Co oznacza wykładniczy człon w transformacie Fouriera?

Jest to złożony wykład wykładniczy, który obraca się w nieskończoność po okręgu jednostki złożonej płaszczyzny:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Możesz myśleć o transformacji Fouriera jako obliczaniu korelacja między $ f (t) $ a złożonym wykładnikiem każdej częstotliwości, porównując ich podobieństwo. Złożone wykładniki takie jak te mają dobrą jakość, że mogą być czasem przesunięte przez pomnożenie ich przez złożoną liczbę jednostek magni tude (stała złożona wykładnicza). Jeśli wynik transformacji Fouriera przy określonej częstotliwości jest nierzeczywistą liczbą zespoloną, to zespoloną wykładniczą tej częstotliwości można pomnożyć przez tę liczbę zespoloną, aby przesunąć ją w czasie, tak aby korelacja do $ f (t) $ jest zmaksymalizowane.

Jeśli nie lubisz myśleć liczby urojone, liczby zespolone i funkcje, możesz alternatywnie myśleć o zespolonym wykładniku w FT jako skrócie do łączenia ze sobą zarówno fali sinusoidalnej, jak i fali cosinusowej (o tej samej częstotliwości) w jedną funkcję, która wymaga mniej kredy na tablicy, aby napisz.

Niezależnie od tego, czy jest to transformata Fouriera, transformata Laplacea, czy transformata Z, itp. wykładniczy jest funkcji własnej operatorów liniowych i niezmiennych w czasie (LTI) . jeśli wykładnicza funkcja „czasu” trafia do LTI, pojawia się wykładniczy podobny do niej (ale skalowany przez wartość własną). co do F.T. robi to rozbicie funkcji ogólnej na sumę tych wykładników. można to zobaczyć, patrząc na odwrotną transformatę Fouriera.

Transformacja Fouriera:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

przekształca funkcję na całkę funkcji harmonicznych. Możesz myśleć o nich jako o grzechach i cosinusach, ponieważ $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. Przekształcenie Fouriera jako ciągła postać szeregu Fouriera, która przekształca dowolny sygnał okresowy w sumę innych rzeczywistych sygnałów okresowych (harmonicznych):

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

W transformacie Fouriera możesz pomyśleć o współczynnikach $ a_n $ i $ b_n $ przechodząc przez wartości funkcji ciągłej. Aby kontynuować porównanie, istnieje złożona wersja serii:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Komentarze

• Spróbuj trzymać się jednej zmiennej niezależnej, $ t $ lub $ x $, ale nie obu. Ponadto spróbuj znaleźć lepsze słowo niż ' hearken ', co nie oznacza ' nie ma tu żadnego sensu.
• Tęsknisz również za $ \ omega $ w argumentach sinusoid i funkcji wykładniczej: $ \ cos (n \ omega t) $ itd.
• @MattL. Czy potrzebuję $ \ omega $? Transformacja Fouriera ma $ e ^ {i \ omega t} $, ale w serii ” $ n $ ” zajmuje miejsce z $ \ omega $. Czy nie ' tak jest?
• Nie, $ \ omega = 2 \ pi / T $, gdzie $ T $ to okres $ f (t) $, tzn. chyba że $ T = 2 \ pi $ potrzebujesz $ \ omega $.
• Ok. Rozumiem, co masz na myśli.

Rozważ przypadek $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Następnie

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

Gdy $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , obie całki oscylują wokół zera, a całki są efektywnie zerowe.Jedyne niezerowe wyniki to

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

co często jest wyrażane jako $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ big (\ omega – (- \ omega_0) \ big) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

Słownie, dla dowolna wartość argumentu $ \ omega $ , $ e ^ {- i \ omega t} $ factor tłumaczy składnik $ f (t) $ z tą częstotliwością na $ 0 $ i wszystkie inne składniki od zera. Następnie całka nieskończona daje miarę siły komponentu przy 0 $ .

Zauważ, że jeśli $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , a następnie $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . W rzeczywistości oznacza to, że znak $ \ omega_0 $ można jednoznacznie wywnioskować z funkcji $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Nie można go wywnioskować z $ \ cos (\ omega_0 t) $ , ponieważ jest trygonometrycznie identyczny z $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . Transformacja Fouriera radzi sobie z tą niejednoznacznością, dając niezerowe odpowiedzi zarówno w $ \ omega = \ omega_0 $ , jak i $ \ omega = – \ omega_0 $ . Nie oznacza to, że $ \ cos (\ omega_0 t) $ zawiera obie częstotliwości, ponieważ $ \ omega_0 $ może mieć tylko jedną wartość. Prawidłowa interpretacja jest taka, że $ e ^ {i \ omega_0 t} $ zawiera więcej informacji, a nie mniej, niż $ \ cos (\ omega_0 t) $ . Formuła $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ wygląda jak więcej informacji, ale w rzeczywistości jest to anulowanie informacji.

Komentarze

• ” To nie oznacza $ cos (\ omega_0 t) $ zawiera obie częstotliwości, ponieważ $ \ omega_0 $ może mieć tylko jedną wartość. ” Nie. Cosinus to suma dwóch złożonych tonów czystych o przeciwnych częstotliwościach (dwie różne wartości). ' nie możesz powiedzieć, to znak $ \ omega_0 $. Albo jest to poprawna interpretacja, podobna do wyboru pierwiastka kwadratowego. Zatem zgodnie z konwencją częstotliwości dla czystych tonów o wartościach rzeczywistych są uważane za dodatnie.
• @Cedron – Rozważmy funkcję $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ I $ \ \ dlatego \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Powinien wnioskujemy, że $ x ^ 2 $ jest czymś więcej niż tylko funkcją na osi liczb rzeczywistych? Jest potajemnie wykonany z dwóch złożonych funkcji? Jeśli tak, jakie dwa? … ponieważ równie łatwo mógłbym zdefiniować $ f (x) $ jako $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• To nie jest ' t o rozkładzie funkcji. Mógłbyś równie łatwo powiedzieć $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ za równie zwodniczy argument. Fraza ” zawiera obie częstotliwości ” jest w kontekście FT (w tym przypadku ciągłej). Gdyby $ cos $ miał tylko jedną częstotliwość, w widmie byłaby tylko jedna wartość niezerowa.
• Nie ' nie sądzę, aby spierać się, jak wiele częstotliwości zawiera ogólny sygnał, bez zgody co do ” rozsądnej ” dekompozycji na funkcje okresowe. Częstotliwość jest więc tylko skrótowym wyrażeniem dla okresowego składnika częstotliwości . Rozsądny rozkład nie będzie na przykład obejmował komponentów, które całkowicie się znoszą lub komponentów, które są identyczne.
• @Olli – Dziękuję za pomoc redakcyjną w moich deltach. Wydawało mi się, że nie ' nie wygląda całkiem dobrze, ale nie ' nie zdawałem sobie sprawy, dlaczego.