Moje pytanie brzmi: jak obliczyć błąd typu II $ \ beta $?
-
Załóżmy, że chcę przetestować $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (muszę obliczyć błąd typu II $ \ beta $, więc muszę naprawić $ \ mu $, powiedzmy 1, w $ H_1 $).
-
Załóżmy, że rozkład $ H_0 $ to $ F_0 $, $ H_1 $ to $ F_1 $, gdzie $ E [\ xi] = 0 $ jeśli $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $, jeśli $ \ xi \ sim F_1 $.
-
Teraz tworzę estymator dla $ \ mu $, powiedzmy $ \ bar {X} _n $ i statystyki testowe $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (załóżmy $ \ sigma $ jest znana).
-
Teraz tworzę regułę odrzucenia ($ H_0 $): $ S_n > b $.
-
Błąd typu II jest obliczany jako $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Moje pytania (chcę zweryfikować trzy rzeczy):
-
Powyższa logika konstrukcji jest poprawna, prawda?
-
Rozkład w „$ P_ {F_1} (S_n > b) $” to $ F_1 $, prawda?
-
[najbardziej obchodzi] $ S_n $ w „$ P_ {F_1} (S_n > b) $” powinno używać $ F_0 $ do obliczenia, prawda?
-
To znaczy, bez względu na błąd typu I lub II, który obliczam, zawsze muszę użyć $ F_0 $ do obliczenia statystyk testu, prawda?
-
To znaczy $ S_n $ to zawsze $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ w obliczaniu błędu typu I lub II ation, ale nie $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ w obliczaniu $ \ beta $, prawda?
-
Albo nie powinno to stanowić problemu, ponieważ statystyki testowe są tylko funkcją próbki i nie powinny obejmować parametrów?
-
Komentarze
- Błąd typu II nie polega na odrzuceniu hipotezy zerowej, gdy jest ona fałszywa, tj. $ H_1 $ jest prawdą. Myślę, że do obliczenia P należy użyć $ F_1 $, ale nie $ F_0 $, tak jak napisałeś $ P_ {F_1} (S_n > b) $. Możesz również odnieść się do obliczania mocy, która jest oparta na parametrze $ H_1 $ i typie II $ \ beta $ = 1-moc
- Dziękuję! Masz rację. Popełniłem błąd. To $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ dla błędu typu II.
Odpowiedź
Oznacz $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ będzie rozkładem pod hipotezą zerową i $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ poniżej $ H_1 $, więc masz statystykę testową $ X $ i chcesz przetestować
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ kontra $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Sposób, w jaki to opisujesz, chcesz przeprowadzić jednostronny test i definiujesz obszar krytyczny w prawym ogonie. Więc po wybraniu poziomu ufności $ \ alpha $, użyjesz rozkładu $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $, aby znaleźć wartość kwantylową $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ takie, że $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (zakładam ciągłe rozkłady). Superindeks $ (0) $ wskazuje, że prawdopodobieństwa są mierzone poniżej $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, , więc potrzebujesz rozkładu zerowego $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $, aby zdefiniować region krytyczny, tj. Kwantyl $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
Na próbce można zaobserwować wynik $ x $ dla zmiennej losowej $ X $, a wartość null zostanie odrzucona, gdy $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Innymi słowy, twój test zadecyduje, że $ H_1 \ textrm {uznał za prawdę} \ iff x \ in [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
potęga twojego testu to prawdopodobieństwo, że $ H_1 $ zostanie uznane za prawdziwe zawsze, gdy $ H_1 $ jest prawdziwe , więc potęga to prawdopodobieństwo, że $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ ilekroć $ H_1 $ jest prawdziwe, to jest prawdopodobieństwo, że $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, gdy prawdziwy rozkład to $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ lub potęga $ \ mathcal {P} $ wynosi
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Gdzie superindeks $ (1) $ wskazuje, że prawdopodobieństwa są obliczane pod $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Więc moc jest mierzona za pomocą $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $, ale potrzebujesz wartości $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, która jest obliczana za pomocą $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Użyłem mocy $ \ mathcal {P} $ i błąd typu II $ \ beta $ to $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
W twoim przypadku
Masz rację, mówiąc, że „” Rozkład w „$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ „to $ F_1 $” „
Jednak aby znaleźć $ b $ będziesz musiał użyć $ F_0 $. W rzeczywistości $ b $ jest odpowiednikiem $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $