Wiem, że zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga nie można jednocześnie poznać dokładnych wartości położenia i pędu cząstki, ale czy możemy wiedzieć dokładne wartości pędu i prędkości cząstki jednocześnie? Myślę, że odpowiedź brzmiałaby nie, ponieważ nawet gdybyśmy byli w 100% pewni położenia cząstki, bylibyśmy całkowicie niepewni co do pędu cząstki, co czyni nas również całkowicie niepewny co do prędkości cząstki. Czy ktoś ma w tym jakiś wgląd?
Odpowiedź
Dość często omawia się dwie skrajności zasady nieoznaczoności, sinusoidę i funkcja delta. Jeden ma doskonale zdefiniowaną długość fali, ale nie ma pozycji, drugi ma doskonale zdefiniowaną pozycję, ale nie ma długości fali.
Jednak żaden z tych kształtów nie jest strasznie fizyczny dla funkcji falowej pozycji cząstki. Prawdziwa sinusoidalna funkcja falowa rozciągałby się na całą przestrzeń, co jest absurdalne z kilku powodów (w tym z powodu obecności innej materii). Prawdziwa funkcja delta miałaby jednakowo dowolny pęd, co prawdopodobnie naruszyłoby zasadę zachowania energii. Zatem te dwie skrajne granice są matematycznie interesujące, ale nie istotne fizycznie.
Biorąc pod uwagę pytanie „Czy zasada nieoznaczoności nakłada pewne ograniczenia na jednoczesne dobrze zdefiniowane pęd i prędkość?”, odpowiedź brzmi: nie.
Biorąc pod uwagę pytanie „Czy zasada nieoznaczoności zabrania mi mierzenia pojedynczej zmiennej z nieskończoną precyzją?”, odpowiedź brzmi „nie”.
Biorąc pod uwagę pytanie „Czy cokolwiek zabraniaj mi mierzenia z nieskończona precyzja? „, odpowiedź brzmi tak .
Twoje pytanie mówi o„ dokładnych wartościach ”, co jest bardzo interesującym, drażliwym Przedmiot. (Czy jest kiedykolwiek możliwe zmierzenie dokładnej wartości? Jak odróżnilibyśmy różnicę?) Czy naprawdę ciekawi Cię „dokładne wartości”? Czy jesteś bardziej ciekawy, gdzie obowiązuje zasada nieoznaczoności Heisenberga, a gdzie nie? Czy jesteś ciekawy, czy oprócz zasady nieoznaczoności istnieją inne ograniczenia naszej zdolności do mierzenia?
Komentarze
- Pytałem tylko dlatego, że został zadany na teście i byłam ciekawa odpowiedzi po przystąpieniu do testu. Wiem, że zasada nieoznaczoności dotyczy energii i czasu, a także dotyczy położenia i pędu. Pomyślałem więc, że gdybyśmy hipotetycznie zmierzyli położenie z dokładną pewnością, wówczas bylibyśmy całkowicie niepewni co do jego położenia, a zatem całkowicie niepewni co do jego prędkości. Chciałem tylko wiedzieć, czy niepewność co do położenia zapewnia niepewność co do prędkości
- Jeśli zignorujemy efekty relatywistyczne, wówczas prędkość i pęd są wprost proporcjonalne do siebie z cząstką ' s masę spoczynkową jako stałą proporcjonalności, więc jeśli znasz jedną dokładnie, drugą otrzymasz za darmo.
Odpowiedź
Jeśli w twojej teorii operator pędu i operator prędkości są do siebie proporcjonalne, to tak. Znajomość wartości własnej oznacza znajomość wartości własnej drugiej. Tak jest zawsze w przypadku dowolnej funkcji operatora „znanego”.
Komentarze
- I ' m na podstawach fizyki 3 w Georgia Tech, traktując to jako obieralny, więc nie ' nie dotarłem tak daleko. ' jednak na pewno się temu przyjrzę
Odpowiedź
Wartości własne prędkości równania Diraca są $ \ pm c $. Jest to dobrze znane, ponieważ znaleziono równanie; patrz książka Diraca, „The Principles of Quantum Mechanics, 4th Ed.”, Oxford University Press, Oxford 1958, rozdział XI „Relatywistyczna teoria elektronu”, sekcja 69, „Ruch swobodnego elektronu”, strona 262 Kiedyś był to powszechnie nauczany fakt w mechanice kwantowej, ale rozumiem głosy negatywne, teraz można uzyskać doktorat z fizyki, nie wiedząc nawet najmniejszej rzeczy o następujących dość elementarnych obliczeniach. Po części dlatego, że nie jest to już „nauczane”, wyprowadzenie to pojawia się ostatnio ponownie w literaturze, na przykład patrz: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 Chiralne oscylacje w zakresie efektu zitterbewegung / hep-th / 0701091 , wokół równania (11).
