Zastrzeżenie: Pierwsza część tej odpowiedzi zajmuje bardzo techniczne stanowisko w sprawie procedury BRST i dodatkowo działa z skończoną przestrzenią fazową dla wygody. Może się to wydawać dalekie od zrozumienia duchów w przeciętnym zastosowaniu transformacji BRST lub duchów jako narzędzia.

---

Ogólna koncepcja duchów

Istnieje wiele różnych poziomy, na których można omawiać pojawianie się duchów, anty-duchów i ich liczbę w ograniczonej mechanice Hamiltona (co jest tym samym, co teorie cechowania na poziomie Lagrangianu). Jeden z nich jest częściowo naszkicowany w mojej odpowiedzi , gdzie operator BRST jest pokazany jako różniczka w kohomologii cechowania algebry Lie.

Spójrzmy na nieco inny sposób patrzenia na duchy, a mianowicie przez ” rozszerzenie przestrzeni fazowej „, w tej odpowiedzi, chociaż można to postrzegać jako przeformułowanie podejścia kohomologii algebry Liego w ” terminach przestrzeni fazowej „:

Formalizm BRST na poziomie abstrakcyjnym stara się zaimplementować redukcję do powierzchni ograniczenia $ \ Sigma $ w przestrzeni fazowej $ X $ nie przez rozwiązanie ograniczeń $ G_a $ , ale przez wyszukanie odpowiedniego rozszerzenia przestrzeni fazowej, tak aby funkcje na powiększonej przestrzeni fazowej miały stopniowane wyprowadzanie $ \ delta $ żyje z nich, których ho mology oblicza funkcje na powierzchni ograniczenia, które są obserwowalnymi niezmiennymi cechami. ¹

Powiększoną przestrzeń fazową uzyskuje się w następujący sposób:

1. Funkcja na powierzchni ograniczenia $ \ Sigma $ jest określona przez iloraz wszystkich funkcji w przestrzeni fazowej modulo funkcji znikających na powierzchni. Każda funkcja $ f $ znikająca na powierzchni jest określana przez $$ f = f ^ a G_a $$ gdzie $ f ^ a $ są dowolnymi funkcjami przestrzeni fazowej. Jeśli wprowadzisz tyle zmiennych $ P_a $ , ile jest ograniczeń, i zdefiniujesz $ \ delta P_a = G_a $ oraz $ \ delta z = 0 $ dla dowolnej oryginalnej zmiennej przestrzeni fazowej, a następnie obraz $ \ delta $ to dokładnie wszystkie funkcje, które znikają w $ \ Sigma $ . Aby $ \ delta $ został oceniony, $ P_a $ musi mieć stopień 1 $ . Stopień funkcji po prostu jako stopień jej wielomianu w $ P_a $ jest nazywany anty- numer widma . ²

2. $ P_a $ są samotne i potrzebują zmiennych sprzężonych. Są one określane jako tak zwane podłużne 1-formy na powierzchni ograniczającej, gdzie podłużne pole wektorowe na powierzchni ograniczającej jest takie, które jest styczne do orbit miernika. Ich podwójne formy to 1-formy, które są zdefiniowane tylko na wektorach podłużnych. Powinno być geometrycznie intuicyjne (i faktycznie jest prawdą), że podłużne pola wektorowe są właśnie polami generującymi transformacje cechowania (są one po prostu kolejnym wcieleniem miernika Lie algebry). W związku z tym jest tyle podstawowych podłużnych 1-form $ \ eta ^ a $ , ile jest ograniczeń, a liczba anty-duchów $ P_a $ .Ponieważ istnieje naturalne działanie $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ z definicji liczby podwójnej, naturalne jest również zdefiniowanie nawiasu Poissona w powiększonej przestrzeni fazowej ze współrzędnymi $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ według $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ , więc pary $ (\ eta ^ a, P_a) $ działają jako dodatkowe pary zmiennych kanonicznych. Wyprowadzenie jest rozszerzane do $ \ eta $ po prostu przez $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . Funkcje w tej powiększonej przestrzeni fazowej mają teraz przypisane czysty numer ducha na podstawie ich stopnia w $ \ eta $ .

Biorąc pod uwagę jakąkolwiek funkcję w powiększonej przestrzeni fazowej, duch liczba to po prostu czysta liczba duchów pomniejszona o liczbę anty-duchów.

Zaletą liczby duchów jest to, że jest to ładunek pewnego generatora – jest mierzony przez operator ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ który spełnia $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ dla dowolnej funkcji określonego ducha numer. Liczba duchów jest fizycznie ważna, ponieważ bycie w stanie ducha o numerze zero jest, wraz z warunkiem niezmienności BRST, warunkiem koniecznym i wystarczającym bycia stanem fizycznym.

Jednak osiągnięcie tego stanu wymaga teraz uzyskujemy różnicę BRST, dodając kolejną różnicę $ \ mathrm {d} $ do $ \ delta $ , i pokazując, że $ \ delta + \ mathrm {d} $ daje, gdy ” małe perturbacje „, operator nilpotent wymagany dla formalizmu BRST. (Wyprowadzenie tego jest bardzo techniczne i czasami nazywane ” twierdzeniem teorii zaburzeń homologicznych „). Następnie ponownie zbadamy działania $ \ mathrm {d}, \ delta $ , stwierdza się, że niezmienne funkcje miernika są dokładnie tymi niezmienniczymi pod operatorem BRST z zerową liczbą duchów, więc teoria kwantowa powinny również nałożyć to ograniczenie.

---

^{1 ” którego homologia oblicza ” to matematyka mówi o tym, że jest operatorem $ \ delta $ , gdzie niezmienne funkcje miernika są dokładnie funkcjami z $ \ delta (f) = 0 $ i gdzie identyfikujemy $ f $ i $ g $ jeśli istnieje $ h $ taki, że $ \ delta (h) = f – g $ . Ponadto sytuacja staje się nieco bardziej skomplikowana w przypadku ograniczeń redukowalnych.}

^{2 W przypadku ograniczeń nieredukowalnych, to już poprawnie oblicza miernik – funkcje niezmienne i na tym można by się w zasadzie zatrzymać. Jednak dodanie $ P_a $ jest niezadowalające, ale nie ma dla nich odpowiednio sprzężonych zmiennych w formalizmie hamiltonowskim.}

^{3 Ta definicja jest dyskretnym, niekonformalnym analogiem do wyrażenia $ U $ , które jest zapisane w pytaniu.}

^{Główne odniesienie: ” Kwantyzacja systemów mierników ” autor: Henneaux / Teitelboim}

---

Konkretny przypadek $ bc $ -CFT

Ogólne ” $ bc $ -CFT „, tj. 2D konformalna teoria pola z polami podobnymi do duchów jest dana przez działanie ducha $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ Partial c (z ) + b (z) \ parts c (z) \ right) $$ , gdy pola $ b $ i $ c $ mają odpowiednio wagi konformalne $ h_b $ i $ h_c = 1 – h_b $ . Funkcje przestrzeni fazowej z liczbą duchów zero przekładają się teraz na operatory o wadze konformalnej 1 $ (ponieważ mają w sobie równą liczbę duchów i anty-duchów, a waga zachowuje się addytywnie ).

To pokazuje, że podstawowe stany fizyczne (przez zgodność stanu i pola w 2D CFT) w takiej teorii muszą koniecznie mieć wagę konformalną 1 $ .Ma to znaczenie w teorii strun, gdzie $ bc $ -CFT z $ h_b = 2 $ to naturalnie dodawane do $ X $ -CFT pól arkusza świata. W przypadku ogólnego CFT wszystkie możliwe wartości podstawowe mogą w zasadzie być stanami fizycznymi, ale procedura BRST wymusza stany widma o numerze zero, tj. Pola o wadze 1 $ , jako tylko dozwolone stany fizyczne.

Komentarze

• To jest bardzo szczegółowa odpowiedź, ale czy mógłbyś również podać przykład użycia liczb widmowych w szczególności w CFT ?
• @JakeLebovic: Dodałem krótkie wyjaśnienie, w jaki sposób wymóg zerowej liczby duchów jest odzwierciedlony w przypadku teorii strun (który jest jedynym znanym mi przypadkiem, w którym duchy pojawiają się w CFT).

W konformalnej teorii pola na płaszczyźnie musisz zdefiniować iloczyn skalarny w przestrzeni stany twojej teorii. W bozonowej teorii strun przestrzeń stanów tj. Przestrzeń Hilberta teorii $ \ mathcal {H} $ jest przestrzenią reprezentacji algebry Virassoro:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

W radialnej kwantyzacji CFT na płaszczyźnie zespolonej do każdego stanu w przestrzeni Hilberta teorii można skojarzyć operator lokalny na płaszczyźnie zespolonej, tzw. korespondencja stanu operatora . Można zdefiniować iloczyn wewnętrzny BPZ w tej przestrzeni Hilberta. Pierwszą rzeczą jest zdefiniowanie stanów asymptotycznych $ | 0 \ rangle $ i $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Operator tożsamości} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {na początku} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Operator tożsamości} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {w nieskończoności} \, \, z = \ infty $$

Te dwa mogą być powiązane przez transformacja konformalna $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Można wykazać, że w ramach tej transformacji konformalnej tryby $ \ hat {\ alpha} _n $ pola $ \ Phi $ wymiaru konformalnego $ h _ {\ Phi} $ przekształcają się następująco:

$$ \ hat {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Więc pod transformacją konformalną mamy następujący:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Dla algebry Virasoro oznacza to, że $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ i $ L_1 $ oraz ich antyholomorficzne odpowiedniki $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ i $ \ overline {L} _1 $ anihilują zarówno $ | 0 \ rangle $, jak i $ \ langle0 | $. Ale te mody generują grupę $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, grupę globalnej transformacji konformalnej na sferze Riemanna. Zatem $ | 0 \ rangle $ jest znane jako $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – niezmienna próżnia.

Z drugiej strony, używając $ (1) $ można wykazać, że $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ i $ b_1 $ również anihilują zarówno $ | 0 \ rangle $, jak i $ \ langle0 | $. Relacja kanoniczna komutacji systemu $ bc $ -system pokazuje, że:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

więc tryby $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ i $ c_1 $ anihilują żadnego z $ \ rvert0 \ rangle $ i $ \ langle0 \ rvert $. Pierwszy niezerowy element macierzy dla układu $ bc $ na sferze Riemanna to:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

Koniugacja BPZ tj. relacja (1) narusza liczbę widm o 3 jednostki. Działanie systemu $ bc $ ma następującą symetrię liczby duchów:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

Odpowiedni prąd to:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

W którym $: \ cdots: $ oznacza normalną kolejność.

Opisane powyżej naruszenie liczby duchów ma podłoże geometryczne. $ j $ jest prądem liczby fermionów chiralnych fermionów, które mają niezbieżny spin liczb całkowitych (oba $ b $ i $ c $ mają spin całkowity). Więc ma anomalię grawitacyjną:

$$ \ częściowa_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

W którym $ \ lambda $ jest wymiarem konformalnym z $ b $. Całkując to, można zobaczyć, że naruszenie liczby duchów na powierzchni rodzaju $ g $ Riemanna (arkuszu świata teorii zamkniętych strun) wynosi 3 $ (g-1) $. Znaczenie prądu widmowego polega na tym, że określa on niezerowe elementy macierzy S w CFT.