Co to jest rozdzielczość częstotliwości?

Edytuj:

Zdałem sobie sprawę, że moja poniższa definicja " Rozdzielczość częstotliwości " jest całkowicie źle (jak również pytanie OP). Rozdzielczość częstotliwości jest tym, jak podobna jest wielkość funkcji okna w przestrzeni częstotliwości do funkcji delta Diraca. Dzieje się tak, ponieważ iloczyn okna i sygnału w dziedzinie czasu staje się splotem w dziedzinie częstotliwości ( a splot z funkcją delta Diraca jest próbkowaniem, które dałoby doskonałą rozdzielczość częstotliwości). Im grubszy płat główny (określany ilościowo przez jego wariancję), a im wyższe listki boczne, tym gorsza rozdzielczość częstotliwości. Ponadto rozdzielczość czasu można określić ilościowo jako wariancję funkcji okna w dziedzinie czasu.

Rozdzielczość częstotliwości nie jest rozdzielczością / szerokością bin. Na poniższym wykresie zauważ, że występy nie zbliżają się (rozdzielczość częstotliwości), mimo że szerokość pojemnika maleje.

Credit: Dan Boschen

Rozdzielczość częstotliwości jest raczej własnością transformaty Fouriera funkcji prostokątnej (tj. funkcji sinc).

Aby pracować z transformacjami Fouriera (nawet jeśli pracujemy teoretycznie), musimy wykonywać funkcje okienkowe. W konsekwencji zawsze pracujemy z $ f (t) w (t) $ , a nie z funkcją $ f (t ) $ (tutaj $ w (t) $ jest funkcją prostokątną). Zgodnie z twierdzeniem Convolution transformata Fouriera funkcji okienkowej jest zawsze splotem $ \ hat {f} $ z $ \ hat {w} = $ sinc. Zwłaszcza, gdy $ f $ jest sinusoidalny, $ \ hat {f} $ będzie funkcją delta Diraca i splot będzie po prostu próbkowaniem funkcji sinc. W ten sposób okresowo tracimy częstotliwości całkowicie podczas okienkowania, okresowość tej utraty to rozdzielczość częstotliwości .

Ponieważ w funkcjach okienkowych DTFT jest okresowym przybliżeniem CTFT, uzyskuje również te właściwości.

Nieporozumienie powstaje, ponieważ kiedy nie dopełniamy zer do DFT (tj. tylko przykład $ f (t) w (t) $ , gdzie $ w (t) = 1 $ ), szerokość przedziału jest równa rozdzielczości częstotliwości.

Jednak możemy również wstawić zera (tj. także próbka $ f (t) w (t) $ , gdzie $ w (t) = 0 $ ), a to powoduje, że DTF lepiej interpoluje DTFT $ f (t) w (t) $ . Porozmawiaj z pierwszym wykresem.

Aby zobaczyć, dlaczego transformata Fouriera funkcji prostokątnej jest funkcją sinc obejrzyj ten film i rozważ uzwojenie funkcji sinusoidalnych (choć jest dość skomplikowane)

Aby odpowiedzieć na przykład OP, rozdzielczość bin to $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ , gdzie $ F_s = 2000 $ Hz to częstotliwość próbkowania, a $ N $ rozmiar DFT.

Rozdzielczość częstotliwości to taka, jaka byłaby rozdzielczość bin, gdybyśmy próbkowali w oknie (bez dopełnienia zerami)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ gdzie $ M $ to liczba próbek w oknie, $ T $ to czas trwania próbki, a $ F_s = M / T $ .

