Laien ' erklärt und versteht Einsteins ' Feldgleichungen

Einsteins Gleichungen können lose als die Hauptbeziehung zwischen Materie und der Geometrie der Raumzeit . Ich werde versuchen, eine qualitative Beschreibung zu geben, was jeder Begriff in der Gleichung bedeutet. Ich muss jedoch potenzielle Leser warnen, dass dies keine kurze Antwort sein wird. Außerdem werde ich es tun Versuchen Sie nicht, die Gleichungen auf “ elementare “ Weise abzuleiten, da ich sicherlich keine kenne.

Materie

Auf der rechten Seite der Gleichung Das Wichtigste ist das Auftreten des Energie-Impuls-Tensors $ T _ {\ mu \ nu} $ . Es codiert genau, wie die Materie – im weitesten Sinne verstanden, d. H. Jegliches Energie (oder Masse oder Impuls oder Druck) tragende Medium – im Universum verteilt ist. Informationen zum Interpretieren der Indexindizes des $ T $ finden Sie in meiner Erläuterung des metrischen Tensors unten.

Er wird mit einigen Grundwerten multipliziert Naturkonstanten $ \ Big ($ der Faktor $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ , aber dies ist nicht von entscheidender Bedeutung: Man kann sie als Buchhaltungswerkzeuge betrachten, die die Einheiten der Größen verfolgen, die durch die Gleichung in Beziehung gesetzt werden. Tatsächlich nehmen sich professionelle Physiker normalerweise die Freiheit Um unsere Maßeinheiten neu zu definieren, um das Aussehen unserer Ausdrücke zu vereinfachen, indem lästige Konstanten wie diese entfernt werden. Eine besondere Option wäre, “ reduzierte Planck-Einheiten „, wobei $ 8 \ pi G = 1 $ und $ c = 1 $ , so dass der Faktor $ 1 $ wird.

Differential g Eometrie

Auf der linken Seite von Einsteins Gleichungen finden wir einige verschiedene Begriffe, die zusammen die Geometrie der Raumzeit beschreiben. Die Allgemeine Relativitätstheorie ist eine Theorie, die den mathematischen Rahmen verwendet, der als (halb-) Riemannsche Geometrie bekannt ist. In diesem Zweig der Mathematik werden Räume untersucht, die in gewissem Sinne glatt sind und mit einer -Metrik ausgestattet sind. Versuchen wir zunächst zu verstehen, was diese beiden Dinge bedeuten.

Die Glätteigenschaft kann durch das intuitive (und historisch wichtige!) Beispiel einer glatten (zweidimensionalen) Oberfläche im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum veranschaulicht werden . Stellen Sie sich zum Beispiel die Oberfläche eines idealisierten Fußballs vor, d. H. Eine 2-Kugel. Wenn man nun seine Aufmerksamkeit auf einen sehr kleinen Fleck der Oberfläche lenkt (den Ball an das eigene Gesicht halten), scheint der Ball ziemlich flach zu sein. Es ist jedoch offensichtlich nicht global flach. Ohne Rücksicht auf mathematische Strenge können wir sagen, dass Räume, die diese Eigenschaft haben, lokal flach zu erscheinen, in gewissem Sinne glatt sind. Mathematisch nennt man sie Mannigfaltigkeiten. Natürlich ist eine global flache Oberfläche wie ein unendliches Blatt Papier das einfachste Beispiel für einen solchen Raum.

In der Riemannschen Geometrie (und Differentialgeometrie allgemeiner) untersucht man solche glatten Räume (Mannigfaltigkeiten) beliebiger Dimension. Eine wichtige Erkenntnis ist, dass sie untersucht werden können, ohne sich vorzustellen, dass sie in einen höherdimensionalen Raum eingebettet sind, dh ohne die Visualisierung, die wir mit dem Fußball verwenden konnten, oder einen anderen Hinweis darauf, was kann “ außerhalb von “ des Raums selbst sein oder nicht.Man sagt, man kann sie und ihre Geometrie intrinsisch untersuchen.

