Jaka jest różnica między opóźnieniem fazowym a opóźnieniem grupowym?

Przede wszystkim definicje są różne:

• Opóźnienie fazy: (wartość ujemna) Faza podzielona przez częstotliwość
• Opóźnienie grupowe: (wartość ujemna) Pierwsza pochodna faza a częstotliwość

Słowami oznacza:

• Opóźnienie fazowe: Kąt fazowy w tym punkcie częstotliwości
• Opóźnienie grupowe: Szybkość zmian fazy wokół tego punktu częstotliwości.

Kiedy użyć jednej lub drugiej, naprawdę zależy od aplikacji. Klasycznym zastosowaniem opóźnienia grupowego są modulowane fale sinusoidalne, na przykład radio AM. Czas potrzebny na przejście sygnału modulacji przez system jest określany przez opóźnienie grupowe, a nie przez opóźnienie fazowe. Innym przykładem dźwięku może być bęben basowy: jest to głównie modulowana fala sinusoidalna, więc jeśli chcesz określić, jak bardzo bęben basowy będzie opóźniony (i potencjalnie rozmazany w czasie), należy na to spojrzeć.

Komentarze

• ” Bezwzględna faza w tym punkcie częstotliwości ” Czy nie ' t to po prostu nazywane ” phase „?
• Miałem na myśli ” bezwzględne ” w porównaniu z ” względnym „, ale widzę, że można to pomylić z ” wartością bezwzględną „. I ' edytuję to
• ostatnia ważna różnica: opóźnienie fazy przy pewnej częstotliwości $ f $ to opóźnienie czasowe faza quasi-sinusoidalnego sygnału o częstotliwości $ f $ przepuszczonej przez filtr. opóźnienie grupy to opóźnienie czasowe koperty lub ” grupy ” quasi-sinusoidy.

Obie nie mierzą jak bardzo sinusoida jest opóźniona. Opóźnienie fazy dokładnie to mierzy. Opóźnienie grupowe jest trochę bardziej skomplikowane. Wyobraź sobie krótką falę sinusoidalną z zastosowaną do niej obwiednią amplitudy, tak aby zanikała i zanikała, powiedzmy, gaussowski pomnożony przez sinusoidę . Ta obwiednia ma swój kształt, aw szczególności ma szczyt, który reprezentuje środek tego „pakietu”. Opóźnienie grupowe mówi ci, o ile ta obwiednia amplitudy będzie opóźniona, w szczególności o ile szczyt tego pakietu przejdzie obok.

Lubię o tym myśleć, wracając do definicji opóźnienia grupowego: jest to pochodna fazy. Pochodna daje linearyzację odpowiedzi fazowej w tym punkcie. Innymi słowy, przy pewnej częstotliwości opóźnienie grupowe informuje w przybliżeniu, jak odpowiedź fazowa sąsiednich częstotliwości odnosi się do odpowiedzi fazowej w tym punkcie. Teraz pamiętajcie, jak używamy sinusoidy o modulowanej amplitudzie. Modulacja amplitudy pobierze szczyt sinusoidy i wprowadzi wstęgi boczne na sąsiednich częstotliwościach. Tak więc, w pewnym sensie, opóźnienie grupowe dostarcza informacji o tym, jak wstęgi boczne będą opóźnione w stosunku do tej częstotliwości nośnej, a zastosowanie tego opóźnienia zmieni w pewien sposób kształt obwiedni amplitudy.

szalona rzecz? Filtry przyczynowe mogą mieć ujemne opóźnienie grupowe!Weź swój gaussowski pomnożony przez sinusoidę: możesz zbudować obwód analogowy w taki sposób, że kiedy prześlesz ten sygnał, szczyt obwiedni pojawi się na wyjściu przed wejściem. Wydaje się to paradoksem, ponieważ wydaje się, że filtr musi „patrzeć” w przyszłość. To zdecydowanie dziwne, ale sposób myślenia o tym jest taki, że skoro obwiednia ma bardzo przewidywalny kształt, filtr ma już wystarczająco dużo informacji, aby przewidzieć, co się wydarzy. Gdyby w środku sygnału wstawiono pik, filtr by tego nie przewidywał. Oto naprawdę interesujący artykuł na ten temat: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Komentarze

• Kiedy mówisz ” obraz a … „, rzeczywisty obraz byłby naprawdę pomocny tutaj.