Zaczynamy od zauważenia, że prędkość to szybkość zmiany pozycji w czasie i że można określić szybkość zmiany pozycji w czasie za pomocą komutatora:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Jeśli powyższe wydaje ci się magiczne, przeczytaj wpis Wikipedii na Twierdzenie Ehrenfesta , które przedstawia zasadę i podaje identyczną sytuację dla nierelatywistycznej mechaniki kwantowej: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ a więc $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (dla przypadku nierelatywistycznego) . Zatem dla nierelatywistycznego modelu elektronu możliwe jest jednoczesne mierzenie prędkości i pędu; ich stałą proporcjonalności jest masa. Ale w przypadku względności proporcjonalność nie zachodzi więc sytuacja jest inna.
Aby stan był stanem własnym prędkości, wymaga to:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac zdefiniował hamiltonian wolnych cząstek jako $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. W notacji współczesnej $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ i $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, podczas gdy $ p $ jest zwykłym operatorem pędu.
Zwróć uwagę, że jedyną rzeczą, która nie dojeżdża z $ \ hat {x} $ jest składnik x operatora pędu, który daje $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. Zatem powyżej redukuje się do:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Korzystając z wyboru reprezentacji macierzy gamma z Wikipedii, mamy: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Wartości własne to uzyskany przez rozwiązanie wielomianu charakterystycznego . To znaczy obliczyć wyznacznik macierzy i ustawić go na zero: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Zostawiam to jako ćwiczenie dla czytelnika, aby pokazać, że istnieją dwa prawdziwe pierwiastki, $ \ pm c $ każde z rzędu drugiego.
Cztery rozwiązania problemu z wartością własną prędkości dla równania Diraca odpowiadają prawemu i lewoskrętnemu elektronowi i pozytonowi. Oznacza to, że stany własne prędkości równania Diraca to dokładnie stany lewej i prawej ręki używane do reprezentowania fermionów w modelu standardowym .
Komentarze
- Istnieją dwa oddzielne problemy, które mogą powodować głosy przeciw (nie ' t jeszcze nie głosowałem, napraw). Po pierwsze, hamiltonian Diraca znajduje się w zdyskredytowanym obrazie pojedynczej cząstki równania Diraca, gdzie x jest operatorem opisującym położenie elektronu. W odpowiednim obrazie teorii pola, stany w pobliżu Focka mają pęd, który jest p i prędkość, która jest p / E w pakiecie fal, a dwie wielkości mogą mieć równoczesne wartości (w pewnym sensie, ponieważ cząstki są nielokalne). Innym problemem jest to, że równanie, które podajesz dla wartości własnych prędkości ma cztery rozwiązania (c, -c, ic, -ic).
- Jeśli chodzi o problem z polem teoria w porównaniu z QM, stany własne prędkości elektronu są powiązane z zitterbewegung (zbw), który ostatnio odrodził się w wyniku badań fizyki ciała stałego.Więc ' nie jestem pewien, czy ' jest zdyskredytowany, na przykład zobacz dyskusję o zbw i stanach własnych prędkości w Eur. Fiz. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- OK, ' m ustalenie obliczenia wartości własnej; Spieprzyłem wyznacznik.
- Nie ' nie sądzę, że to ' jest całkowicie zdyskredytowane, wymaga tylko dyskusji — zbw jest właściwością stanów pozytonowych mieszających się ze stanami elektronów na obrazie pojedynczej cząstki, jest to w opisie Feynmana elektron poruszający się w przód iw tył w czasie. Jest ' fizyczny, ale tylko w postaci dynamiki cząstek Feynmana, a nie w postaci teorii pola. Jestem pewien, że to jest powód, dla którego wiele osób automatycznie przeciwstawia się dyskusjom o pojedynczej cząstce Diraca eqn. Nie ' nie uważam, że to nonsens, zawiera dużo fizyki, ale wymaga uważnej dyskusji.
Odpowiedź
Argument, że zasada nieoznaczoności Heisenberga zabrania nam jednoczesnego poznania dokładnych wartości pędu i prędkości cząstki, został już zdyskredytowany w starym podręczniku Feynmana na temat Quantum Elektrodynamika.
Dwie obserwowalne można określić jednocześnie, jeśli operatorzy dojeżdżają. Dla prędkości i pędu operatorzy dojeżdżają do pracy $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; robią to nawet w teoria funkcji falowej Diraca z jej efektami Zitterbewegung.