 원하는대로 0을 선택할 수 있습니다. 이것이 위의 대학원 예제와 동일한 의미의 게이지 불변의 예입니까?

예, 실제로 게이지 불변의 가장 일반적인 정의에서 그렇습니다. 이것이 물리학 자들이 글로벌 게이지 불변 이라고 부르는 것입니다. 아래에 더 자세히 설명되어 있습니다.

당신의 제목에 대해 한 문장으로 답을 써야한다면 다음과 같습니다.

게이지 불변성은 물리적 시스템에 대한 구성 / 매개 변수 공간 / 좌표를 물리적으로 동등한 구성의 등가 클래스 집합으로 압축하는 인용 맵에 따른 물리적 법칙의 정의입니다.

이것은 예를 들어 코셋 곱이 그룹의 일반 하위 그룹을 몫으로 나누는 맵 아래에서 잘 정의되는 것과 같은 의미입니다. 구성의 물리학은 등가 클래스 멤버의 선택과 무관합니다 .

간단한 용어로 게이지 불변성은 물리적 시스템의 수학적 설명에 중복성 이 있다는 단순한 주장입니다. 그렇지 않으면 시스템은 변형 그룹에 대한 불변 인 대칭 을 갖습니다.

전역 게이지 대칭 은 구성 공간이있는 곳입니다. 두 값의 차이 예와 같이 물리적으로 구별되는 등가 클래스 집합과 중복 매개 변수의 간단한 데카르트 곱 ( 즉 사소한 섬유 번들)입니다. 물리적 설명이 라그랑주 설명 인 경우 여기에서 Noether의 정리가 전면에 나오고 각 중복 매개 변수에 대해 하나씩 보존 된 수량을 식별합니다.게이지 그룹, i.e. 대칭 그룹은 모든 등가 클래스 (섬유)에 동일하게 영향을줍니다. 정전기 전위에서 일정한 전위를 빼는 것은 이러한 대칭이며 Corvid Civilization의 큰 발전입니다. 까마귀가 고압 전력선에 앉아 바람을 불어 넣고 게이지 이론에 대한 최신 생각을 논의하고 다음과 같이 선언합니다. 더 이상! ” 정전기 전위에 22kV를 추가하는 것이 우리가 속한 시스템의 물리학을 변화시킬 수 있다는 것을 두려워해야합니다.

그러나 일반적으로 물리학 자들이 게이지 이론에 대해 말할 때는 대칭 그룹이 작용할 수있는 것을 의미합니다. 보다 일반적인 방식으로 구성 공간의 각 지점에서 다른 그룹 구성원이 활동합니다. 해당 섬유 번들은 더 이상 사소한 것이 아닙니다. 전기 역학보다 더 간단한 예를 원했지만 저는 하나가 없다고 생각합니다. 전자 파동 함수에 추가 된 위상은 좌표의 부드러운 함수가 될 수 있으며 Leibniz 규칙에서 발생하는 추가 항은 파동 함수의 운동 방정식 (Dirac, Schrödinger)은 EM 잠재적 인 단일 형태의 닫힌 부분에 정확히 흡수됩니다. 덧붙여서, 저는 항상 푸리에 공간에서 EM 잠재력을 시각화하는 것을 좋아합니다. 우리는 합리적인 제한으로 할 수 있습니다 ( 예 우리는 단련 된 분포에 대해서만 생각할 것이라는 가정). , 4 전위의 중복 부분의 공간 부분은 파동 벡터를 따른 구성 요소 ( ie 3 벡터로 간주)이고 파동 벡터에 수직 인 구성 요소 만 물리적으로 중요하기 때문입니다. $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $에서 살아남는 유일한 부분입니다.

EM 예제에서 취해야 할 두 가지 사항이 있습니다.

1. 실제로는 훨씬 더 복잡해 지지만 개념적으로는 단순한 글로벌 게이지 대칭 예제에서 약간의 점프 일뿐입니다. 대칭이 모든 구성 공간 지점에서 작동하는 대신 로컬에서 작동하도록 허용합니다. 똑같이;

2. 실험적으로 실제 전자기학에서 주도권을 잡으면이 게이지 불변성이 m 보다 일반적으로 관련성이 있으므로 다른 물리적 현상에서도 그 존재를 봅니다. 이것은 직감에 의해 동기 부여 된 행위에 지나지 않습니다. 실험적으로 이것이 유익한 일이라는 것을 알게되었습니다. 물리학에서 실험 결과보다 더 깊은 통찰력은 없습니다.