Die Metrik

Wenn es darum geht, die Geometrie von Mannigfaltigkeiten intrinsisch zu untersuchen, ist die Hauptmetrik Untersuchungsgegenstand ist die Metrik (Tensor). Physiker bezeichnen es normalerweise mit $ g _ {\ mu \ nu} $ . In gewissem Sinne verleiht es uns einen Begriff von Distanz auf der Mannigfaltigkeit. Stellen Sie sich eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit Metrik vor und setzen Sie ein “ -Koordinatengitter “ darauf, dh weisen Sie jedem Punkt einen Satz von zwei zu Zahlen, $ (x, y) $ . Dann kann die Metrik als $ 2 \ times 2 $ -Matrix mit $ 2 ^ 2 = 4 $ angesehen werden Einträge. Diese Einträge sind durch die Indizes $ \ mu, \ nu $ gekennzeichnet, die jeweils gleich $ x $ oder $ y $ . Die Metrik kann dann einfach als ein Array von Zahlen verstanden werden:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Wir sollten auch Angenommen, die Metrik ist so definiert, dass $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , dh sie ist in Bezug auf ihre Indizes symmetrisch. Dies impliziert, dass in unserem Beispiel $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Betrachten Sie nun zwei Punkte in der Nähe, sodass der Unterschied in den Koordinaten zwischen den beiden $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \ ;. $ Wir können dies in Kurzschreibweise als $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ bezeichnen, wobei $ \ mu $ ist entweder $ x $ oder $ y \ ;, $ und $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ und $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \ ;. $ Dann definieren wir das Quadrat des Abstands zwischen den beiden Punkten, genannt $ \ mathrm {d} s \ ;, $ as

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie dies in der Praxis funktioniert, schauen wir uns eine unendliche Zwei an. dimensionale flache Raum (dh die oben genanntes Blatt Papier) mit zwei “ Standard “ Ebenenkoordinaten $ x, y $ definiert durch ein quadratisches Gitter. Dann wissen wir alle aus dem Satz von Pythagoras, dass

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Dies zeigt, dass in diesem Fall die natürliche Metrik für den flachen zweidimensionalen Raum durch

$ gegeben ist $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Jetzt, da wir wissen, wie “ “ Abstände zwischen nahe gelegenen Punkten gemessen werden können wir eine typische Technik aus der Grundphysik verwenden und kleine Segmente integrieren, um den Abstand zwischen Punkten zu erhalten, die weiter entfernt sind:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Die ge Die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen ist unkompliziert.

Krümmungstensoren

Wie ich oben dargelegt habe, definiert der metrische Tensor die Geometrie unserer Mannigfaltigkeit (oder Raumzeit im physikalischen Fall). . Insbesondere sollten wir in der Lage sein, alle relevanten Informationen über die Krümmung des Verteilers daraus zu extrahieren. Dies erfolgt durch Erstellen des Riemann-Tensors (Krümmung) $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , ein sehr kompliziertes Objekt, das in Analogie zur Array-Visualisierung der Metrik als vierdimensionales Array betrachtet werden kann, wobei jeder Index $ N $ -Werte, wenn $ N $ -Koordinaten $ \ {vorhanden sind x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ auf dem Verteiler (dh wenn es sich um einen $ N $ -dimensionalen Raum handelt). Es wird auf komplizierte Weise nur in Bezug auf die Metrik definiert, was für den Moment nicht allzu wichtig ist. Dieser Tensor enthält so ziemlich alle Informationen über die Krümmung der Mannigfaltigkeit – und viel mehr, als wir Physiker normalerweise interessieren. Manchmal ist es jedoch nützlich, sich den Riemann-Tensor genauer anzusehen, wenn man wirklich wissen möchte, was los ist.Zum Beispiel garantiert ein überall verschwindender Riemann-Tensor ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) dass die Raumzeit flach ist. Ein berühmter Fall, in dem so etwas nützlich ist, ist in der Schwarzschild-Metrik , die ein Schwarzes Loch beschreibt, das im Schwarzschild-Radius $ r = r_s \ neq 0 $ . Bei Betrachtung des Riemann-Tensors wird deutlich, dass die Krümmung hier tatsächlich endlich ist, so dass es sich eher um eine Koordinaten-Singularität als um eine “ real “ Gravitationssingularität.

