Jak narysować złożony wykres $ x ^ x $ w Mathematica?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Oto widok, który pokazuje, jak zaczyna się wykres spirala dla ujemnych wartości $ x $, jeśli weźmiemy pod uwagę wartości zespolone.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

W rzeczywistości, jeśli napiszemy $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $, to n formalnie uogólnia do $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; każdy $ 2i \ pi k $ reprezentuje inną gałąź logarytmu zespolonego. W tym kontekście widzimy, że ten wykres po prostu tworzy jedną spiralę z rodziny krzywych spiralnych.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

W klasach elementarnych można zobaczyć twierdzenie, że $ (p / q) ^ {p / q} $ jest zdefiniowane dla $ p $ ujemnych i $ q $ nieparzystych i dodatnich. Tak więc, uwzględniając te punkty, wykres może wyglądać mniej więcej tak:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Ze złożonej perspektywy kropki pojawiają się jako miejsca, w których jedna ze spiralnych nici przebija płaszczyznę $ x $ – $ z $.

Komentarze

• Wybrałem yulinlinyu ' s jako odpowiedź, ponieważ odpowiedziała bezpośrednio i zwięźle na moje pytanie – ale Mark Mcclure ' s odpowiedź wykracza poza ramy – i jest prawdziwym klejnotem w tym wątku!

Jak wskazał yulinyu out, coś takiego jak poniżej da ci pożądaną fabułę.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Może Cię również zainteresować tę doskonałą odpowiedź autorstwa Simona Woodsa, aby stworzyć wykres działki w złożonej dziedzinie. Użycie jego funkcji i ocena następujących elementów daje ładny obraz

domainPlot[#^# &] 

Komentarze

• Przez chwilę myślałem, że palę … ale nie
• Czy trenujesz swoje hipno-moce?

Możesz używać nowych funkcji M12 ReImPlot i ComplexPlot dla złożonych wizualizacji funkcji . Korzystanie z ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

i ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Również

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

wykonuje swoją pracę w wersji 12.0.