Co, najprościej mówiąc, to niezmienność cechowania?

Powodem, dla którego tak trudno jest zrozumieć, co fizycy mają na myśli, kiedy mówią o „swobodzie cechowania”, jest to, że istnieją co najmniej cztery nierówne definicje, które widziałem wcześniej :

• Definicja 1: Teoria matematyczna ma swobodę cechowania, jeśli niektóre matematyczne stopnie swobody są „zbędne” w tym sensie, że dwa różne wyrażenia matematyczne opisują dokładnie ten sam system fizyczny . Wtedy nadmiarowe (lub „zależne od miernika”) stopnie swobody są „niefizyczne” w tym sensie, że żaden możliwy eksperyment nie może jednoznacznie określić ich wartości, nawet w zasadzie. Jednym znanym przykładem jest ogólna faza stanu kwantowego – jest ona całkowicie niemierzalna, a dwa wektory w przestrzeni Hilberta, które różnią się tylko ogólną fazą, opisują dokładnie ten sam stan. Innym przykładem, jak wspomniałeś, jest każdy rodzaj potencjału, który musi być zróżnicowane, aby uzyskać wielkość fizyczną – na przykład funkcję energii potencjalnej (chociaż niektóre z twoich innych przykładów, takich jak temperatura, nie są przykładami wielkości zależnych od miernika, ponieważ istnieje dobrze zdefiniowane fizyczne poczucie zerowej temperatury).

  W przypadku systemów fizycznych, które są opisywane przez struktury matematyczne ze swobodą cechowania, najlepszym sposobem matematycznego zdefiniowania określonej konfiguracji fizycznej jest klasa równoważności funkcji zależnych od miernika, które różnią się jedynie stopniami swobody miernika Na przykład w mechanice kwantowej stan fizyczny nie jest w rzeczywistości opisywany przez pojedynczy wektor w przestrzeni Hilberta, ale raczej przez klasę równoważności wektorów, które różnią się ogólną skalą mul potrójny. Lub prościej, linią wektorów w przestrzeni Hilberta. (Jeśli chcesz uzyskać wyobraźnię, przestrzeń stanów fizycznych nazywana jest „rzutową przestrzenią Hilberta”, która jest zbiorem linii w przestrzeni Hilberta, a dokładniej wersją przestrzeni Hilberta, w której wektory są identyfikowane, jeśli są proporcjonalne do siebie nawzajem.) Przypuszczam, że można również zdefiniować „fizyczne energie potencjalne” jako zbiory funkcji energii potencjalnej, które różnią się jedynie stałą addytywną, chociaż w praktyce jest to rodzaj przesady. Te klasy równoważności usuwają swobodę cechowania przez konstrukcję, i tak samo są „niezmienne mierniki”.

  Czasami (choć nie zawsze) istnieje „prosta operacja matematyczna, która usuwa wszystkie nadmiarowe stopnie swobody, zachowując jednocześnie wszystkie fizyczne. Na przykład, biorąc pod uwagę energię potencjalną, można przyjąć gradient, aby uzyskać pole siłowe, które można bezpośrednio zmierzyć.W przypadku klasycznego E & M istnieją pewne liniowe kombinacje pochodnych cząstkowych, które redukują potencjały do bezpośrednio mierzalnych $ {\ bf E} $ i $ {\ bf B} $ pól bez utraty jakichkolwiek informacji fizycznych. Jednak w przypadku wektora w kwantowej przestrzeni Hilberta nie ma prostej operacji pochodnej, która usuwałaby swobodę fazową bez utraty niczego innego.

• Definicja 2: To samo jak definicja 1, ale z dodatkowym wymaganiem, aby nadmiarowe stopnie swobody były lokalne . Oznacza to, że istnieje jakiś rodzaj operacji matematycznej, która polega na dowolnym funkcja $ \ lambda (x) $ w czasoprzestrzeni, która pozostawia fizyczne stopnie swobody (tj. wielkości mierzalne fizycznie) niezmienne. Oczywiście kanonicznym przykładem jest to, że jeśli weźmiesz dowolną funkcję gładką $ \ lambda ( x) $, a następnie dodanie $ \ części_ \ mu \ lambda (x) $ do elektromagnetycznego czteropotencjału $ A_ \ mu (x) $ pozostawia wielkości fizyczne ($ {\ bf E} $ i $ {\ bf B } $ pola) niezmienione. (W teorii pola wymóg, aby „fizyczne stopnie swobody” były niezmienione, jest sformułowany jako wymagający, aby gęstość Lagrangea $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ pozostała niezmieniona , ale możliwe są inne sformułowania). Definicja ta jest wyraźnie bardziej rygorystyczna – przykłady podane powyżej w definicji 1 nie liczą się w ramach tej definicji – i większość przypadków, gdy fizycy mówią o „swobodzie cechowania” to jest definicja, którą mają na myśli. W tym przypadku, zamiast mieć tylko kilka nadmiarowych / niefizycznych stopni swobody (takich jak ogólna stała potencjalnej energii), masz stale nieskończoną liczbę. (Aby jeszcze bardziej zagmatwać sprawę, niektórzy ludzie używają wyrażenia „globalna symetria cechowania” w znaczeniu definicji 1, aby opisać takie rzeczy, jak globalna swoboda fazowa stanu kwantowego, co z pewnością stanowiłoby sprzeczność terminów w znaczeniu definicji 2.)

