Powiedzmy, że w jakiś sposób 100 $ (1- \ alpha) \% $ przedział ufności średniej populacji $ \ mu $ jest znana jako $ (a, b) $ , a liczba próbek to $ n $ . Czy na podstawie tych informacji można wywnioskować punktowe oszacowania średniej populacji i wariancji populacji? W tym przypadku zakłada się, że populacja ma rozkład normalny.
Jednym z pomysłów jest to, że ponieważ przedział ufności średniej populacji można obliczyć, znając średnią z próby $ \ overline {x} $ i wariancję populacji $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , my można ustawić $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ i znajdź $ \ overline {x} $ i $ \ sigma $ . Z pewnością w tym przypadku $ \ overline {x} $ można traktować jako punktowe oszacowanie średniej populacji. A co z $ \ sigma ^ {2} $ ? Czy jest to „prawdziwa” wariancja populacji, czy jest to tylko „oszacowanie punktowe” wariancji populacji? Jestem naprawdę zdezorientowany, jak w tym przypadku należy interpretować $ \ sigma ^ {2} $ .
Odpowiedź
Możesz wyprowadzić $ \ bar {x} $ i $ \ sigma ^ 2 $ , który wygenerował ten przedział ufności, tak. Znajomość rozmiaru próbki i poziomu $ \ alpha $ -level jest jednak krytyczna i nie możesz rozwiązać problemu bez tych informacji.
oparty na przedziale ufności implikuje znaną wariancję, która jest używana do obliczania przedziału ufności, więc kiedy używasz szerokości do rozwiązania wariancji, rozwiązujesz prawdziwą wariancję $ \ sigma ^ 2 $ , a nie oszacowanie $ s ^ 2 $ . Jeśli przedział ufności jest oparty na t, wówczas należy rozwiązać $ s ^ 2 $ .
Szerokość ufności opartej na z interwał nie zależy od danych, ponieważ znasz wariancję populacji. Znając parametr, nie zadajesz sobie trudu, aby go oszacować.
Komentarze
- Jeśli dobrze zrozumiałem, odpowiedź zależy od tego, czy przedział ufności został wyznaczony metodą z lub z t. Dziękujemy za odpowiedź.
- To właśnie wyjaśnia, dlaczego używamy przedziałów ufności opartych na z i przedziałach ufności opartych na t. Jeśli znamy wariancję populacji, nie ' nie przejmujemy się przedziałami ufności opartymi na t, a przedział oparty na z ma szerokość określoną przez $ \ sigma ^ 2 / 2 $. Kiedy ' nie znamy wariancji populacji (prawie zawsze), szacujemy wariancję populacji na $ s ^ 2 $ i używamy przedziałów ufności opartych na t, aby uwzględnić niepewność związana z oszacowaniem (tj. uwzględnienie faktu, że nasze oszacowanie może być złym oszacowaniem).