Co to jest aktywacja GELU?

GELU function

Możemy rozszerzyć skumulowaną dystrybucję $ \ mathcal {N} (0, 1) $ , tj. $ \ Phi (x) $ , w następujący sposób: $$ \ text {GELU} (x): = x {\ Bbb P} (X \ le x) = x \ Phi (x) = 0,5x \ left (1+ \ text {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2 }} \ right) \ right) $$

Zauważ, że jest to definicja , a nie równanie (lub relacja). Autorzy przedstawili kilka uzasadnień dla tej propozycji, np. stochastyczna analogia , jednak matematycznie to tylko definicja.

Oto wykres GELU:

Przybliżenie Tanha

W przypadku tego typu przybliżeń liczbowych kluczową ideą jest znalezienie podobnej funkcji (głównie na podstawie doświadczenia), sparametryzowanie jej, a następnie dopasowanie do zbiór punktów z oryginalnej funkcji.

Świadomość, że $ \ text {erf} (x) $ jest bardzo blisko $ \ text {tanh} (x) $

i pierwsza pochodna $ \ text {erf} (\ frac {x} {\ sqrt {2}}) $ pokrywa się z wartością $ \ text {tanh} (\ sqrt { \ frac {2} {\ pi}} x) $ w $ x = 0 $ , czyli $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ , dopasowujemy $$ \ text {tanh} \ left (\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}} (x + ax ^ 2 + bx ^ 3 + cx ^ 4 + dx ^ 5) \ right) $$ (lub z większą liczbą terminów) do zbioru punktów $ \ left (x_i, \ text {erf} \ left (\ frac {x_i} {\ sqrt {2}} \ right) \ right) $ .

Dopasowałem tę funkcję do 20 próbek między $ (- 1,5, 1,5) $ ( korzystając z tej witryny ), a oto współczynniki:

Poprzez ustawienie $ a = c = d = 0 $ , $ b $ oszacowano na 0,04495641 USD $ . Przy większej liczbie próbek z szerszego zakresu (w tej witrynie dozwolone tylko 20) współczynnik $ b $ będzie bliższy papierowi „s 0,044715 USD . Wreszcie otrzymujemy

$ \ text {GELU} (x) = x \ Phi (x) = 0,5x \ left (1 + \ text {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right) \ right) \ simeq 0.5x \ left (1+ \ text {tanh} \ left (\ sqrt {\ frac { 2} {\ pi}} (x + 0.044715x ^ 3) \ right) \ right) $

z błędem średniokwadratowym $ \ sim 10 ^ {- 8} $ za $ x \ in [-10, 10] $ .

Pamiętaj, że gdybyśmy nie wykorzystuje relacji między pierwszymi pochodnymi, termin $ \ sqrt {\ frac {2} {\ pi}} $ zostałby uwzględniony w parametrach w następujący sposób $$ 0.5x \ left (1+ \ text {tanh} \ left (0,797885x + 0,035677x ^ 3 \ right) \ right) $$ , co jest mniej piękne (mniej analityczne , bardziej liczbowe)!

Wykorzystanie parzystości

Zgodnie z sugestią @BookYourLuck , możemy wykorzystać parzystość funkcji, aby ograniczyć przestrzeń wielomianów, w których szukamy. To znaczy, ponieważ $ \ text {erf} $ jest funkcją nieparzystą, tj. $ f (-x) = – f (x) $ i $ \ text {tanh} $ to także funkcja nieparzysta, funkcja wielomianowa $ \ text {pol} (x) $ wewnątrz $ \ text {tanh} $ również powinno być nieparzyste (powinno mieć tylko nieparzyste potęgi $ x $ ), aby mieć $$ \ text {erf} (- x) \ simeq \ text {tanh} (\ text {pol} (-x)) = \ text {tanh} (- \ text {pol} (x)) = – \ text {tanh} (\ text {pol} (x)) \ simeq- \ text {erf} (x) $$

Wcześniej mieliśmy szczęście, że otrzymaliśmy (prawie) zero współczynników dla równych potęg $ x ^ 2 $ i $ x ^ 4 $ , jednak ogólnie może to prowadzić do niskiej jakości przybliżeń, które na przykład mają termin taki jak 0,23 $ x ^ 2 $ , które jest anulowane przez dodatkowe warunki (parzyste lub nieparzyste) zamiast po prostu wybierać $ 0x ^ 2 $ .

Przybliżenie sigmoidalne

Podobna zależność zachodzi między $ \ text {erf} (x) $ i $ 2 \ left (\ sigma (x) – \ frac {1} {2} \ right) $ (sigmoid), co jest proponowane w artykule jako kolejne przybliżenie, z błędem średniokwadratowym $ \ sim 10 ^ {- 4} $ za $ x \ in [-10, 10] $ .