Indem bestimmte “ Teile von “ verwendet werden Beim Riemann-Tensor können wir einige der darin enthaltenen Informationen verwerfen, wenn wir uns nur mit einem einfacheren Objekt, dem Ricci-Tensor, befassen müssen:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Dies ist einer der Tensoren, die in den Einstein-Feldgleichungen vorkommen. Der zweite Term der Gleichungen enthält den Ricci -Skalar $ R $ , der durch erneutes Kontrahieren definiert wird ( ein ausgefallenes Wort für „, das alle möglichen Indexwerte einiger Indizes „) des Ricci-Tensors summiert, diesmal mit der Umkehrung Metrik $ g ^ {\ mu \ nu} $ , die aus der üblichen Metrik durch die Gleichung

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {und} 0 \ \ text {else} $$

Wie versprochen ist der Ricci-Skalar die Kontraktion des Ricci-Tensors und der Inversen Metrik:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Natürlich enthält der Ricci-Skalar wieder weniger Informationen als der Ricci-Tensor, aber es ist noch einfacher zu handhaben Multiplizieren Sie es einfach mit $ g _ {\ mu \ nu} $ führt erneut zu einem zweidimensionalen Array, genau wie $ R _ {\ mu \ nu} $ und $ T _ {\ mu \ nu} $ sind. Die spezielle Kombination von Krümmungstensoren, die in den Einstein-Feldgleichungen vorkommt, ist als Einstein-Tensor

$$ G _ {\ mu \ bekannt nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

Die kosmologische Konstante

Es gibt einen Begriff, den wir bisher ausgelassen haben: den kosmologischen Konstantenbegriff $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Wie der Name schon sagt, ist $ \ Lambda $ einfach eine Konstante, die die Metrik multipliziert. Dieser Begriff wird manchmal auf die andere Seite der Gleichung gesetzt, da $ \ Lambda $ als eine Art “ Energiegehalt “ des Universums, der geeigneter mit dem Rest der Materie gruppiert werden kann, die durch $ T _ {\ mu kodifiziert ist \ nu} $ .

Die kosmologische Konstante ist hauptsächlich von Interesse, weil sie eine mögliche Erklärung für die (in) berühmte dunkle Energie liefert, die sicher zu sein scheint wichtige kosmologische Beobachtungen. Ob die kosmologische Konstante in unserem Universum wirklich ungleich Null ist oder nicht, ist eine offene Frage, ebenso wie die Erklärung der Wertbeobachtungen, die dafür vorgeschlagen werden (das sogenannte Problem der kosmologischen Konstante aka “ die schlechteste Vorhersage der theoretischen Physik, die jemals gemacht wurde „, eines meiner persönlichen Interessen).

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PS. Wie in den Kommentaren erwähnt, können Sie, wenn Ihnen dies gefallen hat, auch gerne diese Frage und die Antworten darauf lesen, die diese andere wichtige allgemeine Relativitätsgleichung, die die Bewegung von “ Testpartikeln “ in gekrümmten Raumzeiten beschreibt.

Einsteins Gleichung bezieht den Materiegehalt (rechte Seite der Gleichung) auf die Geometrie (linke Seite) des Systems. Es kann mit „Masse erzeugt Geometrie und Geometrie wirkt wie Masse“ zusammengefasst werden.

Für weitere Einzelheiten betrachten wir, was ein Tensor ist. Ein Zwei-Index-Tensor (wie wir ihn in Einsteins Gleichung haben) kann als eine Karte betrachtet werden, die einen Vektor in einen anderen Vektor aufnimmt. Beispielsweise nimmt der Spannungsenergietensor einen Positionsvektor und gibt einen Impulsvektor zurück (Mathematisch gesehen ist $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, und ich vermische überall Vektoren und Co-Vektoren, um die Diskussion zu vereinfachen). Die Interpretation ist, dass die rechte Seite von Einsteins Gleichung den Impuls angibt, der durch eine durch den Positionsvektor definierte Oberfläche fließt.