  Okazuje się, że aby poradzić sobie z tym w kwantowej teorii pola, musisz zasadniczo zmienić swoje podejście do kwantyzacji (technicznie rzecz biorąc, musisz „zmierzyć i ustalić całkę po ścieżce”), aby wyeliminować wszystkie niefizyczne stopnie swobody. Kiedy ludzie mówią o „niezmiennych” wielkościach cechowania w ramach tej definicji, w praktyce zwykle mają na myśli pochodne bezpośrednio mierzalne fizycznie, takie jak tensor elektromagnetyczny $ F _ {\ mu \ nu} $, które pozostają niezmienione („niezmienne”) przy dowolnej transformacji miernika . Ale z technicznego punktu widzenia istnieją również inne wielkości niezmienne grubości, np. jednolita superpozycja kwantowa $ A_ \ mu (x) + \ częściowa_ \ mu \ lambda (x) $ na wszystkie możliwe $ \ lambda (x) $ dla jakiegoś konkretnego $ A_ \ mu (x). $

  Zobacz post na blogu Terryego Tao , aby uzyskać świetne wyjaśnienie drugiego sensu symetrii cechowania z bardziej matematycznej perspektywy.

• Definicja 3: Czasami mówi się, że Lagrangian posiada „symetrię cechowania”, jeśli istnieje jakaś operacja zależna od dowolnej funkcji ciągłej w czasoprzestrzeni, która pozostawia ją niezmienną, nawet jeśli zmieniane są stopnie swobody są mierzalne fizycznie.

• Definicja 4: W przypadku „teorii skrajni sieci” zdefiniowanej w lokalnych hamiltonianach sieci istnieje operator obsługiwany w każdym miejscu sieci, które dojeżdża z hamiltonianem. W niektórych przypadkach ten operator odpowiada ilości mierzalnej fizycznie.

Przypadki w definicjach 3 i 4 są nieco subtelne koncepcyjnie, więc nie będę do nich tutaj – mogę się do nich zwrócić w dalszej części -up pytanie, jeśli ktoś jest zainteresowany.

Aktualizacja: Napisałem dodatkowe odpowiedzi dotyczące tego, czy istnieje sens, w jakim stopnie swobody miernika mogą być fizycznie mierzalne w przypadku Hamiltona i przypadek Lagrangianu .

Komentarze

• Doskonała odpowiedź! To jedna z najlepszych eksploracji (w jednym miejscu), jakie dotychczas napotkałem !!!! : D
• Zadałem dodatkowe pytanie dotyczące subtelności między 3. a 4.
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 Zobacz aktualizację na końcu mojej odpowiedzi, aby zobaczyć linki do moich dalszych czynności.

Zrozumiałem to dopiero po wzięciu udziału w zajęciach z ogólnej teorii względności (GR), geometrii różniczkowej i kwantowej teorii pola (QFT). Istotą jest po prostu zmiana układów współrzędnych, która musi zostać odzwierciedlona w pochodnej. Wyjaśnię, o co mi chodzi.

Masz teorię niezmienną w ramach pewnej grupy symetrii. Więc w elektrodynamice kwantowej masz gęstość Lagrangianu dla fermionów (jeszcze żadnych fotonów) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ części_ \ mu – m] \ psi (x) \,. $$ To $ \ bar \ psi $ to tylko $ \ psi ^ \ dagger \ gamma ^ 0 $, ważne jest to, że jest sprzężony kompleksowo.Fakt, że jest to czterowektor w przestrzeni spinowej, nie ma tutaj znaczenia. To, co można teraz zrobić, to przekształcić $ \ psi \ do \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ za pomocą $ \ alpha \ in \ mathbb R $. Wtedy $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ i Lagrangian będą niezmienne, ponieważ pochodna nie działa na funkcję wykładniczą, jest po prostu czynnikiem fazowym. Masz globalną symetrię.

Teraz promuj symetrię na lokalną, dlaczego nie? Zamiast globalnego $ \ alpha $ jeden ma teraz $ \ alpha (x) $. Oznacza to, że wybieramy inną $ \ alpha $ w każdym punkcie czasoprzestrzeni. Problem polega na tym, że kiedy teraz dokonujemy transformacji, podnosimy $ \ części_ \ mu \ alpha (x) $ z regułami różniczkowania łańcucha i iloczynu. Na początku wydaje się to techniczną komplikacją.

Jest na to bardziej wymowny sposób:
Bierzesz pochodną pola $ \ psi (x) $. Oznacza to wzięcie ilorazu różnicowego, takiego jak $$ \ częściowe_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) – \ psi (x) } {\ epsilon} \,. $$ To działa dobrze w przypadku globalnej transformacji. Ale w przypadku transformacji lokalnej zasadniczo odejmujesz dwie wartości, które są mierzone inaczej. W geometrii różniczkowej masz, że przestrzenie styczne w różnych punktach kolektora są różne i dlatego nie można po prostu porównać wektorów według ich składników. Potrzebujemy połączenia ze współczynnikami połączenia , aby zapewnić transport równoległy . Tutaj jest podobnie. Awansowaliśmy teraz $ \ phi $ z życia na $ \ mathbb R ^ 4 $ do życia w pakiecie $ \ mathbb R ^ 4 \ times S ^ 1 $, ponieważ mamy grupę mierników U (1). Dlatego potrzebujemy jakiegoś połączenia, aby przetransportować przekształcone $ \ phi $ z $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ do $ x $. W tym miejscu należy wprowadzić połączenie, które jest $$ \ częściowe_ \ mu \ do \ mathrm D_ \ mu: = \ części_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

Jeśli podłączasz to do gęstości Lagrangea, aby uzyskać $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu – m] \ psi (x) $$, a następnie wybierz $ A_ \ mu = \ częściowa_ \ mu \ alpha $ zobaczysz, że gęstość Lagrangianu pozostaje niezmienna nawet przy lokalnych przekształceniach, ponieważ współczynnik połączenia po prostu odejmie niepożądany składnik z reguły iloczynu / łańcucha.

W ogólnej teorii względności masz symetrię pod dowolnym dyfeomorfizmem, cena jest taka, że musisz zmienić pochodną na połączenie $$ \ częściowe \ na \ nabla: = \ częściowe + \ Gamma + \ cdots \,. $$

Ponieważ wspomniałeś o pochodzeniu z matematyki, może się okazać, że fajnie będzie przyjąć odpowiedź w postaci klas równoważności.

Teoria cechowania jest teorią fizyczną, w której obserwowalne wielkości, takie jak rzeczy, które można zmierzyć za pomocą eksperymentu, mając doskonały sprzęt pomiarowy, są klasami równoważności w przestrzeni wektorowej.

Elektromagnetyzm to najczęstszy przykład. Współczesne teorie fizyczne są zawsze zapisywane jako wiązki włókien, w których podstawową rozmaitością jest czasoprzestrzeń, a włókna są pewną przestrzenią styczną związaną z każdym punktem (nazywanym zdarzeniem) w czasoprzestrzeni. E & M w wolnej przestrzeni (bez żadnych opłat) jest opisane przez skojarzenie 4-komponentowego obiektu o nazwie $ A _ {\ mu} $ z każdym punktem czasoprzestrzeni $ x $ i wymagającym $ A _ {\ mu} (x) $, aby spełnić równania Maxwella.

Jednak obserwowalnymi, równie mierzalnymi wielkościami w przyrodzie są pola elektryczne i magnetyczne, $ \ vec {E} (x) $ i $ \ vec {B} (x) $. Są one wyprowadzane z $ A _ {\ mu} (x) $ przy użyciu definicji podanej w wiki (spójrz na elementy macierzy $ F _ {\ mu \ nu} (x) $).

Okazuje się, że transformacja $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ częściowe _ {\ mu} f (x) $ dla dowolnej podwójnie różniczkowalnej funkcji $ f (x) $ daje te same wartości obserwowalnych pól $ \ vec {E} (x) $ i $ \ vec {B } (x) $. Więc istnieje relacja równoważności

$ A _ {\ mu} (x) \ ok A _ {\ mu} (x) + \ częściowe _ {\ mu} f (x) $ .

Generalnie teorie cechowania to teorie, w których obserwowalne wielkości są funkcjami na klasach równoważności pewnych wektorów w przestrzeni wektorowej. w tym przypadku nasze wektory to $ A _ {\ mu} (x) $ (są to wektory w przestrzeni funkcji podwójnie różniczkowalnych w czasoprzestrzeni), a nasza relacja równoważności została podana powyżej.

Co do twojego końcowego Pytanie o to, czy takie rzeczy, jak całkowita energia układu określana tylko do stałego współczynnika w dowolnym układzie odniesienia, czynią dynamikę Newtona teorią cechowania. Odpowiedź brzmi: nie, nie do końca. Zasadniczo, jeśli nie mówisz o teorii pola, fizyk nie nazwie tego teorią cechowania.

Komentarze

• Dobra odpowiedź, ale być może bardziej precyzyjne byłoby stwierdzenie, że obserowalne w teorii cechowania są funkcjami na zbiorze klas równoważności [rzeczy takie jak połączenia i sekcje wiązek] równoważność wskaźnika mod.Frustracja teorii cechowania polega na tym, że nie możemy ' wiedzieć o wielu przypadkach, w których możemy opisać te funkcje z wyjątkiem podania funkcji na połączeniach i sekcjach.
• Masz rację, mój język jest trochę niechlujny. Powinien brzmieć mniej więcej tak: ” obserwable to funkcje na klasach równoważności pewnej przestrzeni wektorowej. ”

Niezmienność miernika to po prostu nadmiarowość w opisie systemu fizycznego. To znaczy. możemy wybierać spośród nieskończonej liczby potencjałów wektorowych w E & M.

Na przykład nieskończona liczba potencjałów wektorowych może opisać elektromagnetyzm za pomocą poniższej transformacji

$$ A (x) \ do A_ \ mu (x) + \ części_ \ mu \ alpha (x) $$

Wybranie określonego miernika (zamocowanie miernika) może ułatwić rozwiązanie problem fizyczny o wiele łatwiejszy niż gdybyś nie naprawił miernika.

Zwykle wybiera się miernik Coulomba: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Powinien Należy podkreślić, że niezmienność cechowania NIE jest symetrią natury i nie można zmierzyć niczego, co jest z nią związane.

Niezmienność cechowania jest najbardziej użyteczna w kwantowej teorii pola i ma kluczowe znaczenie dla udowodnienia renormalizowalności. Dodatkowo elementy macierzy S w QFT wymagają lokalnego Lagrangianu, a tym samym niezmienności cechowania.

