Załóżmy, że mamy Hamiltonian na $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dagger} + A)) $$ Znamy również $ AA ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} A-1 $ i $ A ^ 2 = 0 $, pozwalając $ W = A ^ {\ dagger} A $
Jak możemy wyrazić $ H $ jako $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Jak dotąd pokazałem, że jeśli weźmiemy pod uwagę wartości własne $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Z tego wynika, że $ A | \ psi \ rangle $ i $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ są również wektorami własnymi zmiennej $ W $ z wartością własną $ 1-w $. Używając $ A ^ 2 = 0 $, okazuje się, że $ w = 0 $ lub $ 1 $
Nie jestem do końca pewien, jak zabrać się za wyrażanie operatorów jako macierzy, ponieważ większość mój kurs wykorzystywał notację funkcji falowej. Byłbym naprawdę wdzięczny, gdyby ktoś mógł wyjaśnić tutaj kolejne kroki, abym mógł dokładniej go zrozumieć.
Komentarze
- Czy potrafisz rozwiązać dla A, z dwóch równań, które napisałeś? załóżmy, że ogólne liczby zespolone a, b, c, d są wartościami macierzy A. Podejrzewam, że to może zadziałać.
Odpowiedź
Jak @MichaelBrown wskazał w odpowiedzi, aby uzyskać element macierzy, wystarczy umieścić operator między dwoma stanami. Więc w przypadku twojego hamiltonianu $ H $, elementy macierzy są podane jako $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Powinienem zwrócić uwagę, że $ i $ „s, których używasz, powinno być podstawowym zbiorem, w którym się znajdujesz. Jeśli masz stan $ \ psi $, to jeśli tylko $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ niż możesz w ten sposób wyrazić elementy macierzy swojego operatora. Jeśli umieścisz operator pomiędzy samym stanem, otrzymasz oczekiwanie stanu. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Komentarze
- Dziękuję za poświęcenie czasu na odpowiedź, jednak jak powiedziałem Michaelowi Brownowi, jak mogę zastosować to do tej sytuacji? Gdzie wszystko, co wiem, to dwa wektory własne i ich odpowiednie wartości własne.
Odpowiedź
Element macierzy $ O_ {ij} $ operatora jest zdefiniowany przez $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ i tradycyjnie $ i $ index oznacza wiersz, a $ j $ – kolumnę. W ten sposób mnożenie macierzy działa tak, jak ty oczekiwałby: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$, które można wyświetlić, wstawiając pełny zestaw stanów.
Komentarze
- Dziękuję za odpowiedź, ale jak mogę to zastosować w tej sytuacji? Gdzie wszystko, co wiem, to dwa wektory własne i odpowiadające im wartości własne.