O ile rozumiem, grawitacyjna energia wiązania pewnego rozkładu masy jest ujemną wartością grawitacyjnego potencjału własnego.
Próbowałem obliczyć to drugie dla stałej kuli o promieniu $ R $, masie $ M $ i jednolitej gęstości.
Zgodnie z twierdzeniem powłoki (lub prawem grawitacji Gaussa), siła pola w odległości $ r $ od środka kuli jest określona wzorem
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
gdzie $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ jest masą zawartą w sferze o promieniu $ r $.
Potencjał grawitacyjny w odległość $ r $ utworzona przez ten rozkład wynosi w ten sposób
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Energia potencjału samo-grawitacyjnego wynosi suma energii potencjału grawitacyjnego $ U \ cdot dm $ na wszystkich elementach masy $ dm $ w rozkładzie.
Przejdźmy do całkowania powłoki. Masa zawarta w powłoce o promieniu wewnętrznym $ r $, promieniu zewnętrznym $ r + dr $ wynosi po prostu
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Potencjał własny energii kula jest więc
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
, czyli dokładnie połowa poprawnej odpowiedzi.
Wiele razy sprawdzałem swoją pracę pod kątem prostych błędów, ale nie mogę zlokalizować źródła czynnika błędu $ 2. To prowadzi mnie do przekonania, że coś jest zasadniczo nie tak ze sposobem, w jaki obliczyłem energię.
Gdzie jest problem?
Komentarze
- W swoim MathJaxie ' ponownie używasz \ big dla dużych nawiasów, co nie ' t. Zamiast tego użyj dopasowania \ left i \ right. \ Big to naprawiona rozmiar, podczas gdy \ left i \ right będą automatycznie skalowane do rozmiaru wymaganego dla zawartej w nawiasach zawartości.
Odpowiedź
Problemem jest sposób, w jaki tworzysz swoje muszle – niezależnie od tego, czy pochodzą one z wnętrza, czy z zewnątrz poprzednich powłok. W przypadku energii wiązania oznacza to ilość energii, jakiej potrzeba, aby sekwencyjnie usunąć każdą kolejną powłokę do nieskończoności. Zatem potencjał należy obliczać w odniesieniu do nieskończoności, a nie źródła; twoje wyrażenie potencjału sugerowałoby, że każda powłoka zaczyna się od początku i rozszerza poprzez istniejącą masę do promienia $ r $, zamiast łączyć się wokół już istniejącego rdzenia z zewnątrz. Więc oblicz potencjał jako
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
To powinno rozwiązać czynnik dwóch.
Pomijając terminologię, myślę, że możemy się zgodzić co do pojęcia wielkości energii oznacza, więc pozytywny lub negatywny nie ma dużego wpływu. Aby poczuć całkę powyżej, wyobraźmy sobie pojedynczą cząstkę, która jest wciągana przez grawitację wciąż formującej się kuli (z radius $ r $), a nie powłokę. Ponieważ cząstka nadchodzi z nieskończoności, potencjał, jaki odczuje, będzie zwykłym Newtonowskim potencjałem grawitacyjnym, aż do momentu uderzenia w powierzchnię kuli. Teraz każdy mały kawałek masa $ dm $ dodawanej powłoki również będzie odczuwać ten sam potencjał; możemy myśleć o powłoce jako o wielu małych cząstkach napływających ze wszystkich kierunków w tym samym czasie. Za każdym razem, gdy dodajemy w ten sposób powłokę, $ r \ rightarrow r + dr $, więc $ M_ {enc} $ odpowiednio rośnie, co uwzględniamy w całce ponad $ r $. Kontrastuje to z całką z granicami $ [0, R] $ w pytaniu, ponieważ taka całka jest bardziej zbliżona do ilości energii potrzebnej do „nadmuchania” powłok masy na zewnątrz od źródła. Taki proces wymagałby, aby kula była całkowicie przepuszczalna, gdy łuski nadymały się na powierzchnię, ale gdyby tak było, cała kula natychmiast zapadłaby się ponownie z powodu jej braku sztywności.
Komentarze
- OK. Po pierwsze, właściwie nie ' nie wiem, jaka grawitacyjna energia wiązania. Wiem tylko, czym jest energia potencjalna. Energia potencjalna własna układu o masie $ m_1, … m_N $ jest sumą $ U_ {i, j} $ na wszystkich parach $ (i, j) $ z $ i < j $ gdzie $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ oznacza odległość między masami $ m_i $ i $ m_j $. Oto, co próbowałem obliczyć.
- Po drugie, twoja całka nie ' nie ma dla mnie sensu. $ M_ {enc} (r) $ należy zastąpić $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh ma rację: przyjąłeś złą definicję energii wiązania. Pełne obliczenia można znaleźć w tym artykule w Wikipedii: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: Właściwie to, co obliczyłem, to energia potencjalna grawitacji własnej, która jest po prostu ujemną wartością energii wiązania. Powyżej opisałem energię potencjalną własną, czyli po prostu energię rozkładu masy wynikającą z własnego pola grawitacyjnego.
- Dodałem wyjaśnienie w odpowiedzi, ponieważ nie ' t zmieści się tutaj w komentarzach. Zasadnicza różnica między naszymi dwiema wielkościami polega na ilości energii potrzebnej do usunięcia wszystkich kawałków masy w nieskończonej odległości od siebie w porównaniu z ilością energii potrzebnej do powstrzymania kuli przed zapadnięciem się w sobie. Pierwsza jest grawitacyjną energią wiązania (ze względu na własny potencjał), a druga jest bardziej miarą minimalnej sztywności materii.
Odpowiedź
Występują problemy z obliczaniem potencjału oraz z obliczaniem grawitacyjnej energii wiązania.
Pole grawitacyjne wewnątrz kuli jest promieniowo do wewnątrz i wielkość $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Pole grawitacyjne na zewnątrz kuli jest promieniowo do wewnątrz i ma wielkość $ GM / r ^ 2 $.
Potencjał grawitacyjny to praca wykonana na jednostkę masy, przenosząca tę masę z nieskończoności do $ r $.
Potencjał w promieniu $ r $ wewnątrz kuli to $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r „^ 2} \ dr” + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr „} {R ^ 3} \ dr” $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Jednak nie jest to potrzebne do obliczenia energii wiązania kuli, ponieważ grawitacyjna energia wiązania jest sumą energii potrzebnych do usunięcia powłok masy z powierzchni kuli do nieskończoności ( wyobraź sobie zdejmowanie warstw z powierzchni, aż dotrzesz do środka).
Potencjał na powierzchni kuli o masie $ M „$ wynosi $ -GM” / R „$, gdzie stała gęstość $ \ rho = 3M „/ 4 \ pi R” ^ 3 $. Zatem $$ V (R „) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R” ^ 2 $$, a energia wiązania jest równa do $ V (R „) $ pomnożone przez masę powłoki, $ dM = 4 \ pi R „^ 2 \ rho \ dR” $, zintegrowane po masowych powłokach od zera do końcowego promienia gwiazdy.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R „^ 2 \ 4 \ pi R” ^ 2 \ rho \ dR „$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$