Jako przykład, dlaczego wprowadzilibyśmy potencjalny wektor $ A ^ \ mu $, rozważmy efekt Aharonova-Bohma, który powstaje w wyniku globalne właściwości topologiczne potencjału wektora. Jest jeszcze inny powód, dla którego niezmienniczość cechowania ułatwia życie, zmniejszając stopnie swobody fotonu w tak zwanej kowariantnej lub $ R_ \ xi $ skrajni, przyczynowości itp. Zasadniczo użyteczność niezmienniczości cechowania nie staje się całkowicie oczywista, dopóki nie zacznie się prób pracować nad kwantową teorią pola. : D

Komentarze

• @ user122066 Jeśli potrzebujesz odszukać symbol w przyszłości, zobacz to pytanie tex.SE . Ale tylko niektóre polecenia (La) TeX są obsługiwane w MathJax. Listę znajdziesz w dokumentacji MathJax .
• Aby uzyskać wszystkie odniesienia do MathJax, sprawdź: Podstawowy samouczek i skrócona instrukcja MathJax
• @ user122066: napisałeś: ” Teraz jest to absolutnie kluczowa właściwość współczesnej fizyki i możemy się bez niego zgubić! ” Myślę, że przesadzasz tutaj i to właśnie sprawia, że takie wyrażenie ” przerażające „. Nie ma dowodu na to, że musimy pracować tylko z ” teoriami mierników „. Inne podejścia są po prostu niezbadane.
• @VladimirKalitvianski w porządku. Istnieją relacje rekurencyjne związane z macierzą S, które pozwalają uniknąć mierników, ale ' bardzo trudno jest sobie wyobrazić odkrywanie czegoś, co czyni obliczenia łatwiejszymi niż niezmienność mierników. Masz jednak całkowitą rację. Usunę tę część
• (przydatne również do wyszukiwania symboli TeX-a – Detexify .)

Te obliczenia bardzo często zależą tylko od różnicy między dwiema wartościami, a nie od samych konkretnych wartości . Dlatego możesz wybrać zero według własnych upodobań. Czy jest to przykład niezmienniczości cechowania w tym samym sensie, co powyższe przykłady stopniowania?

Tak, rzeczywiście, w najbardziej ogólnej definicji niezmienności cechowania, to jest to, co fizycy nazywają globalnym niezmiennikiem mierników . Więcej na ten temat poniżej.

Gdybym miał napisać jedno zdanie odpowiedź na twój tytuł, wyglądałoby to tak:

Niezmienniczość miernika to dobrze zdefiniowane prawa fizyczne w ramach mapy kwotowań, która zagęszcza konfigurację / przestrzeń parametrów / współrzędne systemu fizycznego w zestaw klas równoważności fizycznie równoważnych konfiguracji.

Jest to w tym samym sensie, w jakim na przykład iloczyn kosmiczny jest dobrze zdefiniowany pod mapą, która ilorazuje normalną podgrupę grupy. Fizyka konfiguracji jest niezależna od wyboru elementu klasy równoważności .

Mówiąc najprościej, niezmienność cechowania jest po prostu stwierdzeniem, że w matematycznym opisie systemu fizycznego istnieje nadmiarowość . Inaczej mówiąc, system ma symetrię , niezmienność w odniesieniu do grupy przekształceń.

Globalna symetria mierników to taka, w której przestrzeń konfiguracji jest prostym iloczynem kartezjańskim ( tj. trywialną wiązką włókien) zbioru fizycznie odrębnych klas równoważności i nadmiarowego parametru, tak jak w przypadku przykładu różnicy między dwiema wartościami. Jeśli opis fizyczny jest opisem Lagrangea, to w tym miejscu na pierwszy plan wysuwa się twierdzenie Noether i identyfikuje zachowane wielkości, po jednej dla każdego takiego nadmiarowego parametru.Grupa cechowania, tj. grupa symetrii, wpływa jednakowo na wszystkie klasy równoważności (włókna). Odejmowanie stałego potencjału od potencjału elektrostatycznego jest taką symetrią i ogromnym postępem dla Corvid Civilization, ponieważ pozwala wronom siedzieć na liniach wysokiego napięcia i szczęśliwie strzelać razem z wiatrem, omawiając swoje najnowsze przemyślenia na temat teorii wskaźników i deklarując, że ” Nigdy więcej!” czy powinniśmy się obawiać, że globalne dodanie 22 kV do potencjału elektrostatycznego może zmienić fizykę układu, do którego należymy.

Jednak zazwyczaj, gdy fizycy mówią o teorii cechowania, mają na myśli taką, w której grupa symetrii może działać w bardziej ogólny sposób, z innym członkiem grupy działającym w każdym punkcie przestrzeni konfiguracyjnej. Odpowiednia wiązka włókien nie jest już trywialna. Chociaż chciałeś prostszego przykładu niż elektrodynamika, nie sądzę, aby istniał jeden. Faza dodana do funkcji falowej elektronu może być dowolną gładką funkcją współrzędnych, a dodatkowe wyrazy wynikające z reguły Leibniza zastosowanej do pochodnych w równanie ruchu funkcji falowej (Dirac, Schrödinger) jest dokładnie wchłonięte w zamkniętą część jednej postaci potencjału EM. Nawiasem mówiąc, na marginesie, zawsze lubię wizualizować potencjał EM w przestrzeni Fouriera, co możemy zrobić z rozsądnymi ograniczeniami ( np. postulat, że będziemy myśleć tylko o rozkładach temperowanych, na przykład) , ponieważ przestrzenna część redundantnej części czteropotencjału jest wówczas jego składową wzdłuż wektora falowego ( tj. uważana za trójwektor), a tylko składowa normalna do falowego ma znaczenie fizyczne: jest to jedyna część, która przetrwa $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $.

