Jako studenci matematyki przez całe życie uważamy, że rozwiązywanie problemów jest absolutnie niezbędne dla lepszego zrozumienia przedmiotu. Nauczanie innych tego, co wiemy, służy wzmocnieniu naszej istniejącej wiedzy i rozpowszechnianiu informacji wśród uczniów.
Jednak jak można stworzyć „dobre” problemy?
Przez „dobre” rozumiem prowokujące do myślenia, inspirujące problemy rozwiązaniami, które można rozszerzyć na inne dziedziny. Narasta to również do poziomu problemów olimpijskich, w przypadku których autorzy problemów wydają się mieć niezwykły stopień pomysłowości i kreatywności w opracowywaniu nowych problemów.
Komentarze
- Obawiam się, że to pytanie jest zbyt szerokie. Nie ' nie chcę powiedzieć, że możemy ' nie decydować o tym, co ” jest dobre ” oznacza problem matematyczny. Ale raczej definicja ta zbyt mocno zależy od (i) dla kogo problem jest przeznaczony i (ii) jakiego rodzaju matematycznych treści / technik powinni używać. Oznacza to, że ” dobry ” problem dla ucznia szóstoklasistów bardzo różni się od ” dobry ” problem, aby pokazać studentowi ekonomii, jak rachunek różniczkowy jest przydatny w ich dyscyplinie.
- Zgadzam się, że najlepiej byłoby mieć to ogranicza się do pojedynczego tematu z matematyki, np. jak tworzyć dobre problemy z topologią.
- Niektórzy z moich nauczycieli mieli niezrównany talent do pisania prac domowych / egzaminów, z których wiele się nauczyłeś, rozwiązując zadania. Inni po prostu sprawiali nudne problemy. Te pierwsze były zazwyczaj dużo trudniejsze, nawet jeśli nie ” trudniejsze ” w jakimkolwiek sensie. Jeśli spojrzysz na proponowane problemy w podręcznikach, ' zobaczysz to samo. ' Obawiam się, że jest to w dużej mierze talent, który jest trudny do przekazania.
- Jednym z największych problemów, jakie napotkałem we wcześniejszej edukacji, był brak kontekst podany dla problemu, który rozwiązaliśmy. Umieszczenie ich w kontekście może trochę pomóc. Na przykład weźmy na czynniki pierwsze wielomian. Jeśli umieścisz to w kontekście optymalizacji w rachunku różniczkowym (rozwiązywanie po zera pochodnej), jego użycie stanie się oczywiste. Wykorzystanie zadań tekstowych przedstawionych w bardziej zaawansowanych materiałach, a następnie poproszenie ich o rozwiązanie części, której się nauczyli (w powyższym przykładzie, uwzględnienie wcześniej obliczonej pochodnej) jest ważną strategią przedstawiania problemów we właściwym kontekście.
Odpowiedź
Ponieważ Twoje pytanie jest bardzo obszerne, tutaj jest dość ogólna odpowiedź: Przeczytaj o problemie stwarzającym.
Trzy kluczowe elementy to:
Srebrny, EA (1994). O matematycznym stwarzaniu problemów. Do nauki matematyki, 14 (1), 19-28.
i książka
Brown, SI, & Walter, MI (2005). Sztuka problemowego stwarzania . Psychology Press.
Ta ostatnia jest powtórką książki, która ukazała się po raz pierwszy w 1983 roku. Możesz też znaleźć podobną książkę pod redakcją Browna i Walter; cytat dla najnowszej wersji to:
Brown, SI, & Walter, MI (wyd. ). (2014). Stwarzanie problemów: refleksje i zastosowania . Psychology Press.
Zacznij od tych trzech dokumentów, ich odniesień i (wyszukując w Google Scholar) innych artykułów i artykułów, które je cytowały.
Aby z grubsza naszkicować sugestię Browna i Waltera: zacznij od scenariusza matematycznego, wypisz założenia, zmień ograniczenia (w ich terminach: ” What-if- not-ing „), a następnie zadawać pytania. Możesz nawet ” cykl ” przez ten proces wielokrotnie, aby wywołać problemy o coraz większym stopniu złożoności.
Oczywiście, stwarzanie problemów niesie ze sobą niebezpieczeństwo braku znajomości odpowiedzi na to, o co pytasz.