마지막으로 게이지 / 섬유 번들 개념은 문제의 요구에 근거한 구성의 등가 클래스를 인위적으로 선언 할 때도 유용하다는 점을 언급해야합니다. , 동등 클래스 구성원간에 물리적 인 차이가 있더라도. 이러한 사고 방식의 가장 아름다운 예 중 하나는 Montgomery의 “낙하하는 고양이의 게이지 이론”입니다. 우리는 동등한 모듈로 인 고양이 구성의 등가 클래스를 연구합니다. 고양이 모양 공간 을 공식화하기위한 적절한 유클리드 등거리 변환. 고양이가 비틀림없는 볼과 소켓 조인트가있는 2 섹션 로봇으로 간주되는 표준 치료에서 실제 투영 평면 $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. 그러면 전체 구성 공간은 모양 공간 $ \ mathbb {RP} ^ 2 $를베이스로하고 그룹 $ SO (3) $가 방향을 섬유로 정의하는 섬유 번들입니다. . 고양이는 각운동량 보존에 의해 암시되는 평행 수송의 개념에서 발생하는 연결의 곡률로 인해 자체 모양의 순환 변형을 사용하여 각운동량을 보존하면서 뒤집을 수 있습니다.

여기에 제가 생각할 수있는 게이지 대칭의 가장 기본적인 예가 있습니다.

o Möbius 밴드에서 걸어 다니는 개미 에 대해 토론합니다. 개미의 위치를 설명하기 위해 띠를 너비를 따라 잘라 직사각형이되는 것을 상상하는 것이 편리합니다. 그런 다음 세 가지를 말하여 개미가 어디에 있는지 알려주세요.

• 그녀의 위도 — 사각형 너비에 따른 위치
• 그녀의 경도 — 사각형 길이에 따른 위치
• 그녀의 방향 — 사각형의 상단 또는 하단 표면에 달라 붙는 지 여부.

경도의 의미는 위치에 따라 다릅니다. 그 상상의 컷. 컷을 이동하면 모든 개미의 경도가 변경됩니다. “모양을 변경하거나 개미의 동작에 영향을주지 않고 길이를 따라 밴드를 슬라이드 할 수 있기 때문에 한 컷을 다른 컷보다 선호하는 물리적 이유가 없습니다.” 즉, 밴드에는 이동 대칭 이 있기 때문에 물리적으로 의미있는 절대 경도 개념이있을 수 없습니다.

마찬가지로 방향의 의미는 표면에 레이블을 지정하는 방법에 따라 다릅니다. 직사각형의 상단 및 하단.”밴드의 모양을 변경하거나 개미의 행동에 영향을주지 않고 밴드의 두 표면을 교환 할 수 있기 때문에 하나의 라벨링을 다른 것보다 선호하는 물리적 인 이유가 없습니다.” 이러한 교환은 게이지 대칭 의 한 예입니다. 일반적인 대칭에서 공유되지 않는 몇 가지 놀라운 기능이 있습니다. 그중 하나를 살펴 보겠습니다.

상황의 모든 대칭에 대해 상황의 일부 측면이 있습니다. 선택에 대한 물리적 근거없이 여러 가지 방법으로 설명 할 수 있습니다. 그러나 때로는 선택이 물리적으로 무의미한 경우에도 선택을하고 그것에 충실하는 것이 유용합니다. 예를 들어 지구 표면을 항해하는 사람들에 대한 토론에서 제가 아는 거의 모든 사람들이 런던 그리니치를 통과하는 컷을 사용하여 경도를 정의합니다. 대부분 사람 그곳에 살았던 사람이 세계를 장악하고 많은 해상 차트를 인쇄했습니다.

우리가 일반적인 원통형 밴드에서 개미 관찰을했다면 오리엔테이션 개념에 정착 할 수있었습니다. 쉽게. 우리는 밴드의 한면을 “상단”에 청록색으로 칠하고 다른면을 “하단”에 파란색으로 칠합니다. 뫼비우스 밴드에서는 뫼비우스 밴드가 한 면만 있기 때문에 상황이 더 복잡합니다. 밴드의 작은 영역에서 시작하여 바깥쪽으로 이동하면서 한쪽 표면을 청록색으로, 반대쪽 표면을 파란색으로 칠하려고하면 청록색과 파란색 영역이 필연적으로 충돌 할 것입니다. (이전 논의에서 충돌은 경도 절단을 따라 숨겨졌습니다.)