Są dwie rzeczy, które moim zdaniem powinieneś wziąć z przykładu EM:

1. Mimo że praktycznie prowadzi to do większej złożoności, koncepcyjnie jest to tylko mały skok od prostego przykładu symetrii miernika globalnego; po prostu pozwalamy symetriom działać lokalnie zamiast oddziaływać na wszystkie punkty przestrzeni konfiguracji równie;

2. Kierując się eksperymentalnie rzeczywistym elektromagnetyzmem, postulujemy, że ta niezmienność cechowania m Może mieć znaczenie bardziej ogólnie, dlatego patrzymy na jego obecność w innych zjawiskach fizycznych. To nic innego jak czyn motywowany przeczuciem. Eksperymentalnie okazuje się, że jest to owocna rzecz. W fizyce nie ma głębszego wglądu niż wyniki eksperymentów.

Na koniec powinienem wspomnieć, że pojęcia miernik / wiązka światłowodowa są również przydatne, gdy sztucznie deklarujemy klasy równoważności konfiguracji opartych na potrzebach naszego problemu , nawet jeśli istnieje fizyczna różnica między elementami klasy równoważności. Jednym z najpiękniejszych przykładów tego sposobu myślenia jest Montgomery „s ” Teoria miernika upadającego kota „. Badamy klasy równoważności konfiguracji kota, które są równoważnymi modulo właściwa izometria euklidesowa do sformułowania przestrzeni kształtu kota , która w standardowym leczeniu, w którym kot jest postrzegany jako dwuczęściowy robot z przegubem kulowym bez skrętu, okazuje się prawdziwa płaszczyzna rzutowa $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Cała przestrzeń konfiguracyjna jest wtedy wiązką włókien z przestrzenią kształtu $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ jako podstawą i grupą $ SO (3) $ definiującą orientacje jako włókna . Kot może się odwracać, zachowując moment pędu za pomocą cyklicznych deformacji własnego kształtu z powodu krzywizny połączenia, która wynika z pojęcia transportu równoległego, które jest implikowane przez zachowanie momentu pędu.

Oto najbardziej elementarny przykład symetrii miernika, jaki przychodzi mi do głowy.

Załóżmy, że chcesz t omówić kilka mrówek spacerujących po zespole Möbiusa. Aby opisać pozycje mrówek, wygodnie jest wyobrazić sobie przecięcie paska wzdłuż jego szerokości, tak aby stał się prostokątem. Następnie możesz mi powiedzieć, gdzie jest mrówka, mówiąc mi trzy rzeczy:

• Jej szerokość geograficzna – jej pozycja wzdłuż szerokości prostokąta.
• Jej długość geograficzna – jej pozycja wzdłuż prostokąta.
• Jej orientacja – czy przylega do górnej czy dolnej powierzchni prostokąta.

Znaczenie długości geograficznej zależy od lokalizacji to wyimaginowane cięcie. Jeśli przesuniesz cięcie, zmienią się długości wszystkich mrówek. Nie może być żadnego fizycznego powodu, aby preferować jedno cięcie nad drugim, ponieważ możesz przesuwać pasek wzdłuż jego długości bez zmiany jego kształtu lub wpływania na zachowanie mrówek. Z drugiej strony słów, nie może być żadnego fizycznie znaczącego pojęcia długości bezwzględnej, ponieważ pasmo ma symetrię translacji .

Podobnie, znaczenie orientacji zależy od tego, jak oznaczysz powierzchnie prostokąta jako góra i dół.Nie może być żadnego fizycznego powodu, aby preferować jedno etykietowanie od drugiego, ponieważ można zamienić dwie powierzchnie paska bez zmiany jego kształtu lub wpływania na zachowanie mrówek. Ta wymiana jest przykładem symetrii cechowania . Ma kilka uderzających cech, które nie są wspólne dla zwykłych symetrii. Przyjrzyjmy się jednej z nich.

W przypadku każdej symetrii sytuacji istnieje pewien aspekt sytuacji można to opisać na wiele sposobów, bez fizycznych podstaw do wyboru między nimi. Czasami jednak warto dokonać wyboru i trzymać się go, nawet jeśli wybór jest fizycznie bez znaczenia. Na przykład w dyskusjach o ludziach pływających po powierzchni Ziemi prawie każdy, kogo znam, definiuje długość geograficzną na podstawie cięcia biegnącego przez Greenwich w Londynie, głównie dlatego, że niektórzy ludzie który tam mieszkał przejął kontrolę nad światem i wydrukował wiele map morskich.

Gdybyśmy poszli obserwować mrówki na zwykłym cylindrycznym pasku, moglibyśmy się zdecydować na pojęcie orientacji równie łatwo. Pomalowaliśmy jedną stronę zespołu na turkusowo na „górę”, a drugą na niebiesko na „dół”, i to by było na tyle. W zespole Möbiusa sprawa jest bardziej skomplikowana, ponieważ zespół Möbiusa ma tylko jedną stronę! próbujesz pomalować jedną powierzchnię na turkus, a drugą na niebiesko, zaczynając od małego obszaru pasma i przesuwając się na zewnątrz, obszary turkusowe i niebieskie nieuchronnie zderzają się (w naszej wcześniejszej dyskusji kolizja była ukryta wzdłuż cięcia długości geograficznej).

W sytuacji ze zwykłą symetrią, taką jak symetria tłumaczenia, nie możesz wybierać między możliwymi opisami w sposób fizycznie znaczący. W sytuacji z symetrią cechowania możesz nawet nie być możliwość wyboru między możliwymi opisami w sposób spójny globalnie! Zawsze możesz jednak wybrać spójne opisy w małych obszarach przestrzeni. Dlatego symetrie cechowania są często nazywane symetriami lokalnymi .

