Hamilton ' 원칙

1 주차 메모 John Baez의 Lagrangian 역학 과정 은 행동 원칙의 동기에 대한 통찰력을 제공합니다.

최소 행동은 가상 작업 원칙의 확장으로 간주 될 수 있다는 아이디어입니다. 물체가 평형 상태에있을 때, 임의의 작은 변위를 만드는 데 작업이 필요하지 않습니다. 이자형. 작은 변위 벡터의 내적과 힘은 0입니다 (이 경우 힘 자체가 0이기 때문에).

객체가 가속 될 때 <와 같은 "관성력"을 추가하면 span class = "math-container"> $ \,-ma \, $ , 객체의 실제 궤적에서 작은 임의의 시간 종속 변위는 $ \, F-ma, \, $ 실제 힘과 관성력이 추가되었습니다. 이렇게하면

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

From 거기에서 노트에서 발견 된 몇 가지 계산은 고정 동작 적분으로 이어집니다.

Baez는 해밀턴보다 D “Alembert를 더 많이 논의하지만 어느 쪽이든 아이디어의 기원에 대한 흥미로운 관점입니다.

p>

댓글

• 가상 작업의 원칙은 D ' Alembert 원칙 : en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

또한 Feynman의 접근 방식이 있습니다. 즉, 최소 동작은 기계적으로 실제 양자이기 때문에 고전적으로 사실이며 고전 물리학은 기본 양자 접근 방식에 대한 근사치로 가장 잘 간주됩니다. http://www.worldscibooks.com/physics/5852.html 또는 http://www.eftaylor.com/pub/call_action.htm l.

기본적으로 모든 것이 R로 요약되어 있습니다. ichard P. Feynman, 물리학에 대한 파인만 강의 (Addison–Wesley, Reading, MA, 1964), Vol. II, Chap. 19. (내가 틀렸다면 수정 해주세요) 근본적인 아이디어는 작용 적분이 입자의 위치에 대한 양자 역학적 진폭을 정의하고 진폭은 간섭 효과에 안정적이라는 것입니다. 0이 아닌 발생 확률) 행동 적분의 극점 또는 안장 지점에서만. 입자는 실제로 확률 적으로 모든 대체 경로를 탐색합니다.

어쨌든 Feynman의 물리학 강의를 읽고 싶을 것입니다. 지금 시작하십시오. 🙂

댓글

• Feynman '의 물리학 강의는 좋지만 나중에 읽는 것이 가장 좋습니다. 새롭거나 더 많은 통찰력을 제공하기 위해 주제를 제대로 배웠다고 느낍니다.

아래 이미지에서 볼 수 있듯이 동작 적분의 변형이 최소가되기를 원하므로 $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $는 $ 0 $이어야합니다. 그렇지 않으면 $ q_ {t_ {1}} $와 $ q_ {t_ {2}} $ 사이의 실제 경로가 아니라 약간 더 긴 경로를 사용하는 것입니다. 그러나 $ \ delta S = 0 $를 따르는 경우에도 아시다시피 다른 극값으로 끝날 수 있습니다.

jc의 링크를 따라 가면 동역학에 관한 일반 방법 을 찾을 수 있습니다. 해밀턴의 추론에 관한 질문에 답할 수 있습니다. 하지만 거의 확실히 그럴만한 가치가 있습니다.

댓글

• 정확히 해밀턴이기 때문에 팽팽한 대답처럼 보입니다. '의 원리는 처음에 위의 그림에 도달하는 데 사용되었습니다.
• 해밀턴 '의 원리를 배웠을 수도 있습니다. 그림은 설명으로 설명하지만 그림은 완벽하게 일반적입니다. 끝 점이 고정 된 함수의 변형을 설명합니다.

저는 일반적으로 행동 원리가 동일한 미분 방정식을 얻는 또 다른 방법이라고 이야기합니다. -따라서 역학 수준에서 둘은 동일합니다. 그러나 양자 장 이론에 관해서는, 즉석 효과를 고려할 때 지수화 된 동작에 대한 경로 적분에 대한 설명이 필수적입니다. 그래서 결국 행동이라는 공식이 더 근본적이고 육체적으로 더 건전하다는 것을 알게됩니다.

그러나 여전히 사람들은 에너지에 대한 느낌과 같은 행동에 대한 “느낌”을 갖지 않습니다.

