Do tej pory w naszym wykładzie zdefiniowaliśmy operatory tworzenia $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ w w następujący sposób, jak powiedzieliśmy:
Ktoś dostał antysymetryczny lub symetryczny stan cząstek N- i teraz $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ stawia inną cząstkę w stanie n, tak że kończymy z symetrycznym / antysymetrycznym stanem cząstek N + 1. Ta interpretacja jest dla mnie jasna w tym sensie, że operatory $ a ^ {\ dagger}, a $ unikają uciążliwych wyznaczników slaterów i tak dalej. Mimo to nadal mamy do czynienia z dobrze zdefiniowanymi symetryzowanymi / antysymetrycznymi stanami produktu, które zostają rozszerzone lub zredukowane o jeden stan, które są ukryte za tym zapisem.
Teraz zdefiniowaliśmy również operatory pól w QM przez $ \ psi ^ {\ dagger} (r) = \ sum_ {i; \ text {wszystkie stany}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dagger}. $ Powiedzieliśmy, że tworzą cząstkę w pozycji $ r $ . Jakoś nie jest dla mnie jasne, co to oznacza:
Utworzenie cząstki w dokładnej pozycji $ r_0 $ w QM oznaczałoby, że mamy teraz dodatkowy stan $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ w naszym wyznaczniku slatera. Wątpię, czy taka jest idea. Ale ponieważ operatory $ a_i ^ {\ dagger} $ działają na stan $ N $ -cząstki i mapują na stany cząstek $ N + 1 $, to samo musi być prawdą dla $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ . Niemniej jednak mam trudności z interpretacją wyniku.
Jeśli coś jest niejasne, daj mi znać.
Odpowiedź
$ \ psi_i $ w twojej sumie nie musi być funkcjami delta. Możesz na przykład pomyśleć, że są one funkcjami własnymi energii $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$, tworząc w ten sposób cząstkę o wartości $ r $ oznacza to, że otrzymujesz superpozycję wszystkich możliwych sposobów cząstka może mieć wartość $ r $ (w tym konkretnym przypadku): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {liczby zespolone}} | i \ rangle $$ gdzie $ | 0 \ rangle $ to stan próżni (lub stan podstawowy, jeśli chcesz), a $ | i \ rangle $ to stan Focka z jedną cząstką w n-tym trybie. Możesz myśleć o tym równaniu jako określającym dla każdego $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ jest amplitudą prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pozycji $ r $, jeśli wiesz, że jest w stanie $ i $.
Komentarze
- interpretacja tworzenia superpozycji wszystkich możliwych sposobów, w jakie cząstka może dostać się do pozycji $ r $, wygląda dla mnie sensownie. Chodzi mi o to, że jeśli dobrze cię zrozumiałem, tworzymy cząstkę w dowolnym stanie własnym i szukamy amplitudy prawdopodobieństwa, że ta cząstka znajduje się w pozycji $ r $. ' nie widzę tylko, jak to pojęcie jest powiązane z faktycznym tworzeniem cząstki w pozycji $ r $. Jeśli się nad tym zastanowić, to są to dwie różne rzeczy. Czy mógłbyś spróbować wyjaśnić, co chcemy modelować za pomocą tego operatora pola?
- To naprawdę zależy od kontekstu. Interpretacja " cząstki " nie zawsze jest odpowiednia, bardziej ogólnie można myśleć o tych operatorach jako o tworzeniu / anihilacji stanów kwantowych. W kontekście QFT stany te są rzeczywiście (zwykle) stanami cząstek, a $ | 0 \ rangle $ stanem bez cząstek, stąd terminologia. Ale na przykład w NRQM często jest to nieprawdą, a " stan próżni " jest w tym przypadku tylko stanem podstawowym systemu . " tworzą " / " niszczą " stwierdza w tym sensie, że wysyłają daną przestrzeń Focka do innej z jednym dodatkowym / mniejszym stanem tego konkretnego rodzaju.
Odpowiedź
Potraktuj to jako zmianę podstawy. $ a_i ^ \ dagger $ tworzy cząstkę w stanie $ | i \ rangle $. Teraz ten stan $ | i \ rangle $ można zapisać w postaci stanów pozycji $ | r \ rangle $ jako $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ w ten sposób utworzenie cząstki w tym stanie jest równoznaczne z utworzeniem cząstki w stanie superpozycji o odpowiedniej wadze $ \ psi_i (r) $. Równoważnie, cząstkę zlokalizowaną w $ | r \ rangle $ można opisać jako będącą w superpozycji stanu $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$, tworząc w ten sposób cząstkę w stanie $ | r \ rangle $ operator $ \ psi ^ \ dagger (r) $ jest definiowany przez operator $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $.
Komentarze
- przepraszam, ale ta odpowiedź jest bardzo myląca. wydaje się, że sumujesz pozycje. Zauważ, że pozycje nie są dyskretne! Dlatego mam poważne problemy ze zrozumieniem twojego $ | r \ rangle $ ' s.
- @TobiasHurth: that ' s to tylko notacje (pomyśl o dyskretyzowanej wersji przestrzeni). Ale właśnie zmieniłem na całkę, jeśli to sprawia, że czujesz się lepiej.