주의 : 이 답변의 첫 번째 부분은 BRST 절차에 대한 매우 기술적 인 입장을 취하며 추가적으로 유한 차원 위상 공간으로 작업합니다. 편의상. 도구로서의 BRST 변환 또는 고스트의 평균 적용에서 고스트에 대한 이해와는 상당히 거리가 먼 것처럼 보일 수 있습니다.

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고스트의 일반적인 개념

여러 가지가 있습니다. 제한된 해밀턴 역학 (라그랑주 수준의 게이지 이론과 동일)에서 유령, 안티 고스트 및 그 숫자의 출현을 논의 할 수있는 수준. 그중 하나는 이 답변 에 부분적으로 스케치되어 있습니다. 여기서 BRST 연산자는 게이지 Lie 대수 코 호모 로지에서 차동으로 표시됩니다.

이 답변에서는 " 위상 공간 확장 "과 같이 유령을 보는 약간 다른 방법을 살펴 보겠습니다. 이는 " 위상 공간 용어 "에서 거짓말 대수 동질 학 접근 방식을 재구성 한 것으로 볼 수 있습니다.

추상적 인 수준에서 BRST 형식주의는 위상 공간 $에서 제약 표면 $ \ Sigma $ 에 대한 축소를 구현하려고합니다. X $ $ G_a $ 제약 조건을 해결하는 것이 아니라 확대 된 위상 공간의 함수가 다음을 갖도록 위상 공간의 적절한 확대를 검색하여 등급이 매겨진 파생 $ \ delta $ mology는 게이지 불변 관측 값 인 제약 표면의 함수를 계산합니다. ¹

확장 된 위상 공간은 다음과 같이 얻습니다.

1. 제약 표면 $ \ Sigma $ 의 함수는 표면에서 사라지는 함수의 모듈로 모든 위상 공간 함수의 몫으로 제공됩니다. 표면에서 사라지는 모든 함수 $ f $ 는 $$ f = f ^ a G_a $$ 로 지정됩니다. 여기서 $ f ^ a $ 는 임의의 위상 공간 함수입니다. 제약이있는만큼의 변수 $ P_a $ 를 도입하고 $ \ delta P_a = G_a $ 및 원래 위상 공간 변수에 대한 $ \ delta z = 0 $ 및 $ \ delta $의 이미지 은 정확히 $ \ Sigma $ 에서 사라지는 모든 함수입니다. $ \ delta $ 가 채점 되려면 $ P_a $ 가 학위 $ 1 $ . $ P_a $ 에서 다항식의 정도와 같은 함수의 정도를 anti- 유령 번호 . ²

2. $ P_a $ 는 외롭고 켤레 변수가 필요합니다. 이것들은 제약 표면의 소위 세로 1 형 에 의해 주어지며, 제약 표면의 세로 벡터 필드는 게이지 궤도에 접하는 하나입니다. 이중은 세로 벡터에서만 정의되는 1- 형식입니다. 세로 벡터 필드가 정확하게 게이지 변환을 생성하는 필드라는 것은 기하학적으로 직관적이어야합니다 (실제로 사실입니다) (이들은 다시 게이지 Lie 대수의 또 다른 화신 일뿐입니다). 따라서 제약 조건이있는만큼 기본 종단 형 1- 형식 $ \ eta ^ a $ 이 있고 안티 고스트가있는 것처럼 $ P_a $ .이중의 정의에 따라 자연스러운 동작 $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ 이 있으므로 푸 아송 대괄호를 정의하는 것도 당연합니다. $$에 의해 $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ 좌표가있는 확대 된 위상 공간에서 [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ 따라서 $ (\ eta ^ a, P_a) $ 쌍이 추가 쌍으로 작동합니다. 표준 변수의. 파생은 $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ 에 의해 $ \ eta $ 로 확장됩니다. 스팬>. 이 확대 된 위상 공간의 함수에는 이제 pan class = “math-의 학위에 따라 순수 고스트 번호 가 할당됩니다. container “> $ \ eta $ .

확장 된 위상 공간, 고스트에서 모든 기능을 제공합니다. number 는 단순히 순수 고스트 번호에서 안티 고스트 번호를 뺀 값입니다.

고스트 번호의 좋은 점은 특정 생성기의 전하라는 것입니다. -연산자에 의해 측정 됨 ³ $$ \ mathcal {G} : = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ 확실한 유령의 모든 기능에 대해 $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ 을 충족합니다. 번호. 고스트 넘버는 물리적으로 중요하다. 왜냐하면 고스트 넘버 0의 상태는 BRST 불변이라는 조건과 함께 물리적 상태가되기위한 필요하고 충분한 조건이기 때문이다.

그러나이 조건을 얻으려면 이제 다른 차동 $ \ mathrm {d} $ 을 $ \ delta $ 에 추가하여 BRST 차동을 얻습니다. $ \ delta + \ mathrm {d} $ 가 " 작은 섭동 "가 추가되어 BRST 형식에 필요한 무능 연산자입니다. (이것의 파생은 매우 기술적이며 때로는 " 상동 적 섭동 이론의 정리 "라고도합니다.) $ \ mathrm {d}, \ delta $ , 게이지 불변 함수가 고스트 번호가 0 인 BRST 연산자 하에서 정확히 불변함을 발견하므로 양자 이론 또한이 제한을 적용해야합니다.

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^{1 " 상 동성이 계산하는 "는 연산자가 $ \ delta $ 라는 수학 용어입니다. 여기서 게이지 불변 함수는 정확하게 $ \ delta (f) = 0 $ 및 $ f $ 및 $ g 식별 위치 $ $ \ delta (h) = f-g $ 같은 $ h $ 가있는 경우 / span>. 또한 축소 가능한 제약 조건의 경우 약간 더 복잡해집니다.}

^{2 비 축소 제약 조건의 경우 이미 게이지를 올바르게 계산합니다. -불변 기능, 그리고 원칙적으로 여기서 멈출 수 있습니다. 그러나 $ P_a $ 를 추가 한 것은 불만족 스럽지만 해밀턴 형식주의에 적절한 공액 변수가 없습니다.}

^{3 이 정의는 질문에 쓰여진 $ U $ 의 표현에 대한 이산적이고 비등 각적인 유사체입니다.}

^{주요 참조 : " 게이지 시스템의 양자화 " by Henneaux / Teitelboim}

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$ bc $ -CFT

의 특정 사례

일반 " $ bc $ -CFT ", 즉 2D 고스트와 같은 필드를 갖는 등각 장 이론은 고스트 액션 $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partial c (z ) + b (z) \ partial c (z) \ right) $$ 필드 $ b $ 및 $ c $ 에는 각각 등각 가중치 $ h_b $ 및 $ h_c = 1-h_b $ 가 있습니다. 고스트 번호가 0 인 위상 공간 함수는 이제 등각 가중치 $ 1 $ 를 가진 연산자로 변환됩니다 (동일한 수의 고스트 및 안티 고스트가 있고 가중치가 추가적으로 동작하기 때문에 ).

이는 이러한 이론에서 1 차 물리적 상태 (2D CFT의 상태 필드 대응에 의한)가 반드시 등각 가중치를 가져야 함을 보여줍니다. $ 1 $ .이것은 끈 이론에서 중요합니다. 여기서 $ h_b = 2 $ 가있는 $ bc $ -CFT는 월드 시트 필드의 $ X $ -CFT에 자연스럽게 추가됩니다. 일반 CFT의 경우 가능한 모든 1 차는 원칙적으로 물리적 상태 일 수 있지만 BRST 절차는 고스트 번호 0 상태, 즉 가중치가 $ 1 $ 인 필드를 물리적 상태 만 허용됩니다.

