Co to jest Fermi Surface ? Mam nadzieję, że to pytanie nie jest zbyt podstawowe dla tego forum i jeśli tak jest, z góry przepraszamy.

Pozwólcie, że wyjaśnię moje zamieszanie. Biorąc pod uwagę solidność, wydaje mi się, że mam pewne wyczucie poziomu Fermiego. Rozumiem to np. Jako charakterystyczny parametr $ \ mu $ w rozkładzie poziomów energii Fermi-Diraca dla elektronów w układzie: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignorując na razie inne fizyczne interpretacje. Zatem jest to unikalny poziom energii, który ma prawdopodobieństwo zajętości 1/2.

Z drugiej strony, definicja powierzchni Fermiego jest zwykle podawana jako „izo-powierzchnia stanów z energią równy poziomowi Fermiego ”w trójwymiarowej przestrzeni wektorów fal $ k $ , na przykład w tym artykule w Wikipedii:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Innymi słowy, definiuje się je jako $ k $ taki, że $$ E (k) = \ mu. $$ Jak dotąd, dobrze. Problem polega na tym, że nie bardzo rozumiem, czym jest $ E (k) $ .

Jedna sytuacja wydaje się prosta, a mianowicie Fermi gazu identycznych cząstek. Następnie $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ , a powierzchnia Fermiego jest kulą. Jednak jeśli jesteśmy w nieskończonym potencjale okresowym, typowym wyidealizowanym modelu teorii Blocha, wtedy rozwiązania równania Schroedingera mają postać $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ gdzie $ u_ {kn} $ to funkcja okresowa, a $ n $ to dyskretny indeks poziomów energii. Innymi słowy, dla każdego wektora falowego $ k $ ,

istnieje wiele poziomów energii $ E_n (k) $ .

Zatem równanie na Powierzchnia Fermiego faktycznie wyglądałaby następująco: $$ E_n (k) = \ mu. $$ Dlatego moje pytanie Czy jakim poziomem energii jest $ E (k) $ , który występuje w definicji powierzchni Fermiego? Być może na każdy poziom jest jedna powierzchnia Fermiego $ n $ ? (Zakładając, że poziomy zmieniają się w sposób ciągły w przestrzeni pędu, co pozwala nam konsekwentnie indeksować poziomy dla różnych $ k $ .)

Gdybym mógł Opowiedz trochę więcej o moim zamieszaniu, nie całkiem rozumiem definicji zawartej w odpowiedzi na to pytanie:

Co to jest powierzchnia Fermiego i dlaczego ta koncepcja jest tak przydatna w badaniach nad metalami?

Stwierdzono, że

„Powierzchnia Fermiego jest po prostu powierzchnią w przestrzeni pędu, na której w granicach zerowych interakcji wszystkie stany fermionów z (kryształowym) pędem $ | k | < | k_F | $ są zajęte, a wszystkie stany o wyższym pędzie są puste. „

Po pierwsze, jak wspomniano powyżej, dla każdego pędu $ k $ , tutaj jest nieskończoną sekwencją stanów fermionów. Innym problemem jest to, że nie jestem pewien, czy powyższe stwierdzenie definiuje unikalną powierzchnię, nawet gdybym był w stanie w jakiś sposób wskazać stan fermionu $ \ psi (k) $ dla każdego $ k $ , do którego odnosi się instrukcja. (Musiałbym narysować obrazek, aby wyjaśnić ten punkt, do czego nie mam kompetencji.)

Komentarze

  • Fermi powierzchnia jest zdefiniowana w temperaturze zera absolutnego, więc bierzesz rozwiązania stanu podstawowego $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • A w bryle patrzysz na stany wewnątrz a ( Wigner-Seitz) komórka elementarna.
  • Cytryna: Uważam, że to również jest dość zagmatwane. Więc twoje stwierdzenie byłoby ' Powierzchnia Fermiego to zbiór $ k $ takie, że $ E_0 (k) = \ mu $, ' gdzie $ E_0 (k) $ jest najniższą energią z pędem $ k $. Ale wtedy w bryle, gdzie wiele z niższe pasma energii są wypełnione, byłoby wiele elektronów powyżej poziomu Fermiego. Wydaje się, że nie zgadza się to ze zwykłym obrazem.
  • Jon Custer: Myślę, że ' odnosi się do faktu, że każdy z $ u_ {kn} $ jest określany na podstawie wartości w komórce. To ' jest prawdą. Ale nie ma stanów, które są tylko stęż uwięziony w komórce. ($ U_ {kn} $ są okresowe.) W każdym razie nie ' nie widzę, jak to odpowiada na pytanie.Sposób, w jaki to wyrażasz, sprawia, że brzmi to jak ' dla każdego $ k $, w komórce znajduje się unikalny $ \ psi_ {kn} $, a jego energia jest tym, czym używamy do definiowania powierzchni Fermiego. ' To nie ' nie brzmi dobrze z różnych powodów.