Po podjęciu próby długiego, elementarnego opisu tego, czym jest symetria cechowania, chciałbym również zaoferować krótki, wyrafinowany. W naszych najprostszych modelach fizycznych zdarzenia zachodzą na gładkiej rozmaitości zwanej przestrzenią lub czasoprzestrzenią . Zwykła symetria to dyfeomorfizm czasoprzestrzeni, który zachowuje fizyczną możliwość zdarzeń. W bardziej wyrafinowanych modelach zdarzenia mają miejsce na wiązce włókien w czasoprzestrzeni. Symetria mierników jest automorfizmem wiązki włókien, która zachowuje fizyczną możliwość zdarzeń.

W naszym podstawowym przykładzie zespół Möbiusa odgrywa rolę przestrzeni, a mrówki chodzą po pasmach wiązka orientacji. Wiązka orientacji ma automorfizm, który zamienia dwie powierzchnie pasma.

W klasycznym elektromagnetyzmie, czasoprzestrzeń Minkowskiego lub inna rozmaitość Lorentza pełni rolę czasoprzestrzeni, a pole elektromagnetyczne jest reprezentowane przez połączenie na wiązce koła w czasoprzestrzeni. Na obrazie Kaluzy-Kleina naładowane cząstki poruszają się w wiązce koła, lecąc w liniach prostych, których „cienie” w czasoprzestrzeni to spiralne ścieżki, które widzimy. Wiązka koła zawiera rodzinę automorfizmów, które obracają włókna koła, które fantazyjni ludzie nazywają symetrią $ \ operatorname {U} (1) $ gauge. To zdjęcie uogólnia wszystkie klasyczne teorie Yanga-Millsa.

W obraz Palatiniego ogólnej teorii względności, gładka rozmaitość wymiarowa 4 $ odgrywa rolę czasoprzestrzeni, a pole grawitacyjne jest reprezentowane przez $ \ operatorname {SO} (3,1) Połączenie na wiązce ramy kolektora. Podejrzewam, że symetrie cechowania zlinearyzowanej grawitacji, o których wspomniałeś, są automorfizmami wiązki klatek.

W ogólnym obrazie względności Einsteina symetrie są dyfeomorfizmami czasoprzestrzeni. Klasyfikuję je raczej jako zwykłe symetrie, a raczej niż symetrie cechowania. Jak wspomniano w tparker , nie każdy jednak używa terminu „symetria cechowania” w ten sam sposób.

Komentarze

• Cudownie! Pomysł zespołu M ö bius jest po prostu piękny i naprawdę oddaje istotę znacznie bardziej skomplikowanych pomysłów. Co Podoba mi się również to, jak przepływ pomysłów pokazuje, jak proste bezproblemowo uogólnia się.
• Hej, co ' jest z trzema głosami? Nie wiem co ' jest źle z lurkersami na tej stronie. Jak dotąd jest to najlepsza odpowiedź na to pytanie, biorąc pod uwagę wymagania OP '. W każdym razie, jeden z głosów należy do mnie.
• @WetS avannaAnimalakaRodVance, nie ' nie martwiłbym się o liczbę głosów. Jeśli spotkasz kogoś, kto może skorzystać na tej odpowiedzi, możesz po prostu połączyć go bezpośrednio z nią.Dla porównania, działa tak samo dobrze na dole listy odpowiedzi posortowanych według głosów, jak na górze.

Istnieje bardzo interesująca fizyczna interpretacja niezmiennika cechowania w przypadku symetrii $ U (1) $. Symetria cechowania to jedyny sposób na uzyskanie niezmiennej interakcji Lorentza materii (w szerokim sensie – pole dowolnego spinu) i fotonów (będących bezmasowymi cząstkami o helikalności 1), która maleje jako $ \ frac {1} {r ^ { 2}} $ na dużych odległościach (to stwierdzenie to nic innego jak prawo Coulomba). Krótko mówiąc, 4-potencjał $ A _ {\ mu} $, który zapewnia odwrotne prawo kwadratowe oddziaływań EM, nie jest kowariantem Lorentza, a przejaw niezmienności interakcji Lorentza prowadzi do obciążenia lokalnej ochrony.

Naprawdę, można wykazać z bardzo ogólnych rozważań, opartych na symetrii naszej czasoprzestrzeni, że fotony są prezentowane przez antysymetryczny czterotensor $ F _ {\ mu \ nu} $, zwany Tensor siły EM . Jest kowariantem Lorentza formalnie (przy użyciu naiwnych manipulacji z indeksami tensorowymi) i konstrukcyjnie (jako pole reprezentujące cząstki o helikalności 1), tj. poniżej Transformacja Lorentza podana przez macierz $ \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} $ jest przekształcana jako $$ F _ {\ mu \ nu} \ do \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ alpha} \ Lambda _ {\ nu} ^ {\ \ beta} F _ {\ alpha \ beta} $$ Następnie załóżmy, że mamy pola materii $ \ psi $ i omówimy oddziaływanie materii z fotonami. Najbardziej oczywistym sposobem uzyskania takiej interakcji jest uzyskanie jej przez konstruowanie wszystkich możliwych zwojów $ F _ {\ mu \ nu} $ z polami materii i obiektami kowariantnymi Lorenta (macierze Diraca, połączenie Levi-Civita itp.). Załóżmy również, że wiemy z eksperymentu, że interakcja spada jako $ \ frac {1} {r ^ {2}} $ przy dużej odległości. Niestety jest to niemożliwe, jeśli użyjemy $ F _ {\ mu \ nu} $. Formalnym powodem jest to, że propagator tego pola, które pokazuje prawo interakcji, spada szybciej niż $ \ frac {1} {r ^ {2}} $. Dzieje się tak, ponieważ dwa indeksy i antysymetria $ F _ {\ mu \ nu} $.

