Co to jest AMDF?

Nigdy nie widziałem słowa „Formuła” z „AMDF”. Moje rozumienie definicji AMDF to

$$ Q_x [k, n_0] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ Big | x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ Big | $$

$ n_0 $ to okolica będąca przedmiotem zainteresowania w klasie $ x [n] $ . Zwróć uwagę, że sumujesz tylko wyrażenia nieujemne. Więc $ Q_x [k, n_0] \ ge 0 $ . Nazywamy „ $ k $ ” „lagiem” . Oczywiście, jeśli $ k = 0 $ , a następnie $ Q_x [0, n_0] = 0 $ . Ponadto, jeśli $ x [n] $ jest okresowy z okresem $ P $ (i udawajmy na chwilę, że $ P $ to liczba całkowita), a następnie $ Q_x [P, n_0] = 0 $ i $ Q_x [mP, n_0] = 0 $ dla dowolnej liczby całkowitej $ m $ .

Teraz nawet jeśli $ x [n] $ nie jest dokładnie okresowy lub jeśli okres nie jest dokładną liczbą całkowitą próbek (przy określonej częstotliwości próbkowania, której używasz), my oczekiwałby $ Q_x [k, n_0] \ około 0 $ za każde opóźnienie $ k $ , które jest blisko do okresu lub dowolnej całkowitej wielokrotności okresu. W rzeczywistości, jeśli $ x [n] $ jest prawie okresowy, ale okres nie jest liczbą całkowitą próbek, spodziewamy się, że będziemy w stanie interpolować $ Q_x [k, n_0] $ między wartościami całkowitymi $ k $ , aby uzyskać jeszcze niższe minimum.

Moim ulubionym nie jest AMDF, ale „ASDF” (zgadnij, co oznacza „S”?)

$$ Q_x [k, n_0 ] \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} \ big (x [n + n_0] – x [n + n_0 + k] \ big) ^ 2 $ $

Okazuje się, że można z tym zrobić rachunek różniczkowy, ponieważ funkcja kwadratowa ma ciągłe pochodne, ale funkcja wartości bezwzględnej nie.

Oto kolejny powód, dla którego lubię ASDF lepszy niż AMDF. Jeśli $ N $ jest bardzo duży i gramy trochę szybko i luźno z ograniczeniami sumowania:

$$ \ begin {align} Q_x [k] & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n \ big (x [n] – x [n + k] \ big) ^ 2 \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ left (\ sum_n (x [n]) ^ 2 + \ sum_n (x [ n + k]) ^ 2 – 2 \ sum_n x [n] x [n + k] \ right) \\ & = \ frac {1} {N} \ sum_n ( x [n]) ^ 2 + \ frac {1} {N} \ sum_n (x [n + k]) ^ 2 – \ frac {2} {N} \, \ sum_n x [n] x [n + k ] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} + \ overline {x ^ 2 [n]} – 2 \, R_x [k] \\ & = 2 \ left (\ overline {x ^ 2 [n]} – R_x [k] \ right) \\ \ end {align} $$

gdzie

$$ \ begin {align} R_x [k] & \ triangleq \ frac {1} {N} \ sum_n x [n] x [n + k] \\ & = \ overline {x ^ 2 [n]} – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ & = R_x [0] – \ tfrac {1} {2} Q_x [k] \\ \ end {align} $$

jest zwykle określane jako „autokorelacja” $ x [n] $ .

Oczekujemy więc, że funkcja autokorelacji będzie odwrócona (i przesunięta) replika ASDF. Gdziekolwiek szczyty autokorelacji są tam, gdzie ASDF (a zwykle także AMDF) ma minimum.