Jeśli standardowy normalny plik PDF to $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
a CDF to $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
Jak to się zmienia w funkcję błędu $ z $?
Komentarze
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Widziałem to, ale zaczyna się od ERF już zdefiniowane.
- Cóż, ' jest definicja erf i definicja normalnego CDF. Relacje, które można wyprowadzić za pomocą rutynowych obliczeń, są pokazane aby dowiedzieć się, jak konwertować między nimi i jak konwertować między ich odwrotnościami.
- Przepraszamy, ' nie widzę wielu szczegółów. Na przykład CDF to od -Inf do x. Jak więc ERF przechodzi od 0 do x?
- Czy znasz technikę rachunku różniczkowego zmiany zmiennej? Jeśli nie, dowiedz się, jak to zrobić.
Odpowiedź
Ponieważ często zdarza się to w niektórych systemach (np. przykład, Mathematica nalega na wyrażenie Normalnego CDF w postaci $ \ text {Erf} $), dobrze jest mieć taki wątek, który dokumentuje związek.
Zgodnie z definicją , funkcją Error jest
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Pisanie $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ implikuje $ t = z / \ sqrt {2} $ (ponieważ $ t $ nie jest ujemne), skąd $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Punkty końcowe $ t = 0 $ i $ t = x $ staje się $ z = 0 $ i $ z = x \ sqrt {2} $. Aby przekształcić wynikową całkę w coś, co wygląda jak funkcja rozkładu skumulowanego (CDF), należy ją wyrazić w postaci całek, które mają dolne limity $ – \ infty $, a więc:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Te całki po prawej stronie są wartościami CDF standardowego rozkładu normalnego,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
W szczególności
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
To pokazuje, jak wyrazić funkcję błędu w kategoriach normalnego CDF. Algebraiczna manipulacja tym z łatwością daje normalny CDF pod względem funkcji błędu:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Ta relacja (przynajmniej dla liczb rzeczywistych) jest przedstawiana na wykresach dwóch funkcji. Wykresy są identycznymi krzywymi. Współrzędne funkcji błędu po lewej stronie są konwertowane na współrzędne $ \ Phi $ po prawej stronie, mnożąc współrzędne $ x $ przez $ \ sqrt {2} $, dodając $ 1 $ do współrzędnych $ y $, a następnie podzielenie współrzędnych $ y $ przez $ 2 $, odzwierciedlające zależność
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
w którym notacja wyraźnie pokazuje te trzy operacje mnożenia, dodawania i dzielenia.
Komentarze
- Myślę, że $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ jest poprawne sposób ich powiązania, biorąc pod uwagę średnią i odchylenie standardowe.