Twierdzenie Feynmana-Kaca stwierdza, że dla procesu Ito w postaci $$ dX_t = \ mu (t, X_t) dt + \ sigma (t , X_t) dW_t $$ istnieje mierzalna funkcja $ g $ taka, że $$ g_t (t, x) + g_x (t, x) \ mu (t, x) + \ frac {1} {2} g_ {xx } (t, x) \ sigma (t, x) ^ 2 = 0 $$ z odpowiednim warunkiem brzegowym $ h $: $ g (T, x) = h (x) $. Wiemy również, że $ g (t, x) $ ma postać $$ g (t, x) = \ mathbb {E} \ left [h (X_T) \ big | X_t = x \ right]. $$
Oznacza to, że mogę wycenić opcję z funkcją wypłaty $ h (x) $ na $ T $, rozwiązując równanie różniczkowe bez względu na proces stochastyczny.
Czy istnieje intuicyjne wyjaśnienie, w jaki sposób można modelować stochastyczne zachowanie procesu Ito za pomocą równania różniczkowego, nawet jeśli równanie różniczkowe nie ma składnika stochastycznego?
Komentarze
- Wewnątrz oczekiwań nie powinno się ' t wstawić $ h (X_T) $ zamiast $ h (X_t) $ ?
Odpowiedź
Martingales + Markovian
Oto motywacja. Oczekiwania warunkowe to martyngały według właściwości oczekiwań warunkowych wieży (łatwe ćwiczenie do pokazania). Załóżmy, że $ r = 0 $, zgodnie z twierdzeniem o wycenie neutralnej pod względem ryzyka $ E ^ \ star \ left [h (X_T) \ bigg | \ mathscr {F} _t, \, X_t = x \ right] $ to cena dowolnej pochodnej papier wartościowy z X $ jako aktywem bazowym i funkcją wypłaty $ h $ przy założeniu, że na chwilę obecną bazowy papier wartościowy i sam instrument pochodny nie zapewniają pośrednich przepływów pieniężnych. W warunkach Markowa musi być tak, że cena instrumentu pochodnego jest mierzalną funkcją bieżącej ceny aktywów i jedynie czasu do zapadalności, powiedzmy, że jest to funkcja $ g (t, x) $. Następnie, według lematu Ito $ d (g (t, x)) = \ ldots $. Ponieważ $ g $ jest martyngałem (przesuniętym), składnik dryftu musi być równy zero . warunek brzegowy pochodzi z braku arbitrażu, zobacz to, zauważając, czym jest $ g (T, x) $ z podanej na początku definicji (pamiętaj o mierzalności, biorąc warunkowe oczekiwanie).
Komentarze
- Dzięki. Co to jest $ \ mathscr {F} _t $?
- To jest algebra sigma z filtracji. en.wikipedia.org/wiki/Filtration_(mathematics)
- @ user25064 – całkiem dobrze uzupełnia moją odpowiedź +1
- @Raphael – pomyśl tylko o $ \ mathscr F_t $ jako informacja dostępna do czasu $ t $. Pionowy pasek czyta ” podane „, więc kiedy napiszesz to oczekiwanie przed tym czasem ' w ogóle nie przyjmujesz oczekiwań i może wyjść poza to samo, co stałaby. Na przykład $ E [X_ {t- \ epsilon} | \ mathscr F_t ] = X_ {t- \ eps ilon} $. W tej książce jest stosunkowo dobre wyjaśnienie warunkowych oczekiwań.
Odpowiedź
Twierdzenie Feynmana-Kaca ma sens przede wszystkim w kontekście cen. Jeśli wiesz, że jakaś funkcja rozwiązuje równanie Feynmana-Kaca, możesz przedstawić to rozwiązanie jako oczekiwanie w odniesieniu do procesu. ( nadaj temu dokumentowi )
Z drugiej strony funkcja wyceny rozwiązuje FK-PDE. Dlatego często można próbować rozwiązać PDE, aby otrzymać formułę wyceny w formie zamkniętej. ( przyznaj to dokument zaczynający się od strony 22 )
Nie użyłbyś Feynmana-Kaca do symulacji procesu stochastycznego. Z drugiej strony możesz użyć procesu stochastycznego, aby znaleźć rozwiązanie FK-PDE ( patrz tutaj )
Edycja 26.02.2014: Udało mi się znaleźć dokument, który próbuje wyjaśnić związek między gęstością przejścia a FK-PD ( patrz tutaj zaczynając od strony 5 )
Istnieje również powiązanie między formułą FK i równaniami Sturma-Liouvillea, które mogą być użyte do rozkładu ścieżek Browna. ( zobacz ten dokument )
Komentarze
- Dzięki za linki! Twój post wyjaśnia kilka zastosowań i zastosowań twierdzenia Feynmana-Kaca. W tym miejscu moim głównym zainteresowaniem jest zrozumienie, dlaczego twierdzenie jest prawdziwe, tj. Intuicja kryjąca się za twierdzeniem.
- Proponuję dowód tutaj: pl. wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula Czytanie dowodów często pomaga zrozumieć, jak powstaje twierdzenie. Czy jesteś zainteresowany wyjaśnieniem z punktu widzenia Phyiscs?
Odpowiedz
Sposób, w jaki myślę chodzi o to, że PDE opisuje przepływ zależnego od czasu rozkładu prawdopodobieństwa. Proces stochastyczny opisuje indywidualne realizacje (przypadkowe spacery z dryfem), ale gdybyś przeprowadził ich dużą liczbę, zbudowałbyś rozkład.
PDE mówi, jak ten rozkład zmienia się w czasie (pierwszy człon) z powodu deterministycznego dryfu (drugi człon) i dyfuzji (trzeci człon, który jest łącznikiem między „wieloma przypadkowymi spacerowiczami” a rozprzestrzenianiem się rozkład prawdopodobieństwa, który opisuje, jak daleko dotarli średnio). Zazwyczaj rozkład prawdopodobieństwa zaczyna się jako funkcja delta ze względu na znany warunek początkowy.
Komentarze
- Jestem trochę zdezorientowany. Mamy PDE funkcji wyceny $ g (t, x) $ oprócz dryftu i zmienności, nie ma zbyt wielu informacji, które można uzyskać z FK-PDE w odniesieniu do dystrybucji
Odpowiedź
Podejdźmy do tej odpowiedzi w dwóch krokach.
Po pierwsze, Wydaje mi się całkiem intuicyjne, że dla danego stochastycznego PDE istnieje deterministyczny PDE, który ewoluuje gęstość do późniejszego czasu. To równanie jest przednim równaniem Kołmogorowa lub Fokkera-Planka. Dlaczego jest intuicyjny? Znamy również przyszły rozkład ruchów Browna (z definicji), dlaczego miałoby to zmieniać się na bardziej złożony termin stochastyczny?
Po drugie, kiedy już masz równanie naprzód, to kwestia matematyki jest również uzyskać jego odwróconą w czasie wersję. To jest równanie Feynmana-Kaca i propaguje ono rozkład wstecz w czasie.