Jak działa pływalność?

Podstawowa idea

Wyobraź sobie głęboki ocean wody. Wyobraź sobie słup wody schodzący z powierzchni na głębokość $ d $. Ta kolumna wody ma wagę $ W $. Dlatego na ten słup wody działa siła o wartości $ W $ działająca w dół. Jednak wiesz, że słup wody nie przyspiesza, więc musi istnieć siła o wielkości $ W $ pchająca tę kolumnę w górę. Jedyną rzeczą pod kolumną jest więcej wody. Dlatego woda na głębokości $ d $ musi podnosić się z siłą $ W $. To jest istota pływalności. Teraz zróbmy szczegóły.

Szczegóły

Waga $ W $ słupa wody o powierzchni przekroju poprzecznego $ A $ i wysokości $ d $ wynosi

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

gdzie $ \ rho _ {\ text {water}} $ to gęstość wody. To oznacza że ciśnienie wody na głębokości $ d $ wynosi

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}}. $$

Teraz załóżmy, że umieszczasz w wodzie obiekt o powierzchni przekroju poprzecznego $ A $ i wysokości $ h $. Na ten obiekt działają trzy siły:

1. $ W $: Obiekt „s waga własna.
2. $ F _ {\ text {above}} $: Siła wody nad obiektem.
3. $ F _ {\ text {below}} $: Siła wody pod obiektem.

Załóżmy, że dno obiektu jest na głębokości $ d $. Wtedy wierzchołek obiektu jest na głębokości $ d-h $. Korzystając z naszych wcześniejszych wyników, mamy

$$ F _ {\ text {below}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {powyżej}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {water}} $$

Jeśli obiekt jest w równowadze, to jest nie przyspiesza, więc wszystkie siły muszą się zrównoważyć:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {powyżej}} & = & F _ {\ text {poniżej}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {water}} A \\ W & = & h A \ rho _ {\ text {water}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {water}} \ end { eqnarray} $

gdzie w ostatniej linii zdefiniowaliśmy objętość obiektu jako $ V \ equiv h A $. To mówi, że warunkiem równowagi jest to, że waga obiektu musi być równa jego objętość pomnożona przez gęstość wody. Innymi słowy, obiekt musi wypierać ilość wody, która ma taką samą wagę jak przedmiot. zwykłe prawo wyporu.

Uważam, że z tego opisu można rozszerzyć sprawę do powietrza zamiast wody i poziomego zamiast pionowego gradientu ciśnienia.

Myślę, że nacisk działający na powierzchnię lżejszej rzeczy ma z tym coś wspólnego, ale chodzi o to.

To właściwie początek i koniec CAŁEJ historii. To teoretycznie wszystko , co musisz wiedzieć o pływalności. Zobaczmy, jak działa to stwierdzenie i jak prowadzi do innych zdobytych przez Ciebie informacji na temat pływalności.

Po prostu wyobrażasz sobie diagram swobodnego ciała dla ciała pływającego / zanurzonego. Jedyne siły na nim jest ciśnienie, wszędzie normalne dla powierzchni ciała, oraz ciężar ciała.

Siła netto działająca na ciało z otaczającego płynu wynosi wtedy:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

gdzie sumujemy siły nacisku $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ działające na elementy pola $ \ mathrm {d} S $ w kierunku jednostki normalna $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ jako funkcja pozycji $ \ mathbf {r} $ nad powierzchnią interfejsu $ S $ między płynem a ciałem. To wszystko. Oczywiście na podstawie punktu (1) trudno jest stwierdzić, co stanie się z ciałem zanurzonym w płynie, więc przejdźmy do bardziej praktycznych odpowiedzi.

Robimy małą sztuczkę: okazuje się że zawsze możesz założyć, że w przypadku problemów z wypornością powierzchnia $ S $ w (1) jest zamkniętą granicą objętości (to nawet wtedy, gdy masz do czynienia z problemami takimi jak łodzie, które idealnie są nie całkowicie zanurzony i zamknięta granica na pierwszy rzut oka wydaje się nie nadawać się do zastosowania). Najpierw tworzymy iloczyn wewnętrzny $ \ mathbf {F} $ z dowolnym wektorem jednostkowym $ \ mathbf {\ hat {u}} $, a następnie, mając zamkniętą powierzchnię, możemy zastosować twierdzenie o dywergencji do (1) dla objętości $ V $ wewnątrz zamkniętej powierzchni $ S = \ części \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ częściowe V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

który, biorąc pod uwagę wektor jednostkowy $ \ mathbf {\ hat {u}} $ jest arbitralny, oznacza:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

i mamy sobie wyobrazić pole ciśnienia $ p (\ mathbf {r}) $, które byłoby obecne w płynie na powierzchni, gdyby płyn nie był przemieszczany przez ciało zajmujące objętość $ V $. Z (2) możemy natychmiast zobacz drugi kawałek kn Wiedząc, że słyszałeś o:

balony uzyskują „poczucie opadania” z różnicy ciśnień . [pogrubienie moje]

to znaczy, że nie ma żadnej siły wyporu netto na ciało, chyba że ciśnienie $ p $ różni się od z miejsca na miejsce. W przeciwnym razie $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ jest identyczne.

Jeśli nie czujesz się dobrze z twierdzeniem o dywergencji, pomyśl i przeanalizuj zanurzoną kostkę. W płynie, w którym ciśnienie nie zmienia się wraz z położeniem, siła na każdej powierzchni jest dokładnie równoważona przez przeciwną siłę na przeciwległej powierzchni. Innym przypadkiem, który daje intuicję, jest kula w płynie o stałym ciśnieniu wszędzie: siła w dowolnym punkcie jest dokładnie równoważona przez przeciwną siłę działającą na punkt antypodalny. Argument twierdzenia o rozbieżności po prostu pozwala ci wywnioskować ogólność wniosków, takich jak ten, które możesz wyciągnąć dla obiektów symetrycznych.

Przejdźmy teraz do pola ciśnienia, które będzie ci znane jako płetwonurek; przyjmując kierunek $ \ mathbf {\ hat {z}} $ jako dół, pole ciśnienia w nieruchomej cieczy leżącej na powierzchni planety o promieniu znacznie większym niż głębokość, którą musimy wziąć pod uwagę, to:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

gdzie $ \ rho $ to gęstość płynu, $ g $ przyspieszenie grawitacyjne, a $ p_0 $ ciśnienie przy $ z = 0 $. Jeśli wstawimy to do (2), otrzymamy:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

gdzie $ V_f $ to objętość wypartego płynu. Jest to oczywiście zasada Archimedesa; zachowuje się ona dla obszarów płynu na tyle małych, że zmiana ciśnienia jest liniową funkcją położenia. Chociaż wydaje się, że „wyparty płyn wypycha”, jak wiele niejasnych wyjaśnień stanu wyporności, to jest to nonsens. Wyparty płyn nawet tam nie istnieje: zasada jest jedynie rezultatem zastosowania matematycznych sztuczek w celu przetłumaczenia podstawowej zasady, która jest zawarta w twoim tekście, który zacytowałem w pierwszym wierszu tej odpowiedzi oraz w (1) i wyparcie wypieranego płynu ”jest jedynie mnemonikiem przypominającym zasadę.

Kolejne dwa komentarze są w kolejności:

1. Po pierwsze, zauważ, że odpowiedź w (4) jest niezależna od $ p_0 $. Dlatego jeśli treść nie jest całkowicie zanurzony (jak kadłub łodzi roboczej), możemy po prostu przyjąć, że przecięcie objętości z płynem jest objętością $ V $; przecięcie powierzchni płynu z objętością ogranicza następnie zmniejszoną objętość i wkład siły na górnej ściance jest wtedy nic (ponieważ możemy dowolnie ustawić $ p_0 = 0 $ bez zmiany naszych wyników).
2. Po drugie, ponownie, jeśli nie czujesz się komfortowo z twierdzeniem o dywergencji, przeprowadź analizę dla sześcianu z jego krawędziami pionowymi i poziomymi jako wyjaśniający przykład. Chociaż siła nacisku zmienia się na pionowych powierzchniach, powierzchniom nacisku na każdej pionowej powierzchni wciąż dokładnie przeciwstawiają się te na przeciwległej powierzchni. Siła netto jest różnicą między siłą działającą na dolną i górną ścianę sześcianu, która według (3) jest siłą obliczoną zgodnie z zasadą Archimedesa.

Jako płetwonurek wiesz, że ciśnienie wzrasta, gdy wchodzisz głębiej.

Wyobraź sobie butlę trzymaną pionowo pod wodą. Siła działająca na górę cylindra to ciśnienie razy powierzchnia (z definicji ciśnienia). Na dnie cylindra powierzchnia jest taka sama, ale siła jest większa (głębiej, większy nacisk). Różnica między nimi polega na sile wyporu.

Gdy masz obiekt o „dowolnym” kształcie, możesz myśleć o nim jako o nieskończenie wielu cienkich cylindrach (słomkach z zamkniętymi końcami, jeśli chcesz ). Możesz teraz powtórzyć obliczenia dla każdego z nich. To pokazuje, że zachowuje się to nawet wtedy, gdy obiekt ma zabawny kształt.

Tak się składa, że różnica jest równa wadze przemieszczonej wody – ale myślę, że powyższe jest mniej abstrakcyjne.

Zawsze pamiętaj o swoim przystanku bezpieczeństwa!

Komentarze

• Dzięki @floris! Tak, teraz ma to sens. Problem, który miałem, dotyczył powietrza, gdzie, jak sądziłem, nastąpiła tak niewielka zmiana ciśnienia na obiekcie, że nie może on ' spowodować wystarczającej pływalności. Ale kiedy myślę o masie pchającej na górze i masie pchającej na dole (jak mówisz), wydaje się to całkowicie rozsądne. I, oczywiście, ta masa pchająca jest tym, czym ” ciśnienie ” jest, więc wyjaśnienie gradientu ciśnienia również musi być poprawne. Dzięki 🙂

Cóż, zawsze myślałem o tym jako o przyciąganiu grawitacyjnym – stan equilibrium.

Spróbuj wyobrazić sobie 2 różne kule, jedna na drugiej spadające z nieba (w atmosferze ziemskiej). Jeśli lżejsza kula znajduje się nad cięższą piłką, lżejsza kula się rozdzieli z cięższej piłki. Jeśli cięższa piłka znajduje się na górze lżejszej piłki, mamy 2 opcje:

1. Stan równowagi – Oznacza to, że cięższa piłka znajduje się bezpośrednio na lżejszej piłce – Nie będzie żadnych sił przyspieszających piłkę na boki – tylko w dół. Piłki spadną jako jedna.
2. Cięższa piłka jest nieco bokiem do lżejszej piłki (nadal się styka). W takim przypadku cięższa piłka będzie przetoczyć się na boki lżejszej piłki i zejdzie poniżej lżejszej piłki (przyspieszając szybciej).

Teraz spróbuj wyobrazić sobie to z milionami piłek spadających po niebie. To trochę logiczne, cięższe, aby zejść poniżej ligh te jedne, prawda?

(To nie jest tak naprawdę odpowiedź „fizyki”, to raczej prosty przykład bardzo podstawowej koncepcji)

Komentarze

• Obie piłki są przyspieszane w tym samym tempie. Dlaczego miałyby się rozdzielić?
• Siły przeciągania spowalniają lżejszą piłkę

Ciśnienie w najprostszym znaczeniu to po prostu siła działająca na dany obszar. Wyobraź sobie wszystkie cząsteczki w powietrzu w samochodzie. Ciśnienie powietrza jest w rzeczywistości miarą średniej siły, z jaką te cząstki dociskają się do siebie. Kiedy wprowadzamy balon wypełniony helem, który unosi się w samochodzie, cząsteczki powietrza naciskają na cząsteczki helu, a cząsteczki helu odpychają się na cząstki powietrza.

