Jak obliczyć wysokość kraty HCP?

Spróbujemy użyć podobieństw między hcp i ccp. Tutaj wiemy, że $ hcp $ i $ ccp $ mają podobną kratę z wyjątkiem faktu, że $ hcp $ jest typem ABAB, podczas gdy $ ccp $ jest typem ABCABC. Dlatego wiemy również, że ich ułamek upakowania $ (\ phi) $ jest taki sam i $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Jak już wspomniałeś Objętość sieci hcp $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Łącznie w hcp jest 6 atomów. Stąd $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Upraszczając to, otrzymujemy wysokość kraty hcp $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$

Komentarze

• Po obliczeniu objętości z wysokości itd. otrzymujemy, że ich udział w pakowaniu jest równy. Twoja odpowiedź działa wstecz.

Aby obliczyć wysokość komórki elementarnej, rozważ czworościenną pustkę w sześciokątnym zamkniętym układzie pakowania. Można to sobie wyobrazić jako 3 solidne kule stykające się ze sobą, aw centralnym punkcie znajduje się nad nimi kolejna kula. Wersja interaktywna może być wyświetlona w tej witrynie . Sytuacja wygląda następująco:

Jeśli połączysz środki tych czterech sfer, otrzymasz czworościan. To jest zasadniczo piramida o trójkątnej podstawie. Zakładam, że każda krawędź naszego czworościanu jest równa $ a $.

Teraz masz piramidę ($ ABCD $) o równobocznej podstawie ($ \ Delta BCD $), chciałbym, abyś zrzucił prostopadłą z najwyższego punktu ($ A $) do środka ($ G $) trójkątnej podstawy. Jeśli „podążasz za mną poprawnie”, będziesz miał taką figurę:

Wszystko, co musimy należy teraz obliczyć długość $ AG $. W tym celu po prostu użyj twierdzenia Pitagorasa w $ \ Delta AGD $.

$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$

Chociaż wiemy, że $ AD = a $, pozostaje strona $ GD $ nieznane. Ale łatwo to obliczyć. Punkt $ G $ jest centroidem zmiennej $ \ Delta BCD $. Zatem długość $ GD $ jest równa $ a / \ sqrt {3} $. Wstawiając wartości z naszego pierwszego równania, otrzymujemy $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Ale zauważ, że jest to połowa wysokości naszej komórki elementarnej. Zatem wymagana wysokość to $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.

W strukturze sześciokątnej z najbliższym upakowaniem $ a = b = 2r $ i $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , gdzie $ r $ to promień atomowy atomu. Boki komórki elementarnej są prostopadłe do podstawy, więc $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .

Aby uzyskać najbliższy -zapakowana struktura, atomy w rogach podstawy komórki elementarnej są w kontakcie, a więc $ a = b = 2 r $ . Wysokość ( $ c $ ) komórki elementarnej, która jest trudniejsza do obliczenia, to $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .

Niech krawędź sześciokąta będzie równa $ a $

A wysokość sześciokąta równa $ h $

A promień kuli równy $ r $

Środkowa sfera pierwszej warstwy leży dokładnie nad pustką drugiej warstwy B.

Środkowa sfera i kule drugiej warstwy B są w kontakcie

Więc w $ \ Delta PQR $ ( trójkąt równoboczny):

$ \ overline {PR} = 2r $ , Rysuj $ QS $ styczna w punktach

$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$

$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$

$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$

$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$

$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$

$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$

Dlatego przy obliczaniu wydajności pakowania hcp arr angement, wysokość komórki elementarnej jest przyjmowana jako $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .

FROM

Komentarze

• Co oznacza trójkąt kropek?
• Skąd się bierze kąt QRS 30 stopni?