번역 대칭과 같은 일반적인 대칭이있는 상황에서는 물리적으로 의미있는 방식으로 가능한 설명 중에서 선택할 수 없습니다. 게이지 대칭이있는 상황에서는 그렇지 않을 수도 있습니다. 전 세계적으로 일관된 방식으로 가능한 설명 중에서 선택할 수 있습니다. 그러나 항상 좁은 공간에서 일관된 설명을 선택할 수 있습니다. 이것이 게이지 대칭을 종종 로컬 대칭 이라고 부르는 이유입니다.

게이지 대칭이 무엇인지에 대한 길고 기본적인 설명을 시도하면서 저는 또한 제공하고 싶습니다. 짧고 정교한 것. 가장 단순한 물리적 모델에서 이벤트는 공간 또는 시공간 이라고하는 매끄러운 매니 폴드에서 발생합니다. 일반적인 대칭은 사건의 물리적 가능성을 보존하는 시공간의 이형 화입니다. 보다 정교한 모델에서 이벤트는 시공간에 걸쳐 광섬유 번들에서 발생합니다. 게이지 대칭은 이벤트의 물리적 가능성을 보존하는 섬유 다발의 자동 형태입니다.

우리의 기본 예에서 Möbius 밴드는 공간의 역할을하고 개미는 밴드에서 걸어 다니고 있습니다. 오리엔테이션 번들. 오리엔테이션 번들은 밴드의 두 표면을 교환하는 자동 형태를 가지고 있습니다.

고전적인 전자기학에서 Minkowski 시공간 또는 다른 Lorentzian 매니 폴드는 시공간의 역할을하며 전자기장은 다음과 같이 표현됩니다. Kaluza-Klein 그림 에서 하전 입자는 시공간에서 “그림자”가있는 직선으로 날아 가며 원형 번들에서 이동합니다. 원형 번들에는 원형 섬유를 회전시키는 자동 변형 계열이 있으며,이를 멋진 사람들은 $ \ operatorname {U} (1) $ 게이지 대칭이라고합니다.이 그림은 모든 고전적인 Yang-Mills 이론을 일반화 합니다.

In 일반 상대성 이론의 Palatini 그림 , 매끄러운 $ 4 $ 차원의 다양체는 시공간의 역할을하며 중력장은 $ \ operatorname {SO}로 표시됩니다. 매니 폴드의 프레임 번들에 (3,1) $ 연결. 당신이 언급 한 선형화 된 중력의 게이지 대칭은 프레임 번들의 자동 형태라고 생각합니다.

일반 상대성 이론에 대한 아인슈타인의 그림에서 대칭은 시공간의 이형성입니다. 저는 이것을 일반 대칭으로 분류합니다. 그러나 tparker가 언급했듯이 모든 사람이 “게이지 대칭”이라는 용어를 같은 방식으로 사용하는 것은 아닙니다.

댓글

• 훌륭합니다! M ö 바이 우스 밴드 아이디어는 정말 아름답고 훨씬 더 복잡한 아이디어의 모든 본질을 담고 있습니다. What 또한 아이디어의 흐름이 단순함이 원활하게 일반화되는 방식을 보여주는 방식이 마음에 듭니다.
• 이봐, 세 개의 표로 ‘은 무엇입니까? Dunno what ‘이 사이트의 잠복 자에게 잘못되었습니다. OP ‘의 요구 사항을 고려할 때 지금까지이 질문에 대한 최선의 답변입니다. 어쨌든, 투표 중 하나는 내 것입니다.
• @WetS avannaAnimalakaRodVance, 투표 수에 대해 ‘ 걱정하지 않습니다. 이 답변의 혜택을받을 수있는 사람을 만나면 직접 링크 할 수 있습니다.참고로, 투표 분류 된 답변 목록의 하단과 상단에서도 잘 작동합니다.

