공에 $ u $ 함수가 불 연속적으로 정의되어 있다고 가정합니다. $ u $의 값만 알고 있습니다. 구면 격자의 노드 $ (i, j, k) $에서 $ i $는 반경 좌표, $ j $는 각도 $ \ varphi $, $ k $는 각도 $ \ psi $의 좌표입니다. .
벡터 함수 $$ \ nabla u_ {i, j, k} = \ left (\ frac {\ partial u} {\ partial r} _ {i, j, k}, \ frac {1} {r_i \ sin \ psi_k} \ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi} _ {i, j, k}, \ frac {1} {r_i} \ frac {\ partial u} {\ 부분 \ psi} _ {i, j, k} \ right)-$$ $ u $의 기울기.
$ \ nabla u_ {i, j, k} $의 값을 알아야합니다. 데카르트 좌표의 z 축에서 $ \ psi = 0 $에 해당합니다-구형 좌표의 축이지만 $ \ psi = 0 $의 경우 두 번째 항이 무한대로 바뀌기 때문에 위의 공식을 사용할 수 없습니다.
사실, 우리는 수치 미분 공식을 통해 $ \ frac {\ partial u} {\ partial z} $의 값을 찾을 수 있지만 $ \ frac {\를 찾는 데 문제가 있습니다. 부분 u} {\ partial x} $, $ \ frac {\ partial u} {\ partial y} $, 그리드가 직사각형이 아니기 때문입니다. 이 작업을 도와 주시고 어떻게해야하는지 조언 해 주시겠습니까?
댓글
- $ (r, \ varphi, \ psi) $ 좌표계? 그러면 $ x $-$ y $-및 $ z $-축에 투영하여 그라디언트의 $ x $-$ y $-및 $ z $-구성 요소를 제공 할 수있는 벡터가 제공됩니다.
- 아니요, $ \ psi = 0 $ $ \ varphi $ -angle에 대해 정의되지 않았고 수식에 특이점이 있기 때문에 수치 미분을 계산할 수 없습니다.
- 해답이있을 가능성이 있습니다. 쿼터니언을 사용하지만 정확히 wrt처럼 보이는지 알아 내기가 다소 까다 롭습니다. 당신의 명명법. 싸우려는 효과를 일반적으로 " gimbal-lock
- 이 문제를 올바르게 처리 할 수있는 하나의 변형을 찾았습니다. 여기서 기울기 재구성을 위해 최소 제곱 방법을 사용할 수 있지만 정확한 설명과 사용 방법을 찾지 못했습니다.
- 아마도 ' 경우-적당히 잘 작동하는 $ u $$-$ \ lim _ {\ psi \ to 0} \ frac {1} {\ sin \ psi} \ frac {\ partial u} {\ partial \ phi} = 0 $. 하지만 저는 ' 벡터의 중간 구성 요소에 의미가 없다고 생각하므로 '이를 극좌표의 미분 방정식에 연결하면 좌표 미분 방정식은 중간 좌표에 가중치를주지 않을 수도 있습니다.
답변
3 가지 방법이 있습니다. 이 상황을 피하되 사용하기 전에 계산 오류로 인해이 방법이 적합한 지 확인해야합니다.
1) Green-Gauss 셀 방법 : 여기에서 그라디언트 정의가 사용됩니다.
$$ \ nabla u_i \ approx \ frac {1} {V_ {i}} \ int \ limits _ {\ partial V_i} ud \ overline {S} \ approx \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {u_ {f_k} S_k \ overline {n} _k}, $$ 여기서 $ k $-셀 $ V_ {i} $
2) 최소 제곱 법 : 오류
$$ \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {d_ {ik}} E_ {i, k} ^ {2}}, E_ {i, k} = \ nabla u_i \ cdot \ Delta r_ {i, k} + u_i-u_k $$를 최소화해야하므로 $ \ nabla u_i $
3) 보간 방법의 구성 요소를 얻습니다. 그래디언트 값은 그래디언트 벡터 함수 값에서 보간됩니다.