Chciałbym się dowiedzieć, jak obliczyć wartość oczekiwaną ciągłej zmiennej losowej. Wygląda na to, że oczekiwana wartość to $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$, gdzie $ f (x) $ to funkcja gęstości prawdopodobieństwa z $ X $.
Załóżmy, że funkcja gęstości prawdopodobieństwa $ X $ wynosi $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- x ^ {2}} {2}} $$, czyli gęstość standardowego rozkładu normalnego.
Więc najpierw podłączę plik PDF i otrzymam $$ E [X] = \ int_ { – \ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ który to raczej niechlujnie wyglądające równanie. Stała $ \ Displaystyle \ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ może być przesunięta poza całkę, dając $$ E [X] = \ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$
Utknąłem tutaj. Jak obliczyć całkę? Czy robię to poprawnie do tej pory? Czy najprostszym sposobem uzyskania oczekiwanej wartości jest?
Komentarze
- tytuł pytania jest mylący. W rzeczywistości próbujesz obliczyć oczekiwaną wartość standardowej normalnej zmiennej losowej. Możesz również obliczyć oczekiwaną wartość funkcji RV. W tytule wolałbym raczej wpisać: ” Jak obliczyć oczekiwaną wartość standardowego rozkładu normalnego. ” Lub ” Jak obliczyć oczekiwaną wartość ciągłej zmiennej losowej. ”
- @Gu ð mundurEinarsson poprawione.
- ” Utknąłem tutaj. Jak obliczyć całkę? ” Znajdź pochodną $ -e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} $. (Nie, nie żartuję i nie sugeruję ci niepotrzebnej pracy; jestem śmiertelnie poważny; po prostu zrób to!). Następnie bardzo uważnie przyjrzyj się znalezionej pochodnej.
Odpowiedź
Już prawie gotowe. krok:
$$ E [X] = \ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ mid _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.
Lub możesz bezpośrednio użyć faktu, że $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ jest funkcją nieparzystą i granice całki to symetria.
Komentarze
- Argument symetrii działa tylko wtedy, gdy obie połowy są zbieżne.
- Czy możesz wyjaśnić, co dzieje się w drugim wierszu?
- Komentarz Glena ' jest poprawny, jeśli nie jest zbieżny, to zmiana zmiennych nie będzie działać
- Drugi wiersz jest równy pierwszemu, ponieważ $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = – xdx $ zwróć także uwagę na znak minus na początku. Następnie możesz pomyśleć o zmianie zmiennej do całkowania, a następnie zmienić ją z powrotem, ponieważ limity się nie zmieniły. Lub możesz użyć integracji przez części. I pamiętaj, że $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- Aby użyć symetrii do uzyskania średniej, musisz wiedzieć, że $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ zbiega się – tak jest w tym przypadku, ale bardziej ogólnie możesz ' t założyć. Na przykład argument symetrii powiedziałby, że średnia dla standardowego Cauchyego wynosi 0, ale nie ' nie ma.
Odpowiedź
Ponieważ chcesz poznać metody obliczania oczekiwań i chcesz poznać kilka prostych sposobów, spodoba Ci się funkcja generująca moment (mgf)
$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$
Metoda działa szczególnie dobrze, gdy funkcja rozkładu lub jej gęstość są same w sobie wykładnicze. W tym przypadku nie musisz wykonywać żadnej integracji po zaobserwowaniu
$$ t ^ 2/2 – \ left (x – t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2/2 + tx – t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$
ponieważ zapisując standardową funkcję gęstości normalnej w $ x $ as $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (dla stałej $ C $, której wartości nie musisz znać), pozwala to na przepisanie jego mgf jako
$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$
Po prawej stronie, za $ e ^ {t ^ 2/2} $ term, rozpoznasz całkę z całkowitego prawdopodobieństwa rozkładu normalnego ze średnią $ t $ i jednostkową wariancją, która wynosi 1 $. W konsekwencji
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$
Ponieważ gęstość normalna staje się mała przy dużych wartościach tak szybko, nie ma problemów ze zbieżnością niezależnie od wartości $ t $. $ \ phi $ jest rozpoznawalnie analityczne na 0 $, co oznacza, że jest równe swojej serii MacLaurin
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2} = 1 + (t ^ 2/2 ) + \ frac {1} {2} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ left (t ^ 2/2 \ right) ^ k + \ cdots.$$
Jednakże, ponieważ $ e ^ {tX} $ zbiega się absolutnie dla wszystkich wartości $ tX $, możemy również napisać
$$ E [e ^ {tX}] = E \ left [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (TX) ^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$
Dwa zbieżne szeregi potęg mogą być równe tylko wtedy, gdy są równe terminowo, skąd (porównując wyrazy obejmujące $ t ^ {2k} = t ^ n $)
$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} T ^ {2k}, $$
implikując
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$
(a wszystkie oczekiwane potęgi nieparzyste $ X $ wynoszą zero). Praktycznie bez wysiłku uzyskałeś od razu wszystkie dodatnie potęgi całkowe X $.
Odmiany tej techniki mogą działać równie dobrze w niektórych przypadkach, takich jak $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, pod warunkiem, że zakres $ X $ jest odpowiednio ograniczony. Mgf (i jego bliski krewny, funkcja charakterystyczna $ E [e ^ {itX}] $) są jednak tak ogólnie przydatne, że znajdziesz je podane w tabelach właściwości dystrybucyjnych, takich jak wpis w Wikipedii dotyczący dystrybucji normalnej .