Komentarze

• Dobra odpowiedź Tom.Aby dodać, jeśli nie jest to jasne, często nie ' w rzeczywistości używamy prostokątnego okna, ale inne okna, które zwężają się, służą do znacznego zmniejszenia listków bocznych (poprawy zakresu dynamicznego) kosztem degradacji rozdzielczość częstotliwości dalej. Jednym z moich ulubionych klasycznych artykułów na ten temat i ogólnie o zastosowaniach DFT jest Fred Harris. Myślę, że ' naprawdę ci się spodoba, jeśli jeszcze ' nie widziałeś: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Miło, szkoda, że mogę ' zagłosować dwa razy!
• @TomHuntington Wikipedia najwyraźniej ' nie wie o moich formułach lub technikach. Nadal mam trudności z rozdzielczością wewnątrzkręgową (z powodu szumu i wrażliwości równań), ale pobliskie częstotliwości można rozwiązać przez iteracyjne estymowanie i usuwanie. Po usunięciu dużego tonu można oszacować mniejszy. Po usunięciu niskiego tonu lepiej odczytasz duży. I tak dalej, nawet z wieloma tonami. Każdy rodzaj okna komplikuje matematykę.
• Jeśli masz dwie sinusoidy o prawie równej amplitudzie, ale bardzo zbliżonej częstotliwości, możesz użyć zjawiska dudnienia w dziedzinie czasu. Pozorna częstotliwość sygnału (przy przejściu przez zero) jest średnią z dwóch częstotliwości, a częstotliwość obwiedni (w przypadku pełnego cyklu, np. Dwóch listków) jest o połowę niższa od różnicy częstotliwości.
• Ponadto rozdzielczość określa Twoją precyzję we wszystkim, co mierzysz. Nie mówi nic o dokładności.

Zależy to trochę od tego, co próbujesz osiągnąć.

Jeśli wykonasz FFT o długości $ N $ sygnału próbkowanego z częstotliwością $ F_s $ , wiele osób powiedziałoby, że rozdzielczość częstotliwości to $ \ frac {F_s} {N} $ . To, czy to jest poprawne, czy nie, tak naprawdę zależy od tego, jak dokładnie zdefiniujesz rozdzielczość częstotliwości i co planujesz z nią zrobić.

Tak naprawdę dzieje się tak, że próbkujesz funkcję w dziedzinie częstotliwości z próbkowaniem interwał $ \ frac {F_s} {N} $ . Gdy tylko wybierzesz rozmiar FFT, próbkujesz w obu domenach z przedziałami próbkowania $ \ frac {1} {F_s} $ w czasie i $ \ frac {F_s} {N} $ częstotliwości.

Próbkowanie w dziedzinie częstotliwości ma te same właściwości, wymagania i problemy, co próbkowanie w dziedzinie czasu. Możesz uzyskać aliasing, można interpolować, zakłada się okresowość w innej dziedzinie, itp.

Po prostu stosując twierdzenie o próbkowaniu możemy argumentować, że rozdzielczość częstotliwości wymagana do pełnego scharakteryzowania sygnału jest po prostu odwrotnością długość w dziedzinie czasu. Działa to dobrze w przypadku sygnałów, które są z natury ograniczone czasowo, takich jak odpowiedź impulsowa systemu LTI.

Jednak nie jest to praktyczne w przypadku długich, ciągłych sygnałów. W tym przypadku musisz wybrać rozdzielczość częstotliwości, która jest „wystarczająco dobra” dla twojego zastosowania i która naprawdę zależy od wymagań i celu twojego specyficzna aplikacja.

Próbkowanie jest podane przez $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [Sec].
Długość okna wynosi 1000 próbek.
Ponieważ długość okna musi być równa długości danych, wnioskujemy, że długość danych wynosi 1000 próbek co oznacza, że czas próbkowania wynosi 0,5 USD [s].

Rozdzielczość bin w DFT jest stosunkiem między interwałem próbkowania a liczbą DFT Samples, czyli w tym przypadku 2000. Stąd rozdzielczość bin wynosi $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

Szerokość binarna FFT lub rozdzielczość reprezentacji, jak lubię to nazywać, to Fs / N, gdzie N to rozmiar FFT. Rzeczywista rozdzielczość będzie zależeć od używanego okna i długości okna.

Na przykład: prostokątne okno zapewni maksymalną rozdzielczość, ale mniejszy zakres dynamiczny. Inne gładsze okna zapewniają mniejszą rozdzielczość z większym zakresem dynamiki lub niższymi listwami bocznymi.