W tym miejscu trochę inżynierii statycznej; siły atomów helu pchają wszystkie różne kierunki, ale ponieważ wszystkie są zawarte w balonie i wszystkie pchają z taką samą siłą, możemy założyć, że wszystkie te siły znoszą się nawzajem, a jedyne siły działające na balon jako całość jest zewnętrzna. W tym momencie, gdy nie działają na niego żadne siły, balon można swobodnie popychać w dowolnym kierunku, zasadniczo bez użycia siły. Powietrze go jednak nigdzie nie popycha, ponieważ powietrze również wpycha się do balonu ze wszystkich kierunków, a tym samym również się znosi.

Teraz siła jest obliczana jako przyspieszenie Mass * (a.k.a.kręgle w głowę uderzą cię mocniej niż kulka poruszająca się z tą samą prędkością, ponieważ ma większą masę, a zatem większą siłę). Przyspieszenie na poziomie molekularnym jest wprost proporcjonalne do temperatury. Ponieważ temperatura wszystkich gazów w samochodzie jest taka sama, możemy to zlikwidować, a jedyną rzeczą wpływającą na to, z jaką siłą naciskają cząsteczki, jest ich masa.

Wracając do naszego samochodu : Grawitacja obciąża wszystkie cząstki w samochodzie z tym samym stałym przyspieszeniem, 9,8 m / s ^ 2. Cząsteczki powietrza są ściągane z siłą równą ich masie * 9,8 m / s ^ 2. Cząsteczki helu są również ciągnięte z tym samym przyspieszeniem, ale ponieważ ich masa jest o wiele mniejsza niż masa tlenu, azotu i innych cząstek w powietrzu, ich siła spadająca jest znacznie mniejsza i są one wypychane z powrotem przez bardziej silne cząsteczki powietrza. Dlatego balon pływa.

Następnie samochód rusza. Zgodnie z prawem bezwładności (obiekt w spoczynku ma tendencję do pozostawania w spoczynku do momentu działania zewnętrznej siły), nawet jeśli samochód zaczyna się poruszać do przodu, cząsteczki gazu pozostają na miejscu. Wyobraź sobie piłkę unoszącą się nad deską rozdzielczą, która pozostaje w tym absolutnym miejscu bez względu na to, jak się poruszasz. Pociągnij stopę do przodu i teraz znajduje się nad konsolą środkową. Jeszcze kilka stóp i znajduje się na tylnym siedzeniu. Dokładnie to dzieje się ze wszystkimi cząsteczkami gazu w samochodzie. Teraz wszystkie cząsteczki przeniosły się na tył pojazdu, a z przodu jest ich znacznie mniej. Ponieważ za balonem jest teraz więcej cząsteczek powietrza, które napierają na niego, niż za nim, siły nie znoszą się już nawzajem, a balon jest wypychany do przodu.

Mam nadzieję, że pomoże to wyjaśnić to jaśniej . Przepraszam, to było dość rozwlekłe, daj mi znać, jeśli potrzebujesz czegoś lepszego wyjaśnienia!

Komentarze

• Trochę niepewnej fizyki … na przykład kula do kręgli uderza mocniej niż kulka poruszająca się z tą samą prędkością, ponieważ przenosi większy pęd, dlatego zatrzymanie jej powoduje większą zmianę pędu, co oznacza, że zastosowano większą siłę, jeśli zatrzymanie obu następuje w tym samym przedziale czasu. Mniej więcej połowa odpowiedzi jest w porządku i zasadniczo ' jest mniej więcej poprawna, ale pomija kilka (ważnych) szczegółów.
• To prawda, ' minęło trochę czasu i staraliśmy się jak najbardziej uprościć. Możesz edytować w razie potrzeby.