$ U (1) $ 대칭의 경우 게이지 불변에 대한 매우 흥미로운 물리적 해석이 있습니다. 게이지 대칭은 물질 (광범위한 의미에서 임의의 스핀 영역)과 광자 (나선도가 1 인 질량없는 입자)의 로렌츠 불변 상호 작용을 얻을 수있는 유일한 방법이며 $ \ frac {1} {r ^ { 2}} $ 먼 거리 (이 진술은 쿨롱 법칙에 지나지 않음). 간단히 말해서, EM 상호 작용의 역 제곱 법칙을 제공하는 4- 잠재 $ A _ {\ mu} $는 로렌츠 공변이 아니며 상호 작용의 로렌츠 불변의 발현으로 인해 지역 보존이 부과됩니다.

정말, 시공간의 대칭을 기반으로하는 매우 일반적인 고려 사항에서 광자가 EM 강도 텐서 . 공식적으로 (텐서 인덱스가있는 순진한 조작을 사용하여) 및 구성 (나선도가 1 인 입자를 나타내는 필드), 즉 아래의 로렌츠 공변입니다. 행렬 $ \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} $에 의해 주어진 Lorentz 변환은 $$ F _ {\ mu \ nu} \ to \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ alpha} \ Lambda _ {\로 변환됩니다. nu} ^ {\ \ beta} F _ {\ alpha \ beta} $$ 다음으로 물질 장 $ \ psi $가 있고 물질과 광자의 상호 작용에 대해 논의한다고 가정합니다. 이러한 상호 작용을 얻는 가장 확실한 방법은 다음과 같이 얻는 것입니다. 가능한 모든 컨볼 루션 구성 $ F _ {\ mu \ nu} $의 물질 필드와 Lorent-covariant 객체 (Dirac 행렬, Levi-Civita 연결 등). 또한 실험에서 상호 작용이 먼 거리에서 $ \ frac {1} {r ^ {2}} $로 떨어 졌다는 것을 알고 있다고 가정합니다. 안타깝게도 $ F _ {\ mu \ nu} $를 사용하면 불가능합니다. 공식적인 이유는 상호 작용 법칙을 보여주는이 필드의 전파자가 $ \ frac {1} {r ^ {2}} $보다 빠르기 때문입니다. 이는 $ F _ {\ mu \ nu} $의 두 개의 인덱스와 반대 칭 때문입니다.

우리는 힌트를 만들고 $ A _ {\ mu} $ 개체를 4-potential : $$ F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu}-\ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} $$ 상호 작용은 이제 $ A_ {의 컨볼 루션으로 구성됩니다. \ mu} $와 물질 장 및 기타 공 변성 개체.

물론 $ A _ {\ mu} $는 $ F _ {\ mu \ nu} $뿐만 아니라 질량없는 헬리 시티 1 입자를 나타내야합니다. 안타깝게도이 요구 사항으로 인해 4- 잠재력은 “로렌츠 공변이 아닙니다 (물론 공식적으로는 그렇습니다). 정확히는 Lorentz 변형 필드 $ A _ {\ mu} $ (헬리 시티 1 무 질량 입자를 나타내는 것으로 가정 됨)는 $$ \ tag 1 A _ {\ mu} \ to \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \로 변경됩니다. nu} A _ {\ nu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $$ Lorentz 공변이 아님을 알 수 있습니다. $ A _ {\ mu} $에 대한 자유 라그랑지안은 $$ L =-\ frac {입니다. 1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}, $$는 Lorentz 불변입니다.

그러나 상호 작용의 Lorentz 불변을 보존하는 한 가지 방법이 있습니다. 변환 $ A _ {\ mu} \ to A _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ varphi $에서 변하지 않도록 구성합니다. 정확히 상호 작용의 진폭 $ M _ {\ mu_ {1} … \ mu_ {n}} (p_ {i}, \ epsilon_ {j} (k_ {j})) $, 여기서 $ \ epsilon $은 광자 헬리 시티 (편광) 벡터이고 $ p_ {i} $는 모두 상호 작용의 모멘텀입니다. 입자와 $ k_ {j} $는 광자의 운동량 임), 반드시 b e 변하지 않음 $$ \ tag 2 \ epsilon _ {\ mu} (p) \ to \ epsilon _ {\ mu} (p) + \ alpha p _ {\ mu} $$ 형식 언어에서 다음과 같이 표시 될 수 있습니다. 부드러운 광자 (모멘트가 거의 0 인 광자)의 방출로 프로세스를 처리하는 것은 물질 커플 링의 보존 법칙이 있어야 함을 의미합니다. $ g_ {i} $ : $$ g_ {1} + g_ {2} + … = \ text {const} $$ 이것은 전하 보존법 일뿐입니다. $ (2) $와 함께 이것은 $ U (1) $ 게이지 대칭 일뿐입니다.