댓글

• 이것은 매우 상세한 답변이지만 CFT에서 고스트 번호를 사용하는 예를 구체적으로 제공 할 수도 있습니다. ?
• @JakeLebovic : 끈 이론 (CFT에서 유령이 나타나는 유일한 경우)의 경우 유령 번호 0의 요구 사항이 어떻게 반영되는지에 대한 간단한 설명을 추가했습니다. / li>

평면에 대한 등각 장 이론에서 내적을 정의해야합니다. 당신의 이론 상태. bosonic string theory에서 상태 공간, 즉 이론 $ \ mathcal {H} $의 Hilbert 공간은 Virassoro 대수 표현의 공간입니다.

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

복소면에서 CFT의 방사형 양자화에서 이론의 힐베르트 공간의 모든 상태에 대해 소위 복소면에서 로컬 연산자를 연결할 수 있습니다. 운영자 국가 서신 . 이 힐베르트 공간의 BPZ 내부 곱을 정의 할 수 있습니다. 첫 번째는 점근 상태 $ | 0 \ rangle $ 및 $ \ langle0 | $를 정의하는 것입니다.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Identity operator} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {원점} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Identity operator} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {at infinity} \, \, z = \ infty $$

이 두 가지는 다음과 관련 될 수 있습니다. 등각 변환 $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} =-\ frac {1} {z} $. 이 등각 변환에서 등각 차원 $ h _ {\ Phi} $ 필드의 $ \ hat {\ alpha} _n $ 모드가 다음과 같이 변환됨을 알 수 있습니다.

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {-n} $$

그러므로 등각 변환에서 우리는 다음 :

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {-n} = 0 \ tag {1} $$

이것은 Virasoro 대수에 대해 $ L _ {-1} $, $ L_0 $ 및 $ L_1 $ 및 반 홀로 모픽 대응 물 $ \ overline {L} _ {-1} $, $를 의미합니다. \ overline {L} _0 $ 및 $ \ overline {L} _1 $는 $ | 0 \ rangle $ 및 $ \ langle0 | $를 모두 제거합니다. 그러나 이러한 모드는 Riemann 구의 전역 등각 변환 그룹 인 $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ 그룹을 생성합니다. 따라서 $ | 0 \ rangle $은 $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $-invariant vacuum으로 알고 있습니다.

반면에 $ (1) $를 사용하면 $ b _ {-1} $, $ b_0 $ 및 $ b_1 $도 $ | 0 \ rangle $ 및 $ \를 모두 제거한다는 것을 알 수 있습니다. langle0 | $. $ bc $ -system의 정규 정류 관계는 다음을 보여줍니다.

$$ \ {b_n, c _ {-n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

따라서 $ c _ {-1} $, $ c_0 $ 및 $ c_1 $ 모드는 $ \ rvert0 \ rangle $ 및 $ \ langle0 \ rvert $를 모두 제거하지 않습니다. 따라서 리만 구의 $ bc $ -system에 대한 0이 아닌 첫 번째 행렬 요소는 다음과 같습니다.

$$ \ langle0 \ lvert c _ {-1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

BPZ 활용 즉, 관계식 (1)이 고스트 번호를 3 단위로 위반합니다. $ bc $-시스템의 동작은 다음과 같은 고스트 번호 대칭을 갖습니다.

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

해당 전류 :

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z) : $$

여기서 $ : \ cdots : $는 정상적인 순서를 나타냅니다.

위에 설명 된 고스트 넘버 위반의 원인은 기하학적 인 것입니다. $ j $는 비정상적인 정수 스핀을 가진 키랄 페르미온의 전류 페르미온 수입니다 ($ b $와 $ c $는 모두 정수 스핀을 가짐). 따라서 중력 이상이 있습니다.

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z =-\ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

여기서 $ \ lambda $는 등각 치수입니다. $ b $의. 이것을 통합하면 $ g $ Riemann 속 표면 (닫힌 끈 이론의 세계 표)에 대한 유령 번호 위반이 $ 3 (g-1) $임을 알 수 있습니다. 고스트 전류의 중요성은 CFT의 0이 아닌 S- 행렬 요소를 결정한다는 것입니다.