Na przykład Twój scenariusz wyjściowy może korzystać z twierdzenia Pitagorasa:
Znajdź wszystkie rozwiązania liczb całkowitych dla $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .
Ten konkretny przykład jest analizowany w książce Browna i Waltera, ale wydaje mi się rozsądnym założeniem, aby wymienić że wykładnikiem wszędzie jest 2 $ i poprosić o rozwiązania w postaci liczb całkowitych, gdy wykładnik wynosi 3 $ .. .. lub, jeśli czujesz się szczególnie odważny, uogólnić i poprosić o wykładnik $ k \ geq 3 $ .
Na pierwszy rzut oka może się to wydawać rozsądnym pytaniem; ale jeśli znasz Ostatnie twierdzenie Fermata, to zdasz sobie sprawę, że nie jest to odpowiedni problem dla większości uczniów.
Niektóre z moich krótkich uwag na temat stwarzania problemów i kreatywności mogą być częściowo 4 mld $ tutaj i kilka innych przykładów związanych z pozowaniem i intuicją w konkretny przykład sekcja tutaj .
Ostatnia uwaga: Na początek wspomnij o ” ” rolę rozwiązywania problemu w pogłębianiu naszego zrozumienia matematyki. Warto zauważyć, że pozowanie problemu odgrywa ważną rolę w rozwiązywanie; rozważ listę heurystyk Polyi i ile z nich to pytania: Jaki jest powiązany problem? Jaki jest prostszy problem? Jak mogę uogólnić ten problem? Itd. (Historycznie, zarówno Silver, w pierwszym cytowanym artykule, jak i Kilpatrick, na temat formułowania problemu , śledzą tę obserwację, tj. Że stawianie problemu jest integralną częścią rozwiązywania problemów, przynajmniej z powrotem do artykuł Karla Dunckera z 1945 roku.)
Jak pisał Cantor (1867) w swojej pracy doktorskiej:
„In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi ”
(„ W matematyce sztuka zadawania pytań jest cenniejsza niż rozwiązywanie problemów ”).
Komentarze
- Podczas gdy ja ' jestem fanem P ó lya ', obawiam się, że zakłada ona, że otrzymujesz wszystkie potrzebne dane i tylko potrzebne dane, za dużo wbudowane . ” Rzeczywiste ” problemy dotyczą głównie ustalenia, co jest istotne, a co nie ' t i zbieractwo missin g data.
- @vonbrand Oprócz oglądania niektórych kolejnych ' książek Polyi (po Jak to rozwiązać ) ja ' d zasugeruj problemy ” ze świata rzeczywistego „, analizując literaturę dotyczącą modelowania matematycznego. Przecięcie modelowania matematycznego i edukacji matematycznej nadal można dość dokładnie rozplanować; zacznij od pracy Pollaka ' (dotyczy: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) i przenieś do jego cytatów …
Odpowiedź
Dla mnie są prawdopodobnie trzy główne typy problemów, które przypisać:
- Rutynowe budowanie umiejętności : albo są wzorowane na obliczeniach, które pokazałem podobne problemy zostały rozwiązane lub są problemem dowodowym, który jest naturalną konsekwencją definicji wymagającej niewielkiej dodatkowej techniki. W przypadku kursu próbnego wiele problemów to niewiele więcej niż zaproszenie do zastanowienia się, co właściwie oznacza notacja.
- Rozpoznawanie szerokości : na każdym kursie są określone tematy, na które nie mamy wystarczająco dużo czasu na wykład. Prowadzenie uczniów przez krótki moduł problemów, w którym odkrywają podstawowe cechy tematu, który nie jest szczegółowo omówiony w wykładzie i innych materiałach, jest bardzo satysfakcjonującym doświadczeniem.
- Wyzwanie : tutaj nie ma szyn, nie ma pudełka, nie ma oczekiwań, że ktoś na kursie go rozwiąże. Czasami są one używane do pokazania ograniczeń obecnej rodziny technik rozwiązywania problemów, czasami obejmują one niejasną intuicję, która kieruje twórczym skokiem.