그래서 우리는 역 제곱 법칙에 의한 광자와 물질의 상호 작용의 Lorentz 불변이 게이지 불변으로 이어진다는 것을 알 수 있습니다. 모든 필드와 중력자가 상호 작용하는 경우에 대한 동등성 원칙을 유 추적으로 주장 할 수 있습니다.

게이지 이론은 작고 대칭적인 추가 치수가있는 공간

무한 원통 (선과 작은 원의 직접적인 곱)으로 시작합니다. 실린더는 비 틀릴 수 있습니다. 설명하려는 개념에 호소하지 않기 위해 실린더가 철망으로 만들어 졌다고 말할 것입니다. 원통의 길이를 따라 전선에 납땜 된 균일 한 간격의 원입니다. 긴 와이어는 하나의 단위로 회전 할 수 있으며 인접한 원의 각 쌍 사이에 각도가 비틀어집니다. 그러한 구성은 계속해서 다른 형태로 변형 될 수 있다는 것이 분명합니다. 이러한 모든 실린더는 속담에서 기어 다니는 개미의 관점에서 볼 때 동일합니다.

라인을 닫힌 루프로 교체하여 제품이 원환 체가되도록합니다 (그리고 원환 체를 메쉬 도넛으로 생각하십시오. 작은 원의 평면을 변경하면 기술적으로 비유가 깨집니다). 도넛의 전체가 부족한 부분은 다른 도넛의 같은 부분으로 변형 될 수 있지만, 도넛을 둘러싼 그물 꼬임이 변경 될 수 없기 때문에 전체적으로 도넛은 때때로 변형 될 수 없습니다. 동등한 도넛의 종류는 본질적으로 국소 적이 지 않은이 그물 꼬임이 특징입니다.

루프 (작은 원이 아님)를 2 차원 이상의 다양체로 교체하십시오. 분명하지는 않지만 연결의 물리적 부분이 모든 폐쇄 루프 ( Wilson 루프 )를 둘러싼 통합 된 트위스트에 의해 완전히 제공된다는 것은 사실입니다. p>

$ A $와 $ F $는 연결성을 정량화합니다.

불연속적인 경우, 연결은 인접한 원 사이에 비틀림을 주어 가장 간단하게 설명 할 수 있습니다. 연속적 한계에서 이것은 각 원의 “비틀림 기울기”입니다. 이것은 $ A_ \ mu $, 소위 벡터 전위입니다.

모든 연속 변형은 각 원이 차지하는 양을 나타내는 스칼라 필드 $ \ phi $로 설명 할 수 있습니다. (이전 어디에 있던지에 비해) 이것은 $ \ phi $의 기울기로 $ A_ \ mu $를 변경하지만 물리량은 변경하지 않습니다 (루프 적분).

설명 Wilson 루프의 용어 인 $ \ oint_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $는 물리적으로 의미있는 양만 포함하기 때문에 더 우아하지만 로컬이 아니고 중복성이 높습니다. 공간이 단순히 연결되어 있으면 피할 수 있습니다. r 더 큰 루프를 만들 수 있기 때문에 차동 루프 주변에만 꼬임을 지정하여 중복성과 비 로컬 성을 확보합니다. 이른바 필드 텐서, $ \ partial_ \ nu A_ \ mu-\ partial_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $는 정확히 그것을 제공합니다.

(공간이 단순히 연결된 것이 아니라 차동 루프와 기본 그룹 생성 세트의 각 요소에 대해 하나의 순 꼬임으로도 벗어날 수 있습니다. 토러스는 물론 이에 대한 간단한 예입니다.)

힘은 Aharonov–Bohm 효과에서 비롯됩니다.

전체 공간에 대해 정의 된 스칼라 필드를 고려하십시오 (이전 필드와 달리이 값은 각 원의 각 지점에서). 필드는 한 지점에서 발산하고 다른 곳에서 재 수렴하는 두 개의 좁은 빔을 제외하고 모든 곳에서 0입니다. (아마도 거울에 의해 반사되거나 공간이 양의 곡선을 이룰 수 있습니다. 중요하지 않습니다.)

