Dlaczego grawitacja Ziemi ' jest silniejsza na biegunach?

Chodzi o to, że jeśli przybliżymy Ziemię za pomocą spłaszczonej elipsoidy, wówczas powierzchnia Ziemi będzie powierzchnia ekwipotencjalna , $ ^ 1 $ patrz np. ten post Phys.SE.

Ponieważ promień biegunowy jest mniejszy niż promień równikowy, gęstość powierzchni ekwipotencjalnych na biegunach musi być większa niż na równiku.

Lub równoważnie, natężenie pola $ ^ 2 $ $ g $ na biegunach musi być większe niż na równiku.

–

$ ^ 1 $ Zauważ, że potencjał tutaj odnosi się do połączonego efektu sił grawitacyjnych i odśrodkowych. Jeśli wylewamy trochę wody na powierzchnię ekwipotencjalną, nie byłoby preferowanego kierunku przepływu.

$ ^ 2 $ Podobnie, siła pola, znana jako little $ g $ , odnosi się do połączony efekt sił grawitacyjnych i odśrodkowych, nawet jeśli $ g $ jest często (mimochodem i nieco myląco) określane jako stała grawitacyjna na powierzchni Ziemi.

Komentarze

• Czy argument ” jesteś bliżej środka masy ” działa?
• Świetnie. Chociaż odpowiedź nigdy nie używa terminu ” siła odśrodkowa, „, który ' jest ukryty w argument, ponieważ ekwipotencjał jest ekwipotencjalny w obracającej się ramie.
• @Floris – Argument, że ” jesteś bliżej środka masy ” kinda-sort działa, gdzie kinda-sorta oznacza w tym przypadku około 3/2 (w przeciwieństwie do jednego). Około 2/3 spadku na równiku można przypisać temu, że równik znajduje się 21 km dalej od środka Ziemi. Druga 1/3 wynika bezpośrednio z siły odśrodkowej (i oczywiście ta pierwsza 2/3 jest pośrednio z powodu siły odśrodkowej).
• @DavidHammen – wydaje mi się, że w moich książkach ” grawitacja ” to po prostu przyciąganie między dwoma masywnymi obiektami; siła, z jaką oddziałuje masa na powierzchni ziemi, jest modulowana zarówno na odległość, jak i na obrót, ale tylko pierwsza jest ” grawitacja ” moje książki. Odkąd OP stwierdził, że rozumie część rotacyjną, tak naprawdę sugerowałem skupienie się na najprostszym sposobie określenia drugiej części.
• Myślę, że Lubos dawno temu napisał odpowiedź, która w pewnym stopniu wyjaśnia, dlaczego grawitacja z powodu równikowego wybrzuszenie jest inne niż mogłoby się wydawać naiwnie. ' zobaczę, czy uda mi się znaleźć tę odpowiedź.

Wiele miejsc podaje, że grawitacja Ziemi jest silniejsza na biegunach niż równik z dwóch powodów:

1. Odśrodkowa siła znosi grawitację w minimalnym stopniu, bardziej na równiku niż na biegunach.
2. Bieguny są bliżej środka z powodu wybrzuszenia równikowego, a zatem mają silniejsze pole grawitacyjne.

Wersja TL; DR: są trzy powody. W rzędzie wielkości

1. Bieguny są bliżej do środka Ziemi z powodu wybrzuszenia równikowego. Wzmacnia to grawitację na biegunach i osłabia ją na równiku.

2. Wybrzuszenie równikowe modyfikuje sposób grawitacji Ziemi. To osłabia grawitację na biegunach i wzmacnia ją na równiku.

3. Ziemia obraca się, więc obserwator znajdujący się na Ziemi widzi siłę odśrodkową. Th nie ma wpływu na bieguny i osłabia grawitację na równiku.

Zobaczmy, jak te dwa wyjaśnienia w pytaniu mają się do obserwacji.Poniższa tabela porównuje to, co przewiduje sferyczny model grawitacji bez przyspieszenia odśrodkowego dla przyspieszenia grawitacyjnego na poziomie morza na równiku ($ g _ {\ text {eq}} $) i biegunie północnym ($ g _ {\ text {p}} $) w porównaniu z wartościami obliczonymi przy użyciu dobrze znanego wzoru Somigliany na grawitację $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Błąd} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9,76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9,86431 & 0 & 9,86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0,03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & 0,09995 & 0,05186 & \ phantom {-} 0,04809 \ end {matrix} $

Ten prosty model działa w sensie jakościowym. Pokazuje, że grawitacja na biegunie północnym jest wyższa niż na równiku. Ilościowo ten prosty model nie jest zbyt dobry. Znacznie zawyża różnicę między grawitacją na biegunie północnym a równikiem, prawie dwukrotnie.

Problem w tym, że ten prosty model nie uwzględnia grawitacyjnego wpływu wybrzuszenia równikowego. Prostym sposobem myślenia o tym wybrzuszeniu jest to, że dodaje dodatnią masę na równiku, ale dodaje ujemną masę na biegunach, co daje zerową zmianę masy netto. Ujemna masa na biegunie zmniejszy grawitację w pobliżu bieguna, podczas gdy masa dodatnia na równiku zwiększy grawitację równikową. Tak właśnie zalecił lekarz.

Z matematycznego punktu widzenia przemieszczanie się mas tworzy moment kwadrupolowy w ziemskim polu grawitacyjnym. Bez wchodzenia w szczegóły sferycznych harmonicznych, dodaje to wyraz równy 3 $ J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ do siła grawitacyjna, gdzie $ \ lambda $ to geocentryczna szerokość geograficzna, a $ J_2 $ to druga dynamiczna postać Ziemi. Dodanie tego kwadrupolowego wyrażenia do powyższej tabeli daje:

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0,01591 & 9,78027 & 9,78033 & -0,00005 \\ g_ \ text {p} & 9,86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0,00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & -0.04817 & 0,05179 & 0,05186 & -0,00007 \ end {matrix} $

To proste dodanie kwadrupola daje teraz bardzo dobre dopasowanie.