초기 조건 $ q (0), (dq / dt) (0) $가 먼저 진행되고 최소 동작 원리가 나중에 시퀀스로 공식화되었습니다. 수학적으로 아름답고 우아하지만 최소 행동 원칙은 물리적으로 알려지지 않은 미래의 “경계”조건 $ q (t_2) $를 사용합니다. 초기 조건에서만 동작하는 최소 행동 원칙은 없습니다.

또한, 방정식에는 물리적 솔루션이 있습니다. 이것은 고전 역학에서는 그렇고 고전 전기 역학에서는 잘못되었습니다. 따라서 공식적으로 올바른 “원리”에서 파생 된 경우에도 방정식은 물리적 및 수학적 수준에서 잘못 될 수 있습니다. 존경, 올바른 물리 방정식을 공식화하는 것은 “자동으로”방정식을 얻는 “원리”에 의존하는 것보다 물리학 자들에게 더 기본적인 작업입니다. 방정식을 올바르게 공식화하는 것은 우리 물리학 자입니다.

CED, QED 및 QFT에서는 물리학이 추측되고 초기에 잘못 구현 되었기 때문에 잘못된 솔루션을 “진행 중에 수리”해야합니다.

p>

PS 실제로 시스템이 궤적을 “선택”하는 방법을 보여주고 싶습니다. $ t = 0 $에서 입자가 $ p (t) $ 운동량을 가지면 다음 번에 $ t + dt $ 운동량이 $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. 이 증분은 시간적으로 상당히 국지적이며 현재 힘 값 $ F (t) $에 의해 결정되므로 미래의 “경계”조건이이를 결정할 수 없습니다. 궤도는 가상 궤도에서 “선택된”것이 아닙니다. 힘, 좌표 및 속도의 즉각적인 값에 의해 “그려집니다”.

댓글

• 두 옵션 모두 수학적이라고 생각하고 싶습니다. 모델이기 때문에 더 실제적인 것은 없습니다. 시스템이 궤도를 선택하지도 미래도 최소 행동 경로를 결정하지 않습니다. QM의 비 지역 성은 유사한 의심을 불러 일으 킵니다.
• 놀랍게도 이제 초기 조건에서만 작동하는 최소 행동 원칙이 있습니다! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• 무료 arXiv 버전 . 기사를 자세히 읽지 않으면 고전적인 Keldysh 형식주의 와 같은 냄새가납니다. 이 및 이 Phys.SE 게시물

뉴턴의 형식주의에서했던 것처럼 초기 위치와 추진력을 지정하는 대신 다음과 같이 질문을 재구성 해 보겠습니다.

초기 및 최종 위치를 지정하는 경우 : $ \ textbf {입자가 어떤 경로를 사용합니까?} $

Let” 우리는 소위 Lagrangian 형식주의 또는 Hamiltonian 원리라고 불리는 다음 형식주의에 의해 뉴턴의 형식주의를 회복 할 수 있다고 주장합니다.

위 그림에 설명 된 각 경로에 우리가 행동이라고 부르는 숫자를 할당합니다.

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

여기서이 적분 차이점은 운동 에너지와 위치 에너지.

$ \ textbf {Hamilton “s 원리 주장} $ : 입자가 취한 진정한 경로는 S.

$ \ textbf {Proof :} $

1. 경로를 약간 변경합니다.

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2. 경로의 끝점을 고정 유지 :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3. 행동의 변형을 취합니다. $ S $ :

마지막으로

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}}-\ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

시작한 경로가 작업의 극값 인 조건은 다음과 같습니다.

$$ \ delta S = 0 $$

경로에 대한 모든 변경 $ \ delta \ vec {r} (t) $를 유지해야합니다. 이것이 발생할 수있는 유일한 방법은 $ [\ cdots] $의 표현식이 0 인 경우입니다.즉

$$ m \ ddot {\ vec {r}} =-\ nabla V $$

이제 이것을 $ \ textbf {뉴턴 방정식} $으로 인식합니다. 액션을 극단화하도록 요구하는 것은 경로가 Newton의 방정식을 따르도록 요구하는 것과 같습니다.

자세한 내용은이 PDF 강의를 읽을 수 있습니다.

도움이되기를 바랍니다.

댓글

• 구에서 이동하도록 제한된 입자가 보이면 경로에 도달합니다. 하나는 최대 또는 최소입니다. 입자가 최소 동작 경로를 따르고 있다고 생각하지만 수학 방정식 δS = 0은 우리에게 모호한 대답을 제공하지만이 답변의 특정 부분에는 최소 동작 경로가 포함되어 있습니다. Arfken과 Weber를 볼 수 있습니다.