필드가 원에 걸쳐 일정하지 않으면 빔의 간섭 동작은 차이에 따라 달라집니다. 두 경로를 따라 비틀어졌습니다. 이 차이는 경로에 의해 형성된 폐 루프 주변의 적분 일뿐입니다.

이것은 (일반화 된) Aharonov–Bohm 효과입니다. 차동 경로로 제한하고 $ F _ {\ mu \ nu} $를 사용하여 간섭에 대한 영향을 계산하면 전자기력 법칙을 얻을 수 있습니다.

장을 푸리에 구성 요소로 분해 할 수 있습니다. 푸리에 스펙트럼은 작은 차원에서 이산 적입니다. 0 번째 (일정한) 고조파는 비틀림의 영향을받지 않습니다. 두 번째 고조파는 첫 번째 고조파보다 두 배 많은 영향을받습니다. 이것이 전하입니다.

실제로는 알 수없는 이유로 특정 차원의 고조파 만 존재하는 것 같습니다. 첫 번째 고조파 만 존재하는 경우 큰 차원의 각 지점에서 단일 복소 진폭 + 위상으로 필드에 대한 동일한 설명이 있습니다. 위상은 벡터 전위에서도 사용되는 임의의 로컬 영점에 상대적입니다. 위상을 근처 지점의 위상과 비교할 때 $ \ mathrm d \ theta $의 벡터 전위 비틀림이있을 때 필드 값을 $ i \, \ mathrm d \ theta $로 조정해야합니다. . 이것이 게이지 공변 미분 의 기원입니다.

원은 다른 모양으로 일반화됩니다.

2 구가있는 원의 경우 $ \ mathrm {SU} (2) $ 게이지 이론을 얻습니다. 수치 적으로 더 까다 롭습니다. 대칭 그룹은 비교 환적이므로 Lie 대수의 기계를 가져와야합니다. 연결성은 여전히 루프 주변의 그물 꼬임으로 설명됩니다.

불행한 차이점 중 하나는 전하를 추가 차원 조화로 설명한다는 것입니다. cs는 더 이상 작동하지 않습니다. 구형 고조파는 정수 스핀 표현 만 제공하며 알려진 모든 입자는 표준 모델 $ \ mathrm {SU} (2) $의 spin-0 또는 spin-½ 표현이므로 $의 영향을받는 입자 \ mathrm {SU} (2) $ force는이 방식으로 설명 할 수 없습니다. 좀 더 이국적인 유형의 필드를 사용하여이 문제를 해결하는 방법이있을 수 있습니다.

표준 모델 게이지 그룹의 $ \ mathrm {SU} (3) $ 부분에 대해서는 전체 SM 게이지 그룹이 $ \ mathrm {Spin} (10) $ , $ \ mathrm {SU} (3) $를 사용하는 모양보다 9 구를 시각화하는 것이 더 쉽다고 생각합니다. 대칭.

일반 상대성 이론은 유사합니다.

일반 상대성 이론에서 Riemann 곡률 텐서는 필드 텐서와 유사합니다. 이것은 차동 루프 주위로 운반되는 벡터의 각도 회전을 나타냅니다. Aharonov-Bohm 효과는 우주 문자열 주변의 각도 적자 와 유사합니다. Kaluza-Klein 이론 원래는 5 차원의 일반 상대성 이론에서 전자기를 얻는 특정 방법을 언급했습니다. 이제는 표준 모델 게이지 힘과 일반 상대성이 동일한 사물의 다른 측면 일 가능성이 있다는 광범위한 아이디어를 종종 참조합니다.

CED (Classical Electrodynamics)에서 게이지 불변성은 전위 $ \ varphi $ 및 $ \ bf {A} $의 특정 “선택”에서 전기 및 자기장의 독립성을 의미합니다. 전위 방정식은 물론 “게이지”의 특정 선택에 따라 다르며 게이지마다 다른 솔루션을 제공합니다.

QM 및 QED에서 게이지 불변성은 방정식의 형식 (해는 여전히 다르지만 물리적으로 동일 함)

하지만 계속 유지해야합니다. 해당 결과가 물리적으로 동일하게 유지되는 경우 유용한 변수 변경도 허용됩니다. 이를 위해 방정식의 형태는 “불변”할 필요가 없습니다.