Die linke Seite kann auch auf diese Weise interpretiert werden. Die Ricci-Krümmung $ R _ {\ mu \ nu} $ nimmt einen Positionsvektor und gibt einen Vektor zurück, der uns sagt, wie stark sich die Krümmung durch die durch $ \ vec {x} $ definierte Oberfläche ändert. Der zweite und dritte Term, die beide Faktoren der Metrik $ g _ {\ mu \ nu} $ haben, geben an, wie stark sich die Entfernungsmessungen beim Fahren entlang des Vektors ändern. Es gibt zwei Beiträge zu dieser Abstandsänderung – die Skalarkrümmung $ R $ und die $ \ Lambda $. Wenn $ R _ {\ mu \ nu} $ „Krümmung in einer Richtung“ ist, dann ist $ R $ die „Gesamtkrümmung“. $ \ Lambda $ ist eine Konstante, die uns sagt, wie viel angeborene Energie der leere Raum hat, wodurch alle Entfernungen für $ \ Lambda > 0 $ größer werden.

Also Wenn man die Gleichung von rechts nach links liest, sagt uns „Einsteins“ Gleichung, dass der Impuls (sich bewegende Masse) sowohl eine Krümmung als auch eine Änderung der Entfernungsmessung verursacht. „Wenn man von links nach rechts liest, sagt uns“ Einsteins Gleichung „, dass Krümmung und Änderung Entfernung verhält sich wie bewegte Masse. „

Kommentare

• Wow – großartige vereinfachte Erklärung.
• @levitopher Warum es ‚ heißt “ Stress “ in Stress-Energie?
• Es war das in Ordnung: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Schritt-für-Schritt-Ableitung von Einstein-Feldgleichungen (EFE) in meinem Blog: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Bedeutung von EFE (von Wheeler): „Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegt, Materieenergie sagt der Raumzeit, wie sie sich krümmt“

Einfache Wörter für EFE: „Geometrie“ = „Krümmung“ (keine Torsion in der Allgemeinen Relativitätstheorie impliziert, dass der Energieimpuls symmetrisch ist, wie dies bei der Metrik, dem Ricci-Tensor und dem Einstein-Tensor der Fall ist).

Eine ernstere Bedeutung ist die folgende:

– Seite mit der linken Hand: Einstein-Tensor besteht aus zwei (drei, wenn Sie den kosmologischen Begriff zählen) Teilen. Sie messen die Krümmung, die dadurch verursacht wird, dass eine lokale Raumzeitmetrik nicht konstant ist (die Minkowski-Metrik ist eine flache Raumzeit, die eingeschaltete Schwerkraft impliziert, dass die Metrik ein Feld ist, dh von den lokalen Raum-Zeit-Koordinaten abhängt), und sie impliziert eine lokale Krümmung gemessen durch den Krümmungsskalar und den Ricci-Tensor, der wie Einstein (und Hilbert) kombiniert wurde, liefert er einen divergenlosen Strom (dh die Erhaltung des Energieimpulses durch Gleichsetzen mit der rechten Seite).

-Rechtseitige Seite: Energieimpuls von Feldern, wodurch sich die Raumzeit verzieht / Kurve / Biegung. Sie können dieser Seite den kosmologischen Begriff hinzufügen, der dann als dunkle Energie bezeichnet wird … Es ergibt sich, dass dunkle Energie irgendwie (mit einiger Sorgfalt) die Energie der Vakuum-Raumzeit ist. Und wir denken, dass es nicht nur ungleich Null ist, sondern der wichtigste kosmische Bestandteil, der im Moment die Materie-Energie erzeugt (ungefähr 70%, WMAP + PLANCK-Satelliten scheinen dem zuzustimmen …).