Możemy zrobić wskazówkę i wprowadzić obiekt $ A _ {\ mu} $ z jednym indeksem, o nazwie 4-potencjał : $$ F _ {\ mu \ nu} = \ częściowe _ {\ mu} A _ {\ nu} – \ częściowe _ {\ nu} A _ {\ mu} $$ Interakcje są teraz konstruowane przez zwoje $ A_ { \ mu} $ z polami materii i innymi obiektami kowariantnymi.

Oczywiście wymagamy, aby $ A _ {\ mu} $ reprezentowało cząstki helikoptera o masie 1, a także $ F _ {\ mu \ nu} $. Niestety, ten wymóg prowadzi do stwierdzenia, że 4-potencjał nie jest kowariantem „t Lorentza (chociaż formalnie jest, oczywiście). Dokładniej, w Lorentz pole transformacji $ A _ {\ mu} $, które przyjmuje się, że reprezentuje bezmasowe cząstki helikalności 1, jest zmieniane jako $$ \ tag 1 A _ {\ mu} \ na \ Lambda _ {\ mu} ^ {\ \ nu} A _ {\ nu} + \ części _ {\ mu} \ varphi $$ Widzimy, że nie jest to kowariantna Lorentza. Wolny lagrangian dla $ A _ {\ mu} $, czyli po prostu $$ L = – \ frac { 1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu}, $$ jest niezmiennikiem Lorentza.

Ale jest jeden sposób na zachowanie niezmienności interakcji Lorentza. W ten sposób skonstruuj je tak, aby były niezmiennicze podczas transformacji $ A _ {\ mu} \ do A _ {\ mu} + \ Partial _ {\ mu} \ varphi $. Dokładnie, amplituda interakcji $ M _ {\ mu_ {1} … \ mu_ {n}} (p_ {i}, \ epsilon_ {j} (k_ {j})) $, gdzie $ \ epsilon $ to wektory helikalności fotonowej (polaryzacji), $ p_ {i} $ to wszystkie momenty interakcji cząstki i $ k_ {j} $ będący pędem fotonów), musi b e niezmiennik w transformacji $$ \ tag 2 \ epsilon _ {\ mu} (p) \ do \ epsilon _ {\ mu} (p) + \ alpha p _ {\ mu} $$ W języku formalnym, co można pokazać traktowanie procesów emisją miękkich fotonów (fotonów o prawie zerowym pędzie) oznacza to, że musi istnieć prawo zachowania sprzężeń materii $ g_ {i} $: $$ g_ {1} + g_ {2} + … = \ text {const} $$ To nic innego jak prawo zachowania ładunku. Razem z $ (2) $ jest to nic innego jak symetria cechowania $ U (1) $.

Widzimy więc, że niezmienność Lorentza oddziaływań fotonów z materią według prawa odwrotnych kwadratów prowadzi do niezmienności cechowania. Analogicznie można argumentować o zasadzie równoważności dla przypadku interakcji grawitonów ze wszystkimi polami.

Teorie mierników opisują łączność przestrzeń z małymi, symetrycznymi dodatkowymi wymiarami

Zacznij od nieskończonego walca (iloczyn linii prostej i małego koła). Cylinder można skręcić. Aby uniknąć odwoływania się do pojęć, które próbuję wyjaśnić, powiem tylko, że cylinder jest wykonany z drucianej siatki: równomiernie rozmieszczone okręgi przylutowane do drutów biegnących wzdłuż niego. Długie druty mogą obracać się jako całość, wprowadzając kątowe skręcenie między każdą parą sąsiednich okręgów. Jest oczywiste, że każda taka konfiguracja może być nieustannie deformowana w dowolną inną: wszystkie takie cylindry są równoważne z punktu widzenia pełzającej po nich przysłowiowej mrówki.

Zamień linię na zamkniętą pętlę, tak aby iloczyn był torusem (i pomyśl o torusie jak o pierścieniu z siatki, nawet jeśli zmiana płaszczyzny małych kółek w ten sposób technicznie łamie analogię). Jakakolwiek część pączka, krótsza niż całość, może zostać zdeformowana w tę samą część każdego innego pączka, ale czasami pączki jako całość nie mogą być, ponieważ skręcenie siatki wokół pączka nie może być zmienione. Klasy równoważnych pączków są całkowicie scharakteryzowane przez ten skręt netto, który jest z natury nielokalny.

Zastąp pętlę (a nie małe kółko) rozmaitością dwóch lub więcej wymiarów. Prawdą jest, choć nie jest to oczywiste, że fizyczna część połączenia jest całkowicie wynikiem zintegrowanego skrętu wokół wszystkich zamkniętych pętli ( pętle Wilsona ).

$ A $ i $ F $ określają ilościowo łączność

W przypadku dyskretnym połączenie można najprościej opisać, podając skręt między sąsiednimi okręgami. W granicach kontinuum staje się to „gradient skrętu” na każdym okręgu. To jest $ A_ \ mu $, tak zwany potencjał wektora.

Każde ciągłe odkształcenie można opisać za pomocą pola skalarnego $ \ phi $ reprezentującego wielkość każdego koła jest skręcona (w stosunku do miejsca, w którym była wcześniej). Zmienia to $ A_ \ mu $ o gradient $ \ phi $, ale nie zmienia żadnej wielkości fizycznej (całka pętli).

