내가 이해하는 한, 일부 질량 분포의 중력 결합 에너지는 중력 자기 잠재력 에너지의 음수입니다.
반경 $ R $, 질량 $ M $ 및 균일 한 밀도의 솔리드 구에 대해 후자를 계산하려고했습니다.
쉘 정리 (또는 가우스의 중력 법칙)에 의해 구 중심에서 $ r $ 떨어진 곳에서의 전계 강도는 다음과 같습니다.
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
여기서 $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $은 반지름 $ r $의 구체에 포함 된 질량입니다.
a에서 중력 전위차 따라서이 분포에 의해 생성 된 거리 $ r $는 다음과 같습니다.
$$ V =-\ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
자기 중력 전위 에너지는 다음과 같습니다. 분포의 모든 질량 요소 $ dm $에 대한 중력 전위 에너지 $ U \ cdot dm $의 합
쉘 통합으로 진행하겠습니다. 내부 반경 $ r $, 외부 반경 $ r + dr $의 쉘에 포함 된 질량은 간단히
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
따라서 구는
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr =-\ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
정답의 정확히 절반입니다.
작업을 여러 번 확인하여 간단한 실수를 확인했지만 $ 2 $ 오류의 원인을 찾을 수없는 것 같습니다. 이로 인해 근본적으로 잘못된 것이 있다고 믿게됩니다. 에너지를 계산하는 방식으로.
어디에 문제가 있습니까?
댓글
- MathJax에서 ' 큰 대괄호에 \ big을 사용하고 있는데 ' 작동하지 않습니다. 대신 \ left 및 \ right 일치를 사용하세요. \ Big은 고정입니다. \ left 및 \ right는 괄호로 묶인 내용에 필요한 크기로 자동 조정됩니다.
Answer
문제는 포탄이 이전 포탄의 내부 또는 외부에서 나오는지 여부에 관계없이 포탄을 형성하는 방식입니다. 결합 에너지의 경우 연속적으로 각 껍질을 무한대로 제거하는 데 필요한 에너지의 양을 의미합니다. 따라서 잠재력은 기원이 아닌 무한대에 대해 계산되어야합니다. 잠재력에 대한 당신의 표현은 각 쉘이 원점에서 시작하여 이미 존재하는 코어 주위를 외부에서 결합하는 대신 기존 질량을 통해 반경 $ r $까지 확장된다는 것을 암시합니다. 따라서 잠재력을 다음과 같이 계산하십시오.
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx =-\ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
이것은 2의 요소를 해결해야합니다.
용어를 제쳐두고, 우리는 규모의 개념에 동의 할 수 있다고 생각합니다. 에너지의 의미는 긍정적이든 부정적이든 “큰 영향을 미치지 않습니다. 위의 적분에 대한 느낌을 얻기 위해 여전히 형성되는 공의 중력에 의해 끌어 당기는 단일 입자를 상상해 봅시다. 반지름 $ r $), 입자가 무한대에서 들어올 때 느낄 수있는 잠재력은 공의 표면에 닿을 때까지 일반적인 뉴턴 중력 잠재력이 될 것입니다. 추가되는 쉘의 질량 $ dm $도 이와 동일한 잠재력을 느낄 것입니다. 우리는 쉘이 모든 방향에서 동시에 들어오는 많은 작은 입자로 생각할 수 있습니다.이 방법으로 쉘을 추가 할 때마다 $ r \ rightarrow r + dr $, 따라서 $ M_ {enc} $가 증가합니다. $ r $ 이상. 이것은 질문에서 경계가 $ [0, R] $ 인 적분과 대조됩니다. 왜냐하면 그러한 적분은 원점에서 바깥쪽으로 질량 껍질을 “팽창”시키는 데 필요한 에너지의 양과 더 유사하기 때문입니다. 이러한 과정에서는 껍질이 표면으로 부풀어 오르면 공이 완전히 투과 할 수 있어야하지만,이 경우 강성이 부족하여 공 전체가 즉시 다시 무너집니다.
댓글
- 알겠습니다. 먼저 저는 실제로 중력 결합 에너지가 무엇인지 ' 모릅니다. 나는 자기 잠재력이 무엇인지 알뿐입니다. 질량 $ m_1, … m_N $ 시스템의 자기 전위 에너지는 $ i j $ 여기서 $ U_ {i, j} =-Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $는 질량 $ m_i $와 $ m_j $ 사이의 거리입니다. 이것이 제가 계산하려고 한 것입니다.
- 둘째, 적분이 ' 이치에 맞지 않습니다. $ M_ {enc} (r) $ 대신 $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh가 맞습니다. 결합 에너지를 잘못 정의했습니다. 전체 계산은이 Wikipedia 기사를 참조하십시오. en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis : 사실, 제가 계산 한 것은 자기 중력 전위 에너지로, 결합 에너지의 음수 일뿐입니다. 위의 자기 잠재력 에너지, 즉 자체 중력장으로 인한 질량 분포의 에너지에 대해 설명했습니다.
- 응답에 설명을 추가했습니다. ' 주석에 여기에 맞지 않습니다. 두 가지 양의 근본적인 차이점은 서로 무한히 멀리 떨어져있는 모든 덩어리를 제거하는 데 필요한 에너지의 양과 공이 스스로 붕괴되는 것을 방지하는 데 필요한 에너지의 양입니다. 전자는 중력 결합 에너지 (자기 잠재력으로 인한)이고 후자는 관련된 물질의 최소 강성을 측정하는 것입니다.
답변
잠재력을 계산하는 방법과 중력 결합 에너지를 계산하는 방법에 문제가 있습니다.
구 내부의 중력장은 방사형으로 안쪽으로 크기 $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. 구 외부의 중력장은 반경 방향 안쪽에 있으며 크기는 $ GM / r ^ 2 $입니다.
중력 잠재력은 그 질량을 무한대에서 $ r $로 가져 오는 단위 질량 당 수행되는 작업입니다.
구 내부 반경 $ r $에서의 전위는 $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r “^ 2} \ dr”+ \ int_입니다. {R} ^ {r} \ frac {GMr “} {R ^ 3} \ dr”$$ $$ V (r) =-\ frac {GM} {R}-\ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2-3R ^ 3) $$
그러나 m 중력 결합 에너지는 구 표면에서 무한대까지 질량 껍질을 제거하는 데 필요한 에너지의 합이기 때문에 구의 결합 에너지를 계산하는 데>이 필요하지 않습니다. 중심에 도달 할 때까지 표면에서 층을 벗겨내는 것을 상상해보세요).
질량 $ M “$의 구체 표면에서의 전위는 $ -GM”/ R “$이며 여기서 일정한 밀도 $ \ rho = 3M “/ 4 \ pi R”^ 3 $. 따라서 $$ V (R “) =-\ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R”^ 2 $$와 결합 에너지는 동일합니다. $ V (R “) $에 쉘 질량 $ dM을 곱한 값 = 4 \ pi R “^ 2 \ rho \ dR”$, 0부터 별의 최종 반지름까지 질량 포탄에 통합됩니다.
$$ U =-\ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R “^ 2 \ 4 \ pi R”^ 2 \ rho \ dR “$$ $$ U =-\ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} =-\ frac {3GM ^ 2} {5R} $$