Martwiłem się motywacją stojącą za zdefiniowaniem czterech prędkości. W książce Schutza A First Course in Ogólna teoria względności , używa koncepcji wektora stycznego w każdym punkcie linii świata cząstki określonej przez $ x ^ \ mu = (ct, x, y, z ) $ . Później stwierdza, że
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} \ end {equation}
Matematyczne wyjaśnienie, które znalazłem dla użycia właściwego czasu jako parametru, z którym zgadzają się wszyscy obserwatorzy, ale nie mogę zdać sobie sprawy z tego, jakie problemy otrzymujemy w przypadku tej definicji używamy relacji
\ begin {equation} U ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {dt} \ end {equation}
gdzie $ t $ jest miarą czasu w jakiejś inercyjnej klatce S.
Komentarze
- Nie ' nie sądzę, abyś ' zadawał to pytanie w przestrzeni euklidesowej. Rozważ krzywą $ \ vec {r} (\ lambda) = (x (\ lambda), y (\ lambda), z (\ lambda)) $. Następnie można zapisać wektory styczne jako $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r } / d \ lambda $. LUB możemy pójść za twoją ostatnią sugestią i użyć $ \ vec {T} (\ lambda) = d \ vec {r} / dx $. Wektor styczny nadal będzie wskazywał właściwą drogę, ale bez longe r jest ładnie zdefiniowany, a definicja nie pozwala już na obracanie się w sposób, który miesza współrzędne, ponieważ wyróżnia $ x $.
- Czy książka nie wyjaśnia gdzieś, że czterobiegowość jest zdefiniowana w ten sposób, że jest to czterowektor Lorentza?
- @ jacob1729 czy możesz podać mi jakiś przykład? ' Jestem trochę zdezorientowany w tym temacie
Odpowiedź
@Milan już odpowiedział na problemy techniczne z twojej definicji.
Chciałbym zwrócić uwagę na problemy koncepcyjne. Chcielibyśmy, aby prędkość 4 w jakiś sposób scharakteryzowała ruch obiektu w czasoprzestrzeni. Z koncepcyjnego punktu widzenia uzasadnione jest żądanie, aby taka ilość zależała tylko od wielkości, które mają bezpośredni związek z tym ruchem. Zatem sprowadzenie czasu przypadkowego obserwatora, który nie ma nic wspólnego z ruchem obiektu, byłoby koncepcyjnie dziwną decyzją. Sensowne jest zdefiniowanie 4-prędkości jako wektora stycznego do linii świata obiektów, ponieważ ta matematyczna jednostka jest bezpośrednio połączona z i tym samym z ruchem obiektów. Oczywiście potrzebujemy pewnej parametryzacji linii świata, która byłaby idealnie naturalna dla samej linii świata / ruchu i nie zależy od żadnych zewnętrznych wielkości. Ponieważ w czasoprzestrzeni każdy obiekt ma swoje własne zegary, krzywa ta jest naturalnie parametryzowana przez zegar samego obiektu, to znaczy – przez jego właściwy czas.
Zauważ, że w ten sposób nie musisz w ogóle mówić o grupie Lorentza. Kiedy po raz pierwszy dowiedziałem się o 4-prędkościach, decyzja o użyciu odpowiedniego czasu w pochodnej wydała mi się losową decyzją, aby zrobić jakiś 4-wektor Lorentza. Ale tak naprawdę ma głębsze przyczyny geometryczne, jak starałem się wyjaśnić.
Komentarze
- Czy możesz polecić jakąś książkę o teorii względności, która wyjaśnia te tematy tak, jak wyjaśniłeś?
- @Lil ' Grawitacja niezupełnie, ale mogę dać ci trzy książki, które osobiście mnie wyróżniają. Misner, Wheeler, Thorne – Gravitation wyjaśnia ogólną teorię względności i geometrię różniczkową na bardzo intuicyjnym poziomie – wraz z fizycznymi motywacjami dla większości matematyki, a Wald – General Relativity to świetna książka dla bardziej formalnego, geometrycznego podejścia, aby wyraźnie zobaczyć, jak zdefiniowane są pojęcia abstrakcyjnie bez potrzeby układu współrzędnych. Jest też Fecko – geometria różniczkowa i grupy Liego dla fizyków, które uważam za najlepszy podręcznik geometrii różniczkowej.
Odpowiedź
Pierwsza definicja zostanie przekształcona jako czterowektorowa: $ \ dfrac {dx ^ {” \ mu}} {d \ tau} = \ Lambda ^ {\ mu } {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} $ .
Druga definicja przekształca się nie do końca jako czterowektor: $ \ dfrac {dx ^ {„\ mu}} {dt”} = \ dfrac {dt} {dt „} \ Lambda ^ {\ mu} {} _ {\ nu} \ dfrac {dx ^ {\ nu}} {dt} $ .
Ma to sens, ponieważ w pierwszej definicji dzielisz różniczki czterowektora (które również przekształcają się jako cztery -vector) przez wartość skalarną (niezmienną w grupie Lorentza).