Dla tych, którzy nadal nie potrafią opisać różnicy, oto prosty przykład

Weź długą linię transmisyjną z prostym sygnałem quasi-sinusoidalnym z obwiednią amplitudy, $ a (t) $ , na wejściu

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Jeśli mierzysz ten sygnał podczas transmisji koniec linii, $ y (t) $ , może przyjść gdzieś w ten sposób:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

gdzie $ \ phi $ to różnica fazy od wejścia do

Jeśli chcesz, ile czasu zajmuje faza sinusoidy, $ \ sin (\ omega t) $ transmisja z wejścia do wyjścia, a następnie $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ to Twoja odpowiedź w kilka sekund.

Jeśli chcesz sprawdzić, ile czasu zajmuje koperta , $ a (t) $ , transmisji sinusoidalnej od wejścia do wyjścia, a następnie $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ to odpowiedź w ciągu kilku sekund.

Opóźnienie fazy to po prostu czas podróży dla jednej częstotliwości, podczas gdy opóźnienie grupy jest miarą zniekształcenia amplitudy, jeśli zastosowana jest tablica wielu częstotliwości.

Wiem, że to ładny stare pytanie, ale szukałem w Internecie wyprowadzenia wyrażeń określających opóźnienie grupowe i opóźnienie fazy. Niewiele takich wyprowadzeń istnieje w sieci, więc pomyślałem, że podzielę się tym, co znalazłem. Zauważ też, że ta odpowiedź jest bardziej opisem matematycznym niż intuicyjnym. Aby zapoznać się z intuicyjnymi opisami, zapoznaj się z powyższymi odpowiedziami. Więc tutaj idzie:

Rozważmy sygnał

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

i przepuść to przez LTI system z charakterystyką częstotliwościową

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Uznaliśmy, że wzmocnienie systemu jest jednością, ponieważ interesuje nas analiza, w jaki sposób system zmienia fazę sygnału wejściowego, a nie wzmocnienie. Teraz, biorąc pod uwagę, że mnożenie w dziedzinie czasu odpowiada splotowi w dziedzinie częstotliwości, transformata Fouriera sygnału wejściowego jest określona wzorem

$$ X (j \ omega) = {1 \ ponad 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

co wynosi

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Dlatego wyjście systemu ma widmo częstotliwości podane przez

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ over 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Teraz, aby znaleźć odwrotną transformatę Fouriera powyższego wyrażenia, musimy znać dokładną formę analityczną dla $ \ phi (\ omega) $ . Tak więc, dla uproszczenia, zakładamy, że zawartość częstotliwości $ a (t) $ obejmuje tylko te częstotliwości, które są znacznie niższe niż częstotliwość nośna $ \ omega_0 $ . W tym scenariuszu sygnał $ x (t) $ można postrzegać jako sygnał o modulowanej amplitudzie, gdzie $ a (t ) $ reprezentuje obwiednię sygnału cosinus wysokiej częstotliwości. W dziedzinie częstotliwości $ B (j \ omega) $ zawiera teraz dwa wąskie pasma częstotliwości wyśrodkowane w $ \ omega_0 $ i $ – \ omega_0 $ (zobacz powyższe równanie).Oznacza to, że możemy użyć rozszerzenia serii Taylora pierwszego rzędu dla $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

gdzie $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Podłączając to, możemy obliczyć odwrotną transformatę Fouriera pierwszej połowy $ B (j \ omega) $ jako

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Zastępując $ \ omega – \ omega_0 $ dla $ \ omega „$ , to staje się

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega „)) e ^ {j ((\ omega” + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega „$$

co upraszcza do

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Podłączanie wyrażeń dla $ \ alpha $ i $ \ beta $ , to staje się

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Podobnie druga połowa odwrotną transformatę Fouriera $ B (j \ omega) $ można uzyskać, zastępując $ \ omega_0 $ przez $ – \ omega_0 $ . Zauważając, że dla rzeczywistych sygnałów $ \ phi (\ omega) $ jest funkcją nieparzystą, staje się

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Zatem dodając je do siebie, otrzymujemy $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Zwróć uwagę na opóźnienia w kopercie $ a (t) $ i cosinus nośnej. Opóźnienie grupy $ (\ tau_g) $ odpowiada opóźnieniu w obwiedni, podczas gdy opóźnienie fazy $ (\ tau_p) $ odpowiada opóźnieniu w przewoźniku. Zatem

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

Opóźnienie fazy dowolnego filtru to ilość opóźnienia, na jakie cierpi każda składowa częstotliwości podczas przechodzenia przez filtry (jeśli sygnał składa się z kilku częstotliwości).

Grupa opóźnienie to średnie opóźnienie czasowe złożonego sygnału, do którego doszło na każdym składniku częstotliwości.