Liczby, których użyłem powyżej:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, parametr grawitacyjny Ziemi pomniejszony o udział atmosfery.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, promień równikowy Ziemi (średnia wartość pływu).

• $ 1 / f = 298,25231 $, spłaszczenie Ziemi (średni przypływ wartość).

• $ \ omega = 7.292115855 \ times 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, obrót Ziemi rate.

• $ J_2 = 0,0010826359 $, druga dynamiczna forma Ziemi.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, grawitacja na poziomie morza na równiku.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, co odzwierciedla obserwowaną różnicę między grawitacją na równiku a biegunami.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, kwadrat ekscentryczności figury Ziemi.

Te wartości pochodzą głównie z Groten, „Fundamental parameters i aktualnych (2004) najlepszych szacunków parametrów o wspólnym znaczeniu dla astronomii, geodezji i geodynamiki ”. Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , ze standardowym parametrem grawitacyjnym zmodyfikowanym w celu wykluczenia masy atmosfery. Atmosfera ziemska oddziałuje grawitacyjnie na Księżyc i satelity, ale nie tak bardzo na ludzi stojących na powierzchni Ziemi.

Komentarze

• Re ” Bieguny znajdują się bliżej środka Ziemi z powodu do wybrzuszenia równikowego. To wzmacnia grawitację na biegunach i osłabia ją na równiku. ” : To by nie byłoby prawdą, gdyby Ziemia miała równomierny rozkład masy .
• @PeterMortensen – To jest niepoprawne. Nawet gdyby Ziemia miała jednorodną gęstość, przyspieszenie grawitacyjne na biegunie byłoby większe niż na równiku o współczynnik około 1 $ + \ frac 1 5 f $, gdzie $ f $ jest współczynnikiem spłaszczenia. Zobacz Rozkład siły grawitacyjnej na nieobrotowej spłaszczonej sferoidzie .
• It ' bardzo pomocne jest mieć to wszystko w jednym miejscu; Nigdy nie zdawałem sobie sprawy z powagi sytuacji, dopóki nie przejrzałem wszystkiego naraz.

Tutaj „to prosty argument, który nie wymaga żadnej wiedzy o wymyślnych rzeczach, takich jak ekwipotencjał lub obracające się układy odniesienia. Wyobraź sobie, że moglibyśmy stopniowo coraz szybciej obracać ziemię. W końcu się rozpadnie. W momencie, gdy zaczął się rozpadać, działo się tak, że fragmenty Ziemi na równiku poruszałyby się z prędkością orbitalną. Kiedy jesteś na orbicie, doświadczasz pozornej nieważkości, tak jak astronauci na stacji kosmicznej.

Zatem w punkcie na równiku pozorne przyspieszenie grawitacyjne $ g $ (tj. To, co mierzysz w laboratorium przymocowanym do powierzchni ziemi) spada do zera, gdy Ziemia obraca się wystarczająco szybko. Przez interpolację spodziewamy się, że efektem rzeczywistego spinu powinno być zmniejszenie $ g $ na równiku w stosunku do wartości, jaką miałby, gdyby Ziemia się nie obracała.

Zauważ, że ten argument automatycznie bierze pod uwagę zniekształcenie ziemi z dala od kulistości. Kształt spłaszczony jest tylko częścią interpolacji między sferycznością a rozpadem.

Na biegunach jest inaczej. Bez względu na to, jak szybko obracasz ziemię, część ziemi na biegunie północnym nigdy nie znajdzie się na orbicie. Wartość $ g $ zmieni się z powodu zmiany kształtu Ziemi, ale ten efekt musi być stosunkowo słaby, ponieważ nigdy nie może doprowadzić do rozpadu.

Różnica w przyspieszeniu swobodnego spadania między biegunami a równikiem ma dwa czynniki. Omówię je jeden po drugim.

Na biegunach zmierzone przyspieszenie grawitacyjne wynosi 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Na równiku zmierzone przyspieszenie ziemskie wynosi 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Biorąc pod uwagę promień równikowy Ziemi i prędkość obrotu Ziemi, możesz obliczyć, ile przyspieszenia dośrodkowego jest potrzebne, aby obracać się razem z Ziemią, gdy znajdujesz się na równiku. To daje 0,0339 $ m / s ^ 2 $

To wymagane przyspieszenie dośrodkowe (na równiku) wynosi kosztem prawdziwego przyspieszenia grawitacyjnego na równiku.

Więc możemy zrekonstruować, jakie byłoby równikowe przyspieszenie grawitacyjne na ciele niebieskim o tej samej wielkości i gęstości oraz wybrzuszeniu równikowym jak Ziemia, ale nieobrotowym.

Prawdziwe przyspieszenie grawitacyjne: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144 $ m / s ^ 2 $

Więc nadal jest różnica 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Ta pozostała różnica wynika ze spłaszczenia Ziemi: na równiku jesteś dalej od środka przyciągania grawitacyjnego Ziemi niż na biegunach.

Chodzi o to, czy wzięto pod uwagę cały efekt. Podsumowując matematykę, efekt większej masy pod stopami jest mniejszy niż efekt odległości od środka masy

Inny pogląd jest taki. Na równiku blisko Ciebie jest wybrzuszenie. Ale z każdej innej strony ziemi wybrzuszenie jest daleko od ciebie. Porównaj z biegunem, w którym wszystkie wybrzuszenia są jednakowo daleko od ciebie, to wyjaśnia różnicę