Ich bin mit der Motivation beschäftigt, die hinter der Definition einer vier Geschwindigkeiten steckt. In Schutzs A First Course in Allgemeine Relativitätstheorie verwendet er das Konzept eines Tangentenvektors an jedem Punkt einer Weltlinie eines Teilchens, der durch $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z) gegeben ist ) $ . Und später gibt er an, dass
\ begin {Gleichung} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {Gleichung}
Die mathematische Erklärung, die ich für die Verwendung der richtigen Zeit als Parameter gefunden habe, der alle Beobachter zustimmen, aber ich kann nicht erkennen, mit welchen Problemen wir stattdessen mit dieser Definition die Beziehung
\ begin {Gleichung} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {Gleichung}
wobei $ t $ das Zeitmaß in einem Trägheitsrahmen S ist.
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- Ich glaube nicht, dass ' Sie ' diese Frage im euklidischen Raum stellen würden. Betrachten Sie eine Kurve $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Dann kann man die Tangentenvektoren als $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r schreiben } / d \ lambda $. ODER wir könnten Ihrem letzteren Vorschlag folgen und $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $ verwenden. Der Tangentenvektor zeigt immer noch den richtigen Weg, aber keine Langlebigkeit r ist gut definiert und die Definition erlaubt es Ihnen nicht mehr, sich so zu drehen, dass die Koordinaten verwechselt werden, da $ x $ herausgegriffen wird.
- Erklärt das Buch nicht irgendwo, dass die Viergeschwindigkeit definiert ist Auf diese Weise, dass es sich um einen Lorentz-Vier-Vektor handelt?
- @ jacob1729 Kannst du mir ein Beispiel geben? Ich ' bin ziemlich verwirrt mit diesem Thema
Antwort
@Milan hat die technischen Probleme Ihrer Definition bereits beantwortet.
Ich möchte auf konzeptionelle Probleme hinweisen. Wir möchten, dass die 4-Geschwindigkeit die Bewegung eines Objekts durch die Raumzeit irgendwie charakterisiert. Konzeptionell ist es sinnvoll zu fordern, dass eine solche Menge nur von den Mengen abhängt, die in direktem Zusammenhang mit dieser Bewegung stehen. Es wäre also eine konzeptionell seltsame Entscheidung, die Zeit eines zufälligen Beobachters einzubringen, die nichts mit der Bewegung des Objekts zu tun hat. Es ist sinnvoll, die 4-Geschwindigkeit als Tangentenvektor für die Weltlinie des Objekts zu definieren, da diese mathematische Einheit direkt damit verbunden ist es und damit auch mit der Bewegung von Objekten. Natürlich brauchen wir eine Parametrisierung der Weltlinie, die idealerweise für die Weltlinie / Bewegung selbst natürlich wäre und nicht von externen Größen abhängt. Da in der Raumzeit jedes Objekt seine eigenen Uhren hat, Diese Kurve wird natürlich durch die Uhr des Objekts selbst parametrisiert, dh durch die richtige Zeit.
Beachten Sie, dass Sie auf diese Weise überhaupt nicht über die Lorentz-Gruppe sprechen müssen. Als ich zum ersten Mal etwas über 4-Geschwindigkeit lernte, empfand ich die Entscheidung, die richtige Zeit in der Ableitung zu verwenden, als zufällige Entscheidung, nur einen Lorentz-4-Vektor zu erstellen. Aber es hat tatsächlich tiefere geometrische Gründe, wie ich zu erklären versuchte.
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- Können Sie ein Relativitätsbuch empfehlen, das diese Themen erklärt, wie Sie es erklärt haben?
- @Lil ' Schwerkraft nicht wirklich, aber ich kann Ihnen drei Bücher geben, die für mich persönlich auffallen. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitation erklärt die allgemeine Relativitätstheorie und die Differentialgeometrie auf sehr intuitiver Ebene – zusammen mit physischen Motivationen für den größten Teil der Mathematik, und Wald – Allgemeine Relativitätstheorie ist ein großartiges Buch für einen formaleren, geometrischeren Ansatz, um klar zu sehen, wie die Konzepte definiert sind abstrakt ohne die Notwendigkeit eines Koordinatensystems. Dann gibt es Fecko – Differentialgeometrie und Lie-Gruppen für Physiker, die ich als das beste Lehrbuch über Differentialgeometrie betrachte.
Antwort
Die erste Definition wird als Vier-Vektor transformiert: $ \ dfrac {dx ^ {“ \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
Die zweite Definition transformiert sich nicht ganz als Vier-Vektor: $ \ dfrac {dx ^ {„\ mu}} {dt“} = \ dfrac {dt} {dt „} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Dies ist sinnvoll, da Sie in der ersten Definition die Differentiale eines Vier-Vektors teilen (die sich selbst auch als Vier transformieren -vektor) durch einen Skalar (invariant unter der Lorentz-Gruppe).