Często czytałem, że metale, które są cieczami Fermiego, powinny mieć rezystywność, która zmienia się wraz z temperaturą, np. $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Wydaje mi się, że część $ T ^ 2 $ to opór wynikający z interakcji elektron-elektron, a stały człon wynika z rozpraszania zanieczyszczeń.
Czy istnieje prosty argument, aby to pokazać? A może mógłbyś wskazać mi fajne odniesienie?
Wydaje się również, że dla interakcji elektron-elektron, aby wprowadzić skończoną rezystywność, konieczne jest pewne rozpraszanie Umklapp (aby przełamać niezmienność Galileusza i translacji). Czy to jest poprawne? Która z tych symetrii (galilejska czy translacyjna) ma zostać złamana?
Komentarze
- Szukam lepszej odpowiedzi, ale moje proste zrozumienie jest takie w następujący sposób: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. A to $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ definiuje zachowanie cieczy Fermiego.
- Skalowanie $ T ^ 2 $ wymaga zarówno rozpraszania Umklappa, jak i elektronowo-elektronowego. W rzeczywistości, sąsiedztwo $ O (kT) $ powierzchni Fermiego dla kwazicząstek uczestniczy w interakcjach, które implikują skalowanie, arxiv.org/abs/1204.3591 . / li>
- @EverettYou: To ' to jest to, o czym myślałem, ale gdzie pojawia się umklapp?
- Czy ktoś ma dobre odniesienia do obliczenia efektu Umklappa w teorii cieczy Fermiego?
- Istnieje kilka prostych argumentów ” z przestrzenią fazową ” motywować zależność $ T ^ 2 $; czy spotkałeś je, @jjj?
Odpowiedź
Jak oddziaływanie elektron-elektron prowadzi do $ T ^ {2} Zależność $ może być wyjaśniona poprzez zrozumienie ograniczeń nałożonych na rozpraszanie elektronowo-elektronowe przez zachowanie pędu i zasadę wykluczenia.
Rozważmy powierzchnię Fermiego gazu elektronowego w 3D. Powierzchnia Fermiego jest kulą o promieniu $ k_ {f} $. W skończonych temperaturach elektrony zajmują stany poza powierzchnią Fermiego, rządzone przez równanie Fermiego Diraca, charakteryzujące się powłoką na zewnątrz kuli Fermiego o promieniu proporcjonalnym do temperatury. Dlatego w sferze Fermiego wewnątrz powłoki o tym samym promieniu istnieją stany puste.
Jeśli włączymy oddziaływania elektron-elektron, przy małych siłach oddziaływania, możemy to uznać za rozpraszanie elektronów między tymi stanami na powyższym obrazie bez interakcji. Elektrony, będąc Fermionami, mogą zajmować tylko stany, które nie są już zajęte, wraz z zadowalającą zachowaniem pędu. W ten sposób musimy wybrać dwa elektrony, z których oba znajdują się na powłokach o promieniu proporcjonalnym do T, po obu stronach powierzchni o promieniu $ k_ {f} $, aby można było rozproszyć się w stanie pustym poza $ k_ {f} $ powierzchni, a druga w stan pusty w powłoce wewnątrz powierzchni $ k_ {f} $. Zatem prawdopodobieństwo wybrania dwóch takich elektronów jest proporcjonalne do $ T ^ 2 $.
Ponieważ udział w rezystywności jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa tych zdarzeń rozpraszających, te interakcje prowadzą do $ T ^ 2 $ zależność rezystywności.
Są bardziej rygorystyczne argumenty, ale myślę, że daje to intuicyjny obraz, ważny w kontekście słabych interakcji i niskiej temperatury.
Odpowiedź
A może mógłbyś wskazać mi fajną referencję?
Szczegóły następującej odpowiedzi można znaleźć w następującym artykule arXiv (i zawartych w nim odniesieniach) arXiv: 1109.3050v1 .
Czy istnieje prosty argument, aby to pokazać?
Wydaje się, że nie, ale mogę powiedzieć, co następuje. Przewodność w wyniku zderzeń elektron-elektron jest ogólnie określana wzorem: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ gdzie $ \ sigma $ to przewodnictwo elektryczne, $ n $ to gęstość liczbowa elektronów, $ e $ to ładunek podstawowy , $ m $ to masa elektronu , a $ \ tau_ {coll} $ to średnia skala czasu zderzenia (lub współczynnik relaksacji). Zauważ, że rezystywność , $ \ eta $, jest po prostu odwrotnością przewodnictwa w przybliżeniu skalarnym.
Dla cieczy Landau-Fermiego można wykazać, że średni współczynnik relaksacji elektronów na powierzchni Fermiego to: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ gdzie $ \ alpha $ to efektywność transferu pędu do sieci jonowej jako wielkość bezwymiarowa spełniająca $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ to Stała Boltzmanna , $ \ hbar $ to stała Plancka , $ W \ left (\ theta, \ phi \ right) $ jest prawdopodobieństwem przejścia dla nieelastycznego rozpraszania.
Cytując z cytowanej pracy arXiv powyżej:
Jednak fakt, że bryła nie posiada pełnej symetrii translacji, ma ważne konsekwencje. Już w 1937 roku Baber zademonstrował mechanizm skończonej rezystywności w modelu dwupasmowym, w którym elektrony $ s $ są rozpraszane z cięższych $ d $ dziur przez ekranowane oddziaływanie Coulomba … jednopasmowe procesy Umklappa pozwalają na przeniesienie pędu do kryształowego układu współrzędnych …
gdzie Procesy Umklapp odnoszą się do electron- fonon i / lub rozpraszanie fonon-fonon w sieci. Autorzy pokazują również, że termin w nawiasach ostrych można zintegrować z następującym: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ gdzie $ \ lambda _ {\ tau} $ to bezwymiarowy parametr opisujący interakcję działającą w polaron -polaron scattering i $ \ epsilon_ {F} * $ to energia Fermiego polaronów. Po krótkiej algebrze możemy pokazać, że: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Zatem rezystywność jest proporcjonalna do $ \ eta \ propto T ^ {2} $.