Na stronie Answers.com o długości Plancka widzę dwa prawie takie same wzory na długość Plancka, które różnią się jedynie użyciem h i hbar. Jednak stałe są takie same, a mój kalkulator podaje poprawną odpowiedź dla hbar zamiast h, więc pierwsze użycie h miało prawdopodobnie oznaczać hbar. Dlaczego słownik Oxford Dictionary (i mój podręcznik!) Nie używa zamiast tego hbar?
AKTUALIZACJA: równanie (ze słownika oksfordzkiego?), O którym mówiłem, używa h: 
i równanie z Wikipedii, które używa hbar, ale daje tę samą stałą dla długości Plancka: 
Komentarze
- Jednostki Plancka to w każdym razie rzędy wielkości. Ponieważ nie ' nie mamy teorii grawitacji kwantowej, nie ' nie znamy dokładnej skali jej energii, więc nasza wiedza o takich rzeczach jest dokładna tylko do skali, którą możemy uzyskać za pomocą analizy wymiarowej. Mnożenie przez czyste liczby nie jest ' nie zmienię tego. Użycie $ \ hbar $ zamiast $ h $ jest tak samo ' prawe ' tak czy inaczej. Oczywiście prawie cała mechanika kwantowa używa $ \ hbar $, więc zwiększyłoby to ' sens ', aby użyć tego drugiego.
Odpowiedz
na stronie answer.com wspomniane używa następującego wzoru: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Zauważ, że w mianowniku jest czynnik $ 2 \ pi $ – więc $ h / 2 \ pi $ można uprościć jak zwykły $ \ hbar $. Prawdopodobnie nie byli w stanie wpisać tego znaku lub chcieli uniknąć terminologii i symboli znanych tylko fizykom. Jednak na stronie respons.com nie ma błędu liczbowego. W każdym razie powyższa definicja jest równoważna ze słowem $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$, która jest zwykłą „niezredukowaną” długością Plancka. Zobacz Wikipedia dla tego samego wzoru:
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length
Liczbowo jest to 1,6 $ \ razy 10 ^ {- 35} $ metrów. (Aktualizacja: Oxford Dictionary of English ma niewłaściwą formułę – pominęli 2 $ \ pi $ i zapomnieli również przekroczyć $ h $. Ale wyraźnie mają na myśli tę samą długość Plancka). Czasami ludzie również używają „zredukowanego” Plancka długość, która jest bardziej wyszukana i „profesjonalna” w pewnym sensie: $$ L_ {Planck ,uced} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Zauważ, że $ 8 \ pi $ w liczniku można również połączyć z $ \ hbar $, aby uzyskać 4h $ z powrotem – tak więc zredukowana długość Plancka jest dwukrotnie (ze względu na pierwiastek kwadratowy) niewłaściwą długością Plancka, którą uzyskałbyś używając $ h $ zamiast $ \ hbar $. Ale jaki jest prawdziwy powód, dla którego dodano tam $ 8 \ pi $?
Powodem, dla którego $ 8 \ pi G $ pojawia się zamiast $ G $ jest to, że w pewnym sensie $ 8 \ pi G $ jest bardziej naturalne stała niż $ G $: ta dyskusja jest analogiczna do traktowania 4 $ \ pi $ w elektrodynamice. Stała $ 8 \ pi G $ jest naturalna, ponieważ akcja Einsteina-Hilberta to $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ Najbardziej naturalny współczynnik wyniósłby 1/2 $ zamiast 1/16 \ pi G $, co sprawia, że naturalne jest ustawienie 8 $ \ pi G = 1 $. Zmniejszona długość Plancka jest nieco dłuższa (około pięć razy) – mniej ekstremalnie mała. Jeszcze częściej fizycy cząstek elementarnych mówią o energii Plancka i zredukowanej energii Plancka, które są bliskie odpowiednio 10 ^ {19} $ i 10 ^ {18} $ GeV.
Konwencja dla stałej $ G $ został pierwotnie wybrany przez Newtona, który chciał zapisać siłę grawitacji jako $ GMm / r ^ 2 $. Cóż, bardziej naturalne byłoby umieszczenie w mianowniku współczynnika 4 $ \ pi $ lub 8 $ \ pi $, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Widzisz, że $ \ Gamma $ to po prostu $ \ Gamma = 8 \ pi G $ i byłoby naturalne ustawienie $ \ Gamma $ równej jedynce.
Mam nadzieję, że nie mam aby wyjaśnić, dlaczego $ \ hbar $ jest bardziej naturalne dla dorosłych fizyków niż $ h $. Wersje formuł dla „laików” mogą być prostsze z $ h $ – ale zajmują się długością fali itp. Dorośli fizycy wiedzą, że długość fali sinusoidy jest proporcjonalne do $ 2 \ pi $. Najbardziej fundamentalne równania, takie jak równanie Schrödingera lub komutatory $ [x, p] $, przyjmują prostszą postać w postaci $ \ hbar $ niż $ h $, z Oczywiście.
Powrót do $ G $: ludzie musieli wybrać konwencję normalizacji $ G $ w wyższych wymiarach. Zwyczajowa konwencja, jak pośrednio użyta powyżej, jest taka, że akcja Einsteina-Hilberta zawsze ma współczynnik 1/16 \ pi G $. Oznacza to, że w wymiarach czasoprzestrzeni $ D $ siła nie będzie wynosić $ GMm / r ^ {D-2} $, ale będzie zawierała pewne współczynniki liczbowe zależne od $ D $.
Najlepsze życzy Lubos
Komentarze
- Bardzo dziękuję Lubos! Rozumiem, że powinien istnieć zredukowany Planck ' s stała w ten czy inny sposób (z hbar lub z h powyżej 2 pi).Jednak widzę rozbieżność między równaniem ' Wikipedii a równaniem oksfordzkiego ', ponieważ ja ' zaktualizowaliśmy pytanie do wyświetlenia.
- Dzięki za aktualizację, zła nazwa użytkownika. Słownik Oxford Dictionary zawiera błąd – zapomnieli skrócić $ h $, albo z powodu niewystarczających czcionek, albo niekompetentnych pisarzy haha.
Odpowiedź
To musi być związane z kwestiami dotyczącymi składu. Jednostki naturalne (Plancka) mają hbar = 1, a nie h = 1.