Opis w warunki pętli Wilsona, $ \ oint_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $, jest bardziej eleganckie, ponieważ zawiera tylko fizycznie znaczące ilości, ale jest nielokalne i wysoce nadmiarowe. Jeśli przestrzeń jest po prostu połączona, możesz uniknąć r edundancja i nielokalność poprzez określenie skrętu tylko wokół pętli różnicowych, ponieważ można z nich zbudować większe pętle. Tak zwany tensor pola, $ \ części_ \ nu A_ \ mu – \ części_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $, daje dokładnie to.

(Jeśli odstęp jest nie jest to po prostu połączone, nadal można uciec z pętlami różnicowymi i jednym skrętem netto dla każdego elementu zestawu generującego grupy podstawowej . Torus był oczywiście prosty przykład).

Siła pochodzi z efektu Aharonova – Bohma

Rozważmy pole skalarne zdefiniowane na całej przestrzeni (w przeciwieństwie do wcześniejszych pól, to przyjmuje wartość w każdym punkcie każdego koła). Pole jest wszędzie zero, z wyjątkiem dwóch wąskich wiązek, które odbiegają od punktu i ponownie zbiegają się gdzie indziej. (Może są odbijane przez lustra; może przestrzeń jest dodatnio zakrzywiona; to nie ma znaczenia.)

O ile pole nie jest stałe w poprzek okręgów, interferencja wiązek będzie zależeć od różnicy w zakręcie wzdłuż dwóch ścieżek. Ta różnica to tylko całka wokół zamkniętej pętli utworzonej przez ścieżki.

To jest (uogólniony) efekt Aharonova – Bohma. Jeśli ograniczysz to do ścieżek różniących się różnie i użyjesz $ F _ {\ mu \ nu} $ do obliczenia wpływu na zakłócenia, otrzymasz prawo siły elektromagnetycznej.

Możesz rozłożyć pole na składowe Fouriera. Widmo Fouriera jest dyskretne w małym wymiarze. Skręcenie nie wpływa na harmoniczną zerową (stałą). Na drugą harmoniczną wpływ ma dwukrotnie większy wpływ niż na pierwszą. To są ładunki elektryczne.

W rzeczywistości, z nieznanych powodów, wydaje się, że istnieją tylko pewne harmoniczne międzywymiarowe. Jeśli istnieje tylko pierwsza harmoniczna, istnieje równoważny opis pola jako pojedynczej zespolonej amplitudy + faza w każdym punkcie dużych wymiarów. Faza jest odniesiona do dowolnego lokalnego punktu zerowego, który jest również używany przez potencjał wektora. Kiedy porównujesz fazę z fazą w pobliskim punkcie i występuje między nimi skręt potencjału wektorowego o wartości $ \ mathrm d \ theta $, musisz dopasować wartość pola o $ i \, \ mathrm d \ theta $ . To jest początek pochodnej kowariantnej miernika .

Okręgi uogólniają się na inne kształty

Jeśli zastąpisz okręgi z dwiema sferami, otrzymujesz $ \ mathrm {SU} (2) $ teorię miernika. Jest gorsza liczbowo: grupa symetrii jest nieprzemienna, więc musisz wprowadzić maszynerię algebry Liego. Jednak geometrycznie nic wiele się zmieniło. Łączność jest nadal opisywana za pomocą skrętu netto wokół pętli.

Jedną niefortunną różnicą jest to, że opis ładunku jako harmoniczne pozawymiarowe cs już nie działa. Harmoniczne sferyczne dają tylko reprezentacje spinu całkowitego, a wszystkie znane cząstki znajdują się w reprezentacjach spinu-0 lub spinu-modelu standardowego $ \ mathrm {SU} (2) $, więc cząstki, na które ma wpływ $ \ mathrm {SU} (2) $ siły w ogóle nie można opisać w ten sposób. Może istnieć sposób na obejście tego problemu z bardziej egzotycznym typem pola.

Nie mam nic ciekawego do powiedzenia na temat $ \ mathrm {SU} (3) $ części grupy mierników Model Standardowy z wyjątkiem wskazania, że cała grupa mierników SM może być osadzona w $ \ mathrm {Spin} (10) $ i myślę, że łatwiej jest wyobrazić sobie 9-sferę niż kształt z $ \ mathrm {SU} (3) $ symetria.

Ogólna teoria względności jest podobna

W ogólnej teorii względności tensor krzywizny Riemanna jest analogiczny do tensora pola; reprezentuje kątowy obrót wektora transportowanego wokół pętli różniczkowej. Efekt Aharonova-Bohma jest analogiczny do deficytu kątowego wokół kosmicznej struny . Teoria Kaluzy-Kleina początkowo odnosiło się do specyficznego sposobu uzyskania elektromagnetyzmu z ogólnej teorii względności w pięciu wymiarach; obecnie często odnosi się do szerokiego pomysłu, że siły cechowania Modelu Standardowego i ogólna teoria względności mogą być różnymi aspektami tej samej rzeczy.

W elektrodynamice klasycznej (CED) niezmienniczość cechowania oznacza niezależność pól elektrycznych i magnetycznych od określonego „wyboru” potencjałów $ \ varphi $ i $ \ bf {A} $. Równanie potencjałów zależy oczywiście od konkretnego wyboru „miernika” i dają one różne rozwiązania dla różnych mierników.

W QM i QED niezmienniczość cechowania oznacza również „niezmienniczość” forma równań (rozwiązania są nadal różne, ale fizycznie równoważne).

Ale należy zachować pamiętaj, że każda pomocna zmiana zmiennej jest również akceptowalna, jeśli odpowiadające jej wyniki pozostają fizycznie takie same. W tym celu postać równań nie powinna być w ogóle „niezmienna”.