Oto kod Pythona do generowania punktów danych, dopasowywania funkcji i obliczania średniej kwadratowej błędów:

import math import numpy as np import scipy.optimize as optimize def tahn(xs, a): return [math.tanh(math.sqrt(2 / math.pi) * (x + a * x**3)) for x in xs] def sigmoid(xs, a): return [2 * (1 / (1 + math.exp(-a * x)) - 0.5) for x in xs] print_points = 0 np.random.seed(123) # xs = [-2, -1, -.9, -.7, 0.6, -.5, -.4, -.3, -0.2, -.1, 0, # .1, 0.2, .3, .4, .5, 0.6, .7, .9, 2] # xs = np.concatenate((np.arange(-1, 1, 0.2), np.arange(-4, 4, 0.8))) # xs = np.concatenate((np.arange(-2, 2, 0.5), np.arange(-8, 8, 1.6))) xs = np.arange(-10, 10, 0.001) erfs = np.array([math.erf(x/math.sqrt(2)) for x in xs]) ys = np.array([0.5 * x * (1 + math.erf(x/math.sqrt(2))) for x in xs]) # Fit tanh and sigmoid curves to erf points tanh_popt, _ = optimize.curve_fit(tahn, xs, erfs) print("Tanh fit: a=%5.5f" % tuple(tanh_popt)) sig_popt, _ = optimize.curve_fit(sigmoid, xs, erfs) print("Sigmoid fit: a=%5.5f" % tuple(sig_popt)) # curves used in https://mycurvefit.com: # 1. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+a*x^2+b*x^3+c*x^4+d*x^5)) # 2. sinh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3))/cosh(sqrt(2/3.141593)*(x+b*x^3)) y_paper_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + 0.044715 * x**3))) for x in xs]) tanh_error_paper = (np.square(ys - y_paper_tanh)).mean() y_alt_tanh = np.array([0.5 * x * (1 + math.tanh(math.sqrt(2/math.pi)*(x + tanh_popt[0] * x**3))) for x in xs]) tanh_error_alt = (np.square(ys - y_alt_tanh)).mean() # curve used in https://mycurvefit.com: # 1. 2*(1/(1+2.718281828459^(-(a*x))) - 0.5) y_paper_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-1.702 * x))) for x in xs]) sigmoid_error_paper = (np.square(ys - y_paper_sigmoid)).mean() y_alt_sigmoid = np.array([x * (1 / (1 + math.exp(-sig_popt[0] * x))) for x in xs]) sigmoid_error_alt = (np.square(ys - y_alt_sigmoid)).mean() print("Paper tanh error:", tanh_error_paper) print("Alternative tanh error:", tanh_error_alt) print("Paper sigmoid error:", sigmoid_error_paper) print("Alternative sigmoid error:", sigmoid_error_alt) if print_points == 1: print(len(xs)) for x, erf in zip(xs, erfs): print(x, erf) 

Wynik:

Tanh fit: a=0.04485 Sigmoid fit: a=1.70099 Paper tanh error: 2.4329173471294176e-08 Alternative tanh error: 2.698034519269613e-08 Paper sigmoid error: 5.6479106346814546e-05 Alternative sigmoid error: 5.704246564663601e-05 

Komentarze

• Dlaczego potrzebne jest przybliżenie? Czy nie mogą ' t po prostu użyć funkcji erf?

Najpierw zauważ, że $$ \ Phi (x) = \ frac12 \ mathrm {erfc} \ left (- \ frac {x} {\ sqrt {2}} \ right) = \ frac12 \ left (1 + \ mathrm {erf} \ left (\ frac {x} {\ sqrt2} \ right) \ right) $$ według parzystości $ \ mathrm {erf} $ . Musimy pokazać, że $$ \ mathrm {erf} \ left (\ frac x {\ sqrt2} \ right) \ approx \ tanh \ left (\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left (x + ax ^ 3 \ right) \ right) $$ dla $ a \ około 0,044715 $ .

W przypadku dużych wartości $ x $ obie funkcje są ograniczone do $ [- 1, 1 ] $ . W przypadku małego $ x $ , odpowiednia seria Taylora brzmi $$ \ tanh (x) = x – \ frac {x ^ 3} {3} + o (x ^ 3) $$ i $$ \ mathrm {erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ left (x – \ frac {x ^ 3} {3} \ right) + o (x ^ 3). $$ Zastępując, otrzymujemy $$ \ tanh \ left (\ sqrt {\ frac2 \ pi} \ left (x + ax ^ 3 \ right) \ right) = \ sqrt \ frac {2} {\ pi} \ left (x + \ left (a – \ frac {2} {3 \ pi} \ right) x ^ 3 \ right) + o (x ^ 3) $$ i $$ \ mathrm {erf } \ left (\ frac x {\ sqrt2} \ right) = \ sqrt \ frac2 \ pi \ left (x – \ frac {x ^ 3} {6} \ right) + o (x ^ 3). $$ Współczynnik porównawczy dla $ x ^ 3 $ , znajdujemy $$ a \ ok. 0,04553992412 $$ blisko papieru „s 0,044715 $ .