Podejrzewam, że większość problemów, które piszę i / lub przypisz pasujące do 1 lub 2, ale studenci często oskarżają mnie o 3. Szczerze mówiąc, jednym z powodów, dla których próbuję surfować po MSE w uczciwej ilości, jest ocena tego, co obejmuje moje kursy na innych uniwersytetach. Ponadto międzynarodowy charakter MSE pomaga mi uzyskać przekrój tego, co dzieje się w szkołach na całym świecie.
Komentarze
- Pomijasz ulubione podchwytliwe pytanie wszech czasów, w którym musisz wymyślić trochę Rube-Goldberga, aby mieć jakieś nadzieję na rozwiązanie problemu. Wiele osób w okolicy jest oskarżonych o łamanie zagadek, a nie egzaminy …
- @vonbrand cóż, to prawdopodobnie będzie wyzwanie. Często takie problemy zaczynają się od odpowiedzi, pojawia się jakaś mroczna magia obejmująca serie, a następnie uczeń jest proszony o zobaczenie wzoru … ha ha ha … zło.
Odpowiedź
Dwie sugestie:
1) Weź udział w warsztatach i konferencjach i poszukaj sesji rozwiązywania problemów lub osób prowadzących, którzy dzielą się swoimi „ulubionymi problemami”.„Kiedy omawiane są problemy i rozwiązania, pojawiają się unikalne metody i podejścia.
2) Zbuduj bibliotekę i znajdź czas na czytanie. Zbieraj książki, pliki PDF i źródła. Podręcznik nieodpowiedni dla uczniów może być świetnym źródło problemów. (Użyj Amazon i eBay, aby uzyskać używane wersje, które są znacznie tańsze.) Zmień wersję podręcznika według potrzeb. Kreatywność w tworzeniu problemów pochodzi z przeglądania źródeł.
Komentarze
- Zajrzyj na strony olimpiad matematycznych. Poszukaj notatek z wykładów, (rozwiązanych) egzaminów, prac domowych, … ' sieć roi się od tego rodzaju rzeczy.
Odpowiedź
Nie określiłeś konkretnego poziomu, ale myślę, że twoje pytanie ma sens w każdym przypadku. Zrobię to na poziomie K-8. Najpierw chcę odnieść się do twojego konkretnego wymagania:
Przez „dobre” rozumiem prowokujące do myślenia, inspirujące problemy z rozwiązaniami, które można rozszerzyć na inne domeny.
Zinterpretuję słowo „inspirujące” jako oznaczające, że uczniowie będą mieli motywację do zajęcia się matematyką problemu. Zakładam, że jeśli chodzi o „prowokowanie do myślenia”, masz na myśli, że problemy z dużym prawdopodobieństwem będą wymagały od uczniów zaangażowania się w produktywne rozumowanie matematyczne. Są to podstawowe cechy dobrych badań w programie nauczania. Oznacza to, że dobry program nauczania powinien zawierać działania i badania, które je spełniają.
Kiedyś zapytałem znanego twórcę programów nauczania o wysokiej jakości, skąd wie, że jej problemy programowe pasują do wymagań „ realistyczna edukacja matematyczna „(podejście, które zainspirowało jej program nauczania. Odpowiedziała, że w procesie badawczo-rozwojowym musieli wielokrotnie próbować każdego ćwiczenia z prawdziwymi uczniami. pierwsze szkice mogły być oparte na teorii, w rzeczywistości ukończony program został mocno przetestowany.
Dlatego znajdź i zbierz problemy opracowane przez dobrych projektantów programów nauczania. Jeśli to konieczne, zbuduj własną bibliotekę takich problemów.
Ostatnia uwaga: zasugerowałeś, że chciałeś problemów, których rozwiązania można było rozszerzyć na inne domeny. Sugeruję, abyś uważał z tego rodzaju założeniami podczas wyszukiwania problemów. Co zrozumieją w procesie stawiania problemów i rozwiązanie może pomóc im w utworzeniu połączenia sekcje między kontekstami. Jednak może być trudno poprzeć pojęcie „rozwiązań z możliwością przenoszenia domeny” w dobrej literaturze do nauczania matematyki. Skoncentruj się bardziej na tym, jakiego rodzaju matematycznego rozumowania uczniowie będą mieli okazję i zasoby, w które mogliby się zaangażować.