Czytałem, że relacja kanoniczna komutacji między pędem a położeniem może być postrzegana jako Lie Algebra grupy Heisenberg . Chociaż rozumiem, dlaczego stosunki komutacyjne pędu i pędu, pędu i pędu itp. Wynikają z grupy Lorentza, nie bardzo rozumiem, skąd bierze się fizyczna symetria grupy Heisenberga.
sugestie?
Komentarze
- Powiązane: physics.stackexchange.com/q/19029/2451
Odpowiedź
Może chcesz zobaczyć:
http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf rozdział 13,
czyli wykłady „Mechanika kwantowa dla matematyków: grupa Heisenberga i Reprezentacja Schrodingera „Petera Woita, w której szczegółowo omówiono znaczenie grupy Heisenberga. Jednak jej znaczenie fizyczne NIE jest grupą symetrii sytuacji fizycznej. Należy więc uważać na ścisłe analogie między kanoniczną relacją komutacji a skończonym ( powiedz $ n $ ) wymiarowa grupa Hiesenberg Lie $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . Rzecz po prawej stronie relacji $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ w algebrze skończonych wymiarów $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ NIE jest macierzą tożsamości – jest to po prostu coś, co łączy się ze wszystkim innym w algebrze Liego. To Hermann Weyl wskazał, że relacja kanonicznej komutacji nie może odnosić się do skończenie wymiarowej algebry Liego: w takich algebrach nawias Lie $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (między macierzami kwadratowymi) ma zerowy ślad, ale macierz identyczności (lub wielokrotność skalarna, jak na RHS CCR) nie. Należy przejść do operatorów na nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta ( $ np. $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ), aby znaleźć pełną realizację kanonicznej relacji komutacyjnej.
Innym sposobem zrozumienia, że zachowanie skończonej macierzy wymiarowej algebry Heisenberga Liego różni się radykalnie od CCR, jest sama zasada nieoznaczoności. Iloczyn niepewności RMS dla pomiarów symultanicznych z dwóch obserwowalnych nieprzenoszących się do pracy $ \ hat {a}, \ hat {b} $ przy stanie kwantowym $ \ psi $ jest ograniczony od dołu dodatnią liczbą rzeczywistą $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ gdzie $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (patrz sekcja 10.5 wydania 3 Merzbacher „Mechanika kwantowa”). Jeśli $ c $ jest skończoną macierzą kwadratową i, tak jak w algebrze Heisenberga, nie ma pełnego rzędu wierszy, istnieją pewne stany (te w klasie $ c $ „s nullspace), gdzie iloczyn niepewności może być zerowy. Zatem algebra macierzy skończonych wymiarów nie może modelować fizycznego postulatu Heisenberga.
Zobacz także artykuł w Wikipedii dotyczący grupy Heisenberg.
Komentarze
- Drobny komentarz do odpowiedzi (v2): Znak w wyświetlanej reprezentacji Schroedingera $ p $ nie jest konwencjonalnym znakiem.