Odpowiedź

Wszystko, co mówisz, jest poprawne. Powierzchnię Fermiego definiuje się jako zbiór punktów $ k $ taki, że $ E_n (k) = \ mu $ dla dowolnego pasma $ n $. Jednak zazwyczaj pasma są oddalone od siebie stosunkowo daleko i nie nakładają się na siebie energii, na przykład:

wprowadź obraz opis tutaj

Jak widać, prążki 1 i 3 leżą całkowicie powyżej lub całkowicie poniżej potencjału chemicznego $ \ mu $ i dlatego nie mają znaczenia przy określaniu powierzchni Fermiego ( w rzeczywistości w niskich temperaturach te pasma są praktycznie nieistotne dla jakichkolwiek zjawisk fizycznych – tylko pasma bliskie potencjału chemicznego są fizycznie ważne). Dlatego w praktyce można uciec od rozważenia jedno lub dwa pasma i całkowicie ignorując wszystkie inne – a kiedy istnieje powierzchnia Fermiego (tj. potencjał chemiczny przecina pasmo (a)), jedno pasmo prawie zawsze wystarcza.

W bardziej skomplikowanych / nietypowych Jednak musisz śledzić wiele pasm. Na przykład czasami pasma mogą się stykać lub krzyżować, a zabawne rzeczy mogą się wydarzyć, jeśli dostroisz potencjał chemiczny dokładnie do cr punkt ossinga. Co jeszcze bardziej niezwykłe, dwa pasma mogą dzielić cały ograniczony zakres energii – np. dwie krzywe cosinusowe przesunięte w pionie o niewielką wartość. Ale takie przypadki są bardzo rzadkie – w przypadku większości materiałów codziennego użytku $ \ mu $ znajduje się w co najwyżej jednym paśmie i nie musisz się tym martwić. (W rzeczywistości zawodowi fizycy lubią znajdować / tworzyć niezwykłe materiały, w których potencjał chemiczny czy znajduje się tuż przy skrzyżowaniu pasm, właśnie dlatego, że takie systemy nie są teoretycznie dobrze zrozumiałe, więc jest więcej do nauczenia się.)

BTW, w 1-D, tak jak na powyższym wykresie, „powierzchnia” Fermiego składa się po prostu z izolowanych wartości $ k $, ale w 2-D jest to zwykle zamknięta krzywa na płaszczyźnie $ k_x $ – $ k_y $ , aw 3-D jest to zwykle zamknięta powierzchnia, jak kula. Czasami powierzchnia Fermiego może w rzeczywistości składać się z dwóch (lub więcej) kul, z których jedna znajduje się w drugiej, a wypełniona ” Morze Fermiego „dla pasma relavant znajduje się pomiędzy nimi . Zjawisko to nazywa się” gniazdowaniem powierzchni Fermiego „. Ale jeśli dopiero uczysz się o powierzchniach Fermi, nie będziesz musiał się tym martwić skomplikowane sytuacje przez długi czas.

Komentarze

  • Dziękuję za jasną odpowiedź. Swoją drogą, ' dowiedziałem się teraz, że użyto słowa ' band ' na dwa różne sposoby w fizyce ciała stałego. Słowo, którego tu używasz, odnosi się tylko do poziomu energii. Ale istnieje również pojęcie pasma jako zasadniczo ciągłego rozkładu poziomów energii, między którymi są ' przerwy. ' Myślę, że to był główną częścią mojego zamieszania. Popraw mnie, jeśli ' mylę się co do tego.
  • @MinhyongKim A ” band ” jest zdefiniowana jako pojedyncza krzywa $ E_n (k) $ dla danej wartości $ n $. (Myślę, że ' jest nieco mylące nazywanie tego ” poziomem energii „, ponieważ funkcja zazwyczaj nie jest stała, więc przyjmuje wartości w całym skończonym przedziale energii). Ludzie czasami nadużywają terminologii i używają również słowa ” band „, aby odnieść się do przedziału energii, w którym działa funkcja – tj. załamanie zależności pędu. Masz ' masz rację, że właśnie o tym myślą ludzie, gdy mówią o ” lukach w pasmach. ” Ale dwa zmysły ” band ” są naprawdę prawie identyczne …
  • .. . jedyną różnicą jest to, czy śledzisz zależność od $ k $, czy po prostu rozważasz zakres funkcji '.
  • Dziękuję za dalsze wyjaśnienia. Ale wydaje mi się, że dość ważne jest rozróżnienie tych dwóch zmysłów. Jeśli słowo ' band ' zostało użyte w znaczeniu elektronicznej struktury pasma, to równanie $ E_n (k) = \ mu $ nie ' nie byłoby dobrze zdefiniowane nawet dla stałej wartości $ n $. To była jedna z bardzo mylących rzeczy dla nowicjusza takiego jak ja. W każdym razie jeszcze raz dziękuję!

Odpowiedź

Powierzchnia Fermiego to powierzchnia w odwrotnej przestrzeni ( podwójna rzeczywista przestrzeń, w której żyjesz) oddzielając fermionowe stany zajęte od fermionowych niezajętych w temperaturze zerowej.Jest to więc konstrukcja pędu (k $), a nie konstrukcja energetyczna.

Logika jest następująca: spróbuj zebrać razem określoną liczbę fermionów. Ponieważ przestrzegają zasady wykluczenia Pauliego, nie możesz spakować tych fermionów tak, jak chcesz. Za każdym razem, gdy w przestrzeni pędu jest miejsce na stan, tylko jeden fermion może zająć to puste pomieszczenie. Musisz więc zacząć gromadzić fermiony. Ma to pełną analogię z zapełnianiem biblioteczki książkami: musisz użyć następnego rzędu, gdy poprzedni jest pełny. Możesz użyć mniejszych odstępów między danymi surowymi, zwiększyć rozmiar każdego surowca, … jeśli masz zbyt wiele książek, możesz użyć następnego surowca, który jest niczym innym, jak wykorzystaniem następnej gałęzi pędu w relacji rozproszenia (to, co nazywasz $ k_n (E) $). Kiedy umieścisz ostatni fermion w swojej fermionowej biblioteczce , odpowiedni stan pędu nazywany jest pędem Fermiego, odpowiadająca mu energia nazywana jest energią Fermiego, …, a powierzchnia izo- $ k $ przy pędzie Fermiego nazywana jest powierzchnią Fermiego.

Kilka uwag

  • Nigdy nie będzie nieskończonej liczby gałęzi używanych do wypełnienia skończonej liczba fermionów w stosunkach dyspersji (struktura pasmowa materiału, jeśli wolisz).

  • Nie ma sprzeczności w przypuszczeniu, że powierzchnia Fermiego ma kilka warstw. Nawet na Wikipedii masz już przykład powierzchni Fermiego z kieszeniami na elektrony i dziury

  • Pojęcie powierzchni Fermiego pochodzi z pojęcia statystyki (Fermi-Diraca), kiedy mamy do czynienia ze skończoną liczbą cząstek (w starożytnej terminologii jest to drugi kwantowany problem), podczas gdy struktura pasmowa to pełne spektrum dostępnych stanów dla jednego cząstka (w starożytnej terminologii jest to pierwszy problem skwantowany) w potencjale okresowym. Łatwym sposobem przejścia od jednej do drugiej jest wykorzystanie potencjału chemicznego, który ustala liczbę cząstek na stan energii (a dokładniej ilość energii potrzebnej do dodania cząstki do układu termodynamicznego).

  • Powierzchnia Fermiego jest koncepcją szczególnie przydatną do zrozumienia kilku właściwości transportowych (elektrycznych, cieplnych, … transportowych) dla materiałów o prostej strukturze pasmowej, takich jak czyste metale i domieszkowane półprzewodniki. Kiedy powierzchnia Fermiego staje się zbyt skomplikowana, trudno jest uzyskać z niej jakąkolwiek intuicję. Myślę, że jest to sedno niezrozumienia pojęcia w Twoim